九年級數學上冊知識點總結_北師大版 2

北師大版九年級數學定理知識點匯總第一章證明(二)

bb24ac（注意在(xm)0的形式>②公式法x2a2找abc時須先把方程化為一般形式）③分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解�！�等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

※等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個全等的直角三角形，其中一個銳角等于30，這它所對的直角邊必然等于斜邊的一半。

※有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。

※如果知道一個三角形為直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：a2b2c2（注意區(qū)分斜邊與直角邊）②在直角三角形中，如有一個內角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現）

※垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。

※線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。※線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

※三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等。（如圖1所示，AO=BO=CO）

AADFOO

CCB圖1BE圖2

※角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

※角平分線逆定理：在角內部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。

角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。

※三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內心。(如圖2所示，OD=OE=OF)

第二章一元二次方程

※只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為ax2bxc0（a、b、c為常數，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把ax2bxc0（a、b、c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數；b為一次項系數；c為常數項。

※解一元二次方程的方法：①配方法0時，方程有兩個不等的實數

根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當b2

-4ac

角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：

1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

一個內角為直菱形一組鄰邊相（或對角線相一組鄰邊相等且一個內角為正方形相垂直平（或對角線互平行四邊一鄰邊相等※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸�！�菱形的判別方法：

1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）※矩形的判定：

1.有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）※正方形常用的判定：

1.有一個內角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；3.對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖3)：※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形�！�一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形�！�等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。

同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半�！鶌A在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

用心愛心一內角為直矩形或對角線垂第四章圖視圖與投影3

※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。主視圖：基本可認為從物體正面視得的圖象.俯視圖：基本可認為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認為從物體左面視得的圖象.

※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上�！�在一個外形線框內所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體）�！�在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。

物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。

太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。

※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。

※從正面、上面、側面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。

①點在一個平面上的投影仍是一個點；②線段在一個面上的投影可分為三種情況：

1.線段垂直于投影面時，投影為一點；2.線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；3.線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

1.平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；2.平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；3.平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。

專心2

2.3.2.3.2.4.

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九（上）數學知識點答案

第一章證明（一）

1、你能證明它嗎？

（1）三角形全等的性質及判定

全等三角形的對應邊相等，對應角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性質及推論

性質：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）

判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）（3）等邊三角形的性質及判定定理

性質定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。

判定定理：有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形�；蛘呷齻�角都相等的三角形是等邊三角形。

（4）含30度的直角三角形的邊的性質

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（2）命題包括已知和結論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結論交換；正確的逆命題就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質及判定

性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。4、角平分線

（1）角平分線的性質及判定定理

性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

判定：在一個角的內部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質定理

性質：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

第二章一元二次方程

1、花邊有多寬

（1）整式方程及一元二次方程的概念

整式方程：方程兩邊都是關于未知數的整式；

一元二次方程：只含有一個未知數x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c為常數，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數含義

2

一般式：ax+bx+c=0(a,b,c為常數，a≠0)，其中，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項。

2、配方法

（1）直接開平方法的定義

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法

一、移項，把方程的常數項移到等號右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。3、公式法

（1）求根公式b-4ac≥0時，x=

22

bb4ac2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數的含義

一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數，a≠0)；二、計算b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，方程有實數根，否則方程無實數根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個根。4、分解因式法

（1）分解因式的概念

當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，根據ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟

一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；三、設每一個因式分別為0，得到兩個一元二次方程；四、解這兩個一元二次方程，它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618（1）什么叫黃金比

線段AB上一點C分線段AB成兩條線段AC，BC，若黃金分割點，其中

ACABACAB=

BCAC，則C點叫線段AB的

叫黃金比，其值為0.618。

（2）列一元二次方程解應用題的一般步驟

一、審題；二、設求知數；三、列代數式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗；七、答

第三章證明（三）

1、平行四邊行

（1）平行四邊形的定義、性質及判定定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形

性質：平行四邊形的對邊分別平行；平行四邊形的對邊分別相等；平行四邊形的對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分。判定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質及判定

性質：等腰梯形在同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。

判定：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線定義及性質

定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。性質：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形

（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質及判定

第四章視圖與投影

1、視圖

（1）三視圖的種類及三種視圖之間的關系三視圖有主視圖、左視圖和俯視圖；三種視圖間的關系：主、俯長對正；主、左高平齊；俯、左寬相等；（2）會畫圓柱、圓錐、球的三視圖

2、太陽光與影子

（1）投影與平行投影的含義、平行投影的性質

一般地，用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做投影；由平行光線形成的投影是平行投影。

平行投影的性質：物體上的點以及影子上的對應點的連線互相平行；當物體與投影面平行時，所形成的影子與物體全等；同一時刻，在平行光線下，互相平行的物體的高度與影子長度的比值相等。

（2）物體影長的變化規(guī)律，會將影長與相似結合起來進行計算

在太陽光的照射下，不同時刻，物體影子的長短也不一樣，早晚影子長，中午影子短。（3）平行投影與視圖之間的關系

視圖實際上就是該物體在某一平行光線下的投影。3、燈光與影子

（1）中心投影的概念及應用，區(qū)別平行投影與中心投影從一點發(fā)出的光線形成的投影稱為中心投影。（2）視點、視線與盲區(qū)的概念

眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。

第五章反比例函數

1、反比例函數

（1）反比例函數的概念

一般地，如果兩個變量x,y之間的關系可以表示成y=函數。反比例函數的自變量x不能為0。（2）掌握求反比例函數的解析式的方法

將一組x,y的值代入解析式中確定k的值即可。

kx的形式，那么稱y是x的反比例2、反比例函數的圖象與性質（1）反比例函數圖象的畫法

一般采用描點法：先列表，再描點，再連線。

（2）反比例函數的圖象及性質，其表達式與圖象的關系，函數值大小的比較（表5-1）3、反比例函數的應用

（1）用反比例函數解決實際問題的一般思路

1、根據問題情境，設出所求的反比例函數表達式；

2、由問題中的已知數據，代入所求表達式，列出方程（或方程組），求出方程的解，確定出待定系數的值，從而確定函數表達式；3、根據函數表達式，去解決實際問題。

（2）反比例函數與正比例函數的區(qū)別及綜合應用（表5-1）

表5-1

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