數(shù)學(xué)九年級上知識點(diǎn)總結(jié)

九年級數(shù)學(xué)（上）

第一章證明（二）

1.公理：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）。

2.公理：兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）。3.公理：兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）。4.公理：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。

5.推論：兩角及其中一角的對邊對影響等的兩個(gè)三角形全等。

6.定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。(等邊對等角)

7.推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、地邊上的高互相重合。

8.定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（等角對等邊）9.定理：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。10.定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。11.定理：直角三角形兩角直角邊的平方和等于斜邊的平方。

12.定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。13.定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

14.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

15.定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

16.定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。17.定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

18.定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

19.定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。

20.反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法。

21.逆命題：兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那

么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。

22.逆否命題：一個(gè)命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題，但是它的逆否命題一定

是真命題。如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是定理，這兩個(gè)定理為互逆定理。其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。23.熟練運(yùn)用公理、定理證明幾何問題。

第二章一元二次方程

1.只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的

形式，這樣的方程叫做一元二次方程。ax2，bx，c分別成為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別成為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)。

2.配方法：我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方

程的方法稱為配方法。3.公式法：用求根公式=

±242

解一元二次方程的方法稱為公式法。

4.分解因式法：當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積的

形式，從而得出方程的解，這種方法稱為分解因式法。第三章證明（三）

1.定理：平行四邊形的對邊相等。2.定理：平行四邊形的對角相等。

3.定理：同一個(gè)底的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。4.定理：兩組對邊分別想的的四邊形是平行四邊形。5.定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

6.定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。7.定理：矩形的四個(gè)角都是直角。8.定理：矩形的對角線相等。

9.推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。10.定理：菱形的四條邊都相等。

11.定理：菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角。12.定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

第四章視圖與投影

1.了解什么是主視圖、左視圖、俯視圖。并能依據(jù)對應(yīng)的物體分別找出。2.平行投影：平行光線所形成的投影稱為平行投影。，

3.觀察的點(diǎn)叫做視點(diǎn)，由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線，視點(diǎn)看不見的地方叫做盲區(qū)。

第五章反比例函數(shù)

1.一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y=x（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那

么稱y是x的反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的自變量x不能為零。

2.反比例函數(shù)圖像：反比例函數(shù)y=x的圖像是由兩支曲線組成的，當(dāng)k>0時(shí)兩支曲線分別

位于第一、第三象限內(nèi)，當(dāng)k0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小;當(dāng)k

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第二十一章二次根式21.1二次根式

知識點(diǎn)一二次根式的概念(1)一般地,我們把形如

根。其中“

a(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a的實(shí)質(zhì)是一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方

”叫做二次根號。

(2)正確理解二次根式的概念，要把握以下幾點(diǎn)：①二次根式是在形式上定義的，必須含有二次根號“

是二次根式。

②被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)，即a≥0.如

”的根指數(shù)為2，即“2”。如

4是二次根式，雖然4=2，但2不

3就不是二次根式，但式子(3)2是二次根式。

”，注意，不可誤認(rèn)為根指數(shù)是

③“”，一般省略根指數(shù)2，寫作“

“1”或“0”。

提示：判斷是不是二次根式，一看形式，二看數(shù)值，即形式上要有二次根號，被開方數(shù)要是非負(fù)數(shù)。知識點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)

（1）

a（a≥0）既是二次根式，又是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，所以它一定是非負(fù)數(shù)，即a≥（a≥

0），我們把這個(gè)性質(zhì)叫做二次根式的非負(fù)性。（2）（

a）2=a（a≥0），這個(gè)性質(zhì)可以正用，也可以逆用，正用時(shí)常用于二次根式的化簡和計(jì)算，可

以去掉根號；逆用時(shí)可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成完整平方數(shù)的形式，常用于多項(xiàng)式的因式分解。（3）

a2=a(a≥0)，這個(gè)性質(zhì)可以正用，也可以逆用，正用時(shí)用于二次根式的化簡，即當(dāng)被開方數(shù)能

化為完全平方數(shù)（式）時(shí)，就可以利用該性質(zhì)去掉根號；逆用時(shí)可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)化為一個(gè)二次根式。知識點(diǎn)三代數(shù)式

定義：用基本運(yùn)算符號（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，叫做代數(shù)式。

21.2二次根式的乘除

知識點(diǎn)一二次根式的乘法法則一般地，對二次根式的乘法規(guī)定：根指數(shù)不變。

知識點(diǎn)二積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

ab=ab(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，

ab=ab（a≥0，b≥0），積的算術(shù)平方根等于積中各個(gè)因式的算術(shù)平方根的積。

知識點(diǎn)三二次根式的除法法則一般地，對二次根式的除法規(guī)定：根指數(shù)不變。

知識點(diǎn)四商的算術(shù)平方根的性質(zhì)

ab=

ab（a≥0，b＞0），即兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，

ab=

ab（a≥0,b＞0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。

知識點(diǎn)五最簡二次根式必須滿足以下兩個(gè)條件：

（1）（2）

被開方數(shù)不含分母；

被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

21.3二次根式的加減

知識點(diǎn)一二次根式的加減

二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并，二次根式加減法的實(shí)質(zhì)是將被開方數(shù)相同的二次根式合并，合并時(shí)只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變。知識點(diǎn)二二次根式的混合運(yùn)算（1）

二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序相同：先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。

（2）

在二次根式的運(yùn)算中乘法法則和乘法公式仍然適用。

22.1一元二次方程

知識點(diǎn)一一元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點(diǎn)：

①只含有一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。知識點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一般形式：ax

2

+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項(xiàng)，a

是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b

是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。知識點(diǎn)三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗(yàn)根的依據(jù)。

22.2降次解一元二次方程22.2.1配方法

知識點(diǎn)一直接開平方法解一元二次方程（1）

如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=

（2）

2

a,x2=a.

直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚�(gè)一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知識點(diǎn)二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解。

配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。（1）（2）（3）（4）

把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；

方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；若等號右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解。

22.2.2公式法

知識點(diǎn)一公式法解一元二次方程（1）

一般地，對于一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)，如果

b2-4ac≥0，那么方程的兩個(gè)根為

bx=

b2a24ac，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由

一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

（2）

一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。

（3）

公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號；③求出b2-4ac的值；

④若b2-4ac≥0，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實(shí)數(shù)根。知識點(diǎn)二一元二次方程根的判別式

式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b-4ac.

△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根根的判別式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根2

222

22.2．3因式分解法

知識點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程（1）

把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。

（2）

因式分解法的詳細(xì)步驟：

①移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點(diǎn)二用合適的方法解一元一次方程

方法名稱理論依據(jù)適用范圍形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)所有一元二次方程所有一元二次方程一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的積的一元二次方程。

直接開平方法平方根的意義配方法公式法因式分解法完全平方公式配方法當(dāng)ab=0，則a=0或b=022.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

若一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,則有x1+x2=，ba,x1x2=

ca

22.3實(shí)際問題與一元二次方程

知識點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）

審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

列：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等含義，然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。

驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問題有意義，符合題意。答：寫出答案。數(shù)字問題

知識點(diǎn)二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型

三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1。三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2。

三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個(gè)三位數(shù)是100a+10b+c.（2）增長率問題

設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a（1x）2=b。（3）利潤問題

利潤問題常用的相等關(guān)系式有：①總利潤=總銷售價(jià)-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率

（4）圖形的面積問題

根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程。

第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

知識點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1）

圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。

知識點(diǎn)三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；

②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）

③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；④接：即連接到所連接的各點(diǎn)。

23.2中心對稱

知識點(diǎn)一中心對稱的定義

中心對稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。注意以下幾點(diǎn)：

中心對稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；只有一個(gè)對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個(gè)圖形能夠完全重合。知識點(diǎn)二作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對稱的圖形

要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。最后將對稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點(diǎn)三中心對稱的性質(zhì)有以下幾點(diǎn)：（1）（2）（3）

關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，是全等形；

關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等。

知識點(diǎn)四中心對稱圖形的定義

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心。知識點(diǎn)五關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為（-x,-y）。

第二十四章圓24.1圓24.1.1圓

知識點(diǎn)一圓的定義

圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。

比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說明確定了定點(diǎn)與定長，也就確定了圓。知識點(diǎn)二圓的相關(guān)概念（1）（2）

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。

�。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

（3）（4）

等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。

等�。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直徑

知識點(diǎn)一圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點(diǎn)二垂徑定理

（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CD⊥AB，

CMAB

AM=BMD垂足為MAC=B

AD=BD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)M，CD⊥ABAM=BMAC=BCAD=BD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。

24.1.3弧、弦、圓心角

知識點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系（1）

弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

（2）

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。

（3）

注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。24.1.4圓周角

知識點(diǎn)一圓周角定理（1）

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

（2）（3）

圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系�！巴�弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對的圓周角有兩類。

知識點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)

圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

知識點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（1）（2）

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有：

點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)d＜r。知識點(diǎn)二過已知點(diǎn)作圓（1）

O1

AO2

O3（2）

經(jīng)過兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A、B）經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A）

以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個(gè)。

以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個(gè)。

A

B（3）

經(jīng)過三點(diǎn)的圓

①經(jīng)過在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓

②不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)

圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。

知識點(diǎn)三三角形的外接圓與外心（1）（2）

經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。

AOBC知識點(diǎn)四反證法（1）（2）

反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。反證法的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

知識點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系（1）（2）

直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示

若設(shè)⊙O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l和⊙O相交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d＞r。知識點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)（1）（2）（3）

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

知識點(diǎn)三切線長定理（1）（2）

切線長的定義：經(jīng)過園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

（3）

注意：切線和切線長是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。

知識點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。

(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。

(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過三角形的頂點(diǎn)和

內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。

24.2.3圓和圓的位置關(guān)系

知識點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系（1）

圓與圓的位置關(guān)系有五種：

①如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，就說這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；②如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；③如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說這兩個(gè)圓相交。（2）

圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示：

若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1r2,且r1＜r2，則有①兩圓外離d＞r1+r2②兩圓外切d=r1+r2③兩圓相交r2-r1＜d＜r1+r2④兩圓內(nèi)切d=r2-r1⑤兩圓內(nèi)含d＜r2-r1

24.3正多邊形和圓

知識點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)（1）（2）

正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。

所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。

（3）

正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于

(n2)180n，中心角和外角相等，等于

360n。

24.4弧長和扇形面積

知識點(diǎn)一弧長公式l=

nR180

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式l=

n360×2πR=

nR180。

知識點(diǎn)二扇形面積公式

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=

nR3602。

比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：

S扇形=

nR3602nR18012R12lR,所以s扇形12lR

知識點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易得到圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側(cè)面積

s圓錐側(cè)122rlrl。圓錐的全面積為s圓錐全s圓錐側(cè)s底2rlr。

25.1隨機(jī)事件與概率

25.1.1隨機(jī)事件

知識點(diǎn)一必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件

在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。

必然事件和不可能事件是否會發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。知識點(diǎn)二事件發(fā)生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2概率

知識點(diǎn)概率

一般地，對于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=0≤P（A）≤1.

當(dāng)A為必然事件時(shí)，P（A）=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P（A）=0.

mn。由m和n的含義可知0≤m≤n，因此0≤

mn≤1，因此

25.2用列舉法求概率

知識點(diǎn)一用列舉法求概率

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=知識點(diǎn)二用列表發(fā)求概率

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

mn。知識點(diǎn)三用樹形圖求概率

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

（1）（2）

樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)求概率的方法。

在用列表法和樹形圖法求隨機(jī)事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同。

25.3用頻率估計(jì)概率

知識點(diǎn)

在隨機(jī)事件中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生與否事先無法預(yù)測，表面上看似無規(guī)律可循，但當(dāng)我們做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，這個(gè)事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗(yàn)后，可以用一個(gè)事件發(fā)生的頻率作為這個(gè)事件的概率的估計(jì)值。

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率

mn穩(wěn)定于某一個(gè)常數(shù)P，那么事件A發(fā)生的頻率

P（A）=p。

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