大一高數(shù)期末考試試題

高數(shù)試題

一．填空題（共5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

11．

lim(ex)xx0x2.2．

11x1x201*exexdxetdtxx2

.3．設(shè)函數(shù)yy(x)由方程1xy確定，則

tf(t)dtf(x)f(0)1fx1.4.設(shè)可導(dǎo)，且，，

則fx.5．微分方程y4y4y0的通解

x0dydx為.

二．選擇題（共4小題，每小題4分，共計(jì)16分）1．設(shè)常數(shù)k0，則函數(shù)

f(x)lnxxke在(0,)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）.

(A)3個(gè);(B)2個(gè);(C)1個(gè);(D)0個(gè).2．微分方

程y4y3cos2x的特解形式為（）.

（A）yAcos2x;（B）yAxcos2x;

（C）yAxcos2xBxsin2x;（D）yAsin2x.3．下列結(jié)論不一定成立的是（）.

*fxdxfxdxc,da,bca（A）若,則必有;（B）若f(x)0在a,b上可fxdx0積,則;（C）若fx是周期為T的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)a都有

abdbaTafxdxfxdx0Ttftdtfx0;（D）若可積函數(shù)為奇函數(shù),則也為奇函數(shù).4.設(shè)

xfx1e1x1x23e,則x0是f(x)的（）.

(A)連續(xù)點(diǎn);(B)可去間斷點(diǎn);(C)

本頁(yè)滿分12分本頁(yè)得分跳躍間斷點(diǎn);(D)無(wú)窮間斷點(diǎn).三．計(jì)算題（共5小題，每小題6分，共計(jì)30分）

1．計(jì)算定積分

20x3exdx

22．2．計(jì)算不定積分

xsinxdxcos5x.

xa(tsint),t2處的切線的方程.求擺線ya(1cost),在

設(shè)

F(x)cos(x2t)dt0x，求F(x).

5．設(shè)

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.

四．應(yīng)用題（共3小題，每小題9分，共計(jì)27分）1．求由曲線y過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線及x軸所圍圖形的面積.

x2與該曲線

222．設(shè)平面圖形D由xy2x與yx所確定，試求D繞直線x2旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

設(shè)a1,f(t)aat在(,)內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a).問(wèn)a為何值時(shí)t(a)最小?并求最小值.

五．證明題（7分）

t1f(0)=f(1)0,f()1，2設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且試證明至少存

在一點(diǎn)(0,1),使得f()=1.一．填空題（每小題4分，5題共20分）：

11．

lim(ex)x0t2xx2e.2．112x01x1x201*exexdx4e.3．設(shè)函數(shù)yy(x)由方程

xxy1dyedtx確定，則dx12x2tf(t)dtf(x)f(0)1e1.4.設(shè)fx可導(dǎo)，且1，，

2x則fxe.5．微分方程y4y4y0的通解為y(C1C2x)e.二．選擇

題（每小題4分，4題共16分）：1．設(shè)常數(shù)k0，則函數(shù)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（B）.

f(x)lnxxk(0,)e在

(A)3個(gè);(B)2個(gè);(C)1個(gè);(D)0個(gè).2．微分方程y4y3cos2x的特解形式為（C）

yAcos2xy（A）；（B）Axcos2x；

（C）yAxcos2xBxsin2x；（D）yAsin2x3．下列結(jié)論不一定成立的是（A）

*(A)(A)若c,da,b,則必有

dcfxdxfxdxabb;

fxdx0a,bf(x)0a(B)(B)若在上可積,則;

(C)(C)若fx是周期為T的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)a都有

aTafxdxfxdx0T;

(D)(D)若可積函數(shù)fx為奇函數(shù),則

x0tftdt也為奇函數(shù).4.設(shè)

fx1e1x1x23e,則x0是f(x)的（C）.

(A)連續(xù)點(diǎn);(B)可去間斷點(diǎn);(C)跳躍間斷點(diǎn);(D)無(wú)窮間斷點(diǎn).三．計(jì)算題（每小題6分，5題共30分）：1．計(jì)算定積分02x3exdx2.

解：

設(shè)x2t,則20x3exdx21t12tedttdet0220-------2

2221tetetdt002-------2

2131xsinxe2ete2dx50222cosx--------22．計(jì)算不定積分.解：

xsinx111xdxdxxd()4cos5xcos4x4cos4x4cosx--------3x12(tanx1)dtanx44cosx4xa(tsint),x113tanxtanxC44cosx124-----------33．求擺線ya(1cost),在t(a(1),a)2處的切線的方程.解：切點(diǎn)為2-------2

kdyasintdxta(1cost)t21-------2yaxa(1)yx(2)a22.-------2切線方程為即

24.設(shè)

F(x)cos(x2t)dt0x，則F(x)2xcosx(2x1)cos(xx).5．設(shè)

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.

1nilnxnln1()ni1n---------2解：

n1i1limlnxnlimln(1)ln(1x)dx0nnnni1--------------2

=

xln(1x)10x01故

2ln21limxnen=

1dx2ln211x------------24e四．應(yīng)用題（每小題9分，3題共27分）1．求

由曲線yx2與該曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線及x軸所圍圖形的面積.

解：

（x0,y0)，則過(guò)原點(diǎn)的切線方程為設(shè)切點(diǎn)為

xy1x2x02，

（x0,y0)在切線上，帶入切線方程，解得切點(diǎn)為x04,y02.-----3由于點(diǎn)

過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,2)的切線方程為面積

y22-----------------------------3

s2022(y222y)dy=3-------------------3

2或

s201*2xdx(24122xx2)dx223

222．設(shè)平面圖形D由xy2x與yx所確定，試求D繞直線x2旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解：法一：VV1V2(11y)dy(2y)2dy012212101y12(y1)2dy-------6

01112(y1)32()043--------343法二：V=

102(2x)(2xx2x)dx010

------------------5

2(2x)2xx2dx2(2xx2)dx14(22x)2xx222xx2dx033241221(2xx)210433214122232323-------------4

3.設(shè)a1,f(t)aat在(,)內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a).問(wèn)a為何值時(shí)t(a)最

t小?并求最小值.解:

由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna---------------3

又由t(a)lnlna10得唯一駐點(diǎn)aee2a(lna)------------3

當(dāng)aee時(shí),t(a)0;當(dāng)aee時(shí),t(a)0,于是aee為t(a)的極小值點(diǎn).-----2

故

aee為t(a)的最小值點(diǎn),最小值為t(ee)1lne11.ee--------------1

五．證明題（7分）

1f(0)=f(1)0,f()1，2設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且試證明至

少存在一點(diǎn)(0,1),使得f()=1.證明：設(shè)F(x)f(x)x，F(xiàn)(x)在[0,1]上連續(xù)在(0,1)可導(dǎo)，因f(0)=f(1)=0,

有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------2

1111111f()=11]F(=)(-)f=1-=，[，2222又由2，知2在2上F(x)用零點(diǎn)定

理，

11F(1)F()=-022根據(jù)，---------------在至少存在一點(diǎn)，使得1F()，=0(,1)(0,1)F(0)=F()=02,由ROLLE中值定理得至少存在一點(diǎn)

(0,)(0,1)使得F()=0即f()1=0，證畢.--------------3

可知

1(，1)2內(nèi)

擴(kuò)展閱讀：大一高數(shù)期末考試題

電卓期末高數(shù)模擬考試

一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1.設(shè)f(x)cosx(xsinx),則在x0處有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可導(dǎo).

2.設(shè)(x)1x1x，(x)333x，則當(dāng)x1時(shí)（　�。�.

（A）(x)與(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮��；（B）(x)與(x)是等價(jià)無(wú)窮�。�

（C）(x)是比(x)高階的無(wú)窮��；（D）(x)是比(x)高階的無(wú)窮小.

3.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導(dǎo)且

f(x)0，則（）.

（A）函數(shù)F(x)必在x0處取得極大值；（B）函數(shù)F(x)必在x0處取得極小值；

（C）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，但點(diǎn)(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點(diǎn)；（D）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，點(diǎn)(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點(diǎn)。4.

設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x210f(t)dt,則f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.

6.

已知cosxx是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)cosx.xdxlim2227.nn(cosncosncos2n1n).

12x2arcsinx1－11x2dx8.2.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）

9.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程

exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0).求110.x7x(1x7)dx.

設(shè)f(x)xxe，　　x0　求11.2xx2，0x113f(x)dx．

)

1012.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，，且x0g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A為常數(shù).求

1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程滿足

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)(x0)，過(guò)點(diǎn)(0,1)，且曲線上任一點(diǎn)

M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17.設(shè)函數(shù)f(x)在0,上連續(xù)，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

證明：在0,內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1,2，使f(1)f(2)0.（提

F(x)示：設(shè)

0f(x)dx）

一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1cosx2　()ce635..6.2x.7.2.8..

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導(dǎo)

xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0，y(0)77x6dxdu10.解：ux　　1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C7711.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd　

4

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2

AAA22，g(x)在x0處連續(xù)。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnxdxx13.解：

yexdx2(exdx2lnxdxC)

11xlnxxCx293

111y(1)C,0yxlnxx399，

四、解答題（本大題10分）14.解：由已知且

，

將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得y2yy

02特征方程：rr20

y2ydxyx

解出特征根：r11,r22.其通解為

yC1exC2e2x

代入初始條件y(0)y(0)1，得

21yexe2x33故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為(x0,lnx0)，切線方程：

1yxxe0e由于切線過(guò)原點(diǎn)，解出，從而切線方程為：

1則平面圖形面積

A(eyey)dy01e12

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

q1qqVV1V2(5e212e3)

116.證明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

f(x)dxqf(x)dx00證畢。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在[0,]上連續(xù)，在(0,)上可導(dǎo)。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由題設(shè)，有

f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，有0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0

綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間[0,],[,]上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0

高等數(shù)學(xué)I解答

一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）

(本大題有4小題,每小題4分,共16分)

x,x1.當(dāng)xx0時(shí)，都是無(wú)窮小，則當(dāng)xx0時(shí)（D）不一定是

無(wú)窮小.(A)(C)

xx

ln1(x)(x)

1xa22(B)xx

2(x)(D)(x)

sinxlimxasina2.極限（A）1

的值是（C）.（B）e

（C）ecota（D）etana

sinxe2ax1x0f(x)xax0在x0處連續(xù)，則a=（D）.3.

（C）e（D）1

f(ah)f(a2h)limf(x)h0h4.設(shè)在點(diǎn)xa處可導(dǎo)，那么（A）.（A）3f(a)（B）2f(a)

1f(a)f(a)(C)（D）3（A）1

（B）0

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）ln(xa)lna1lim(a0)x5.極限x0的值是a.exyylnxcos2x確定函數(shù)y(x)，則導(dǎo)函數(shù)y

y2sin2xyexyx.xyxelnx7.直線l過(guò)點(diǎn)M(1,2,3)且與兩平面x2yz0,2x3y5z6都平行，則直

x1y2z3111.線l的方程為

6.由

8.求函數(shù)y2xln(4x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－，0）和（1，+）.

三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

2(1x)ex9.計(jì)算極限x0.

lim1x(1x)ee1ln(1x)xeelimelimx0x0xxx22解：x0|a|3|b|26|a10.已知：，，ab30，求b|。ab512cos,sin1cos21313abab72lim解：

，

x1x1ln(1x)1x

11.設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

xxF(x)(xt)f(t)dtax[a,b]，試求出F(x)。

解：

F(x)xf(t)dttf(t)dtaa

xxF(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dtaaF(x)f(x)

cosxxdx.3sinx12.求

cosx12xdxxdsinx32解：sinx1111xsin2xsin2xdxxsin2xcotxC2222

四、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

22dxxx2113.求

3.

令　1tx原式12321tdt11(2)dtt11t2

21t62xy1x2的極值與拐點(diǎn).14.求函數(shù)

解：函數(shù)的定義域（－，+）

1232arcsint32124x(3x2)2(1x)(1x)yy2322(1x)(1x)

令y0得x=1,x=-1

12

y(1)0x=1是極大值點(diǎn)，y(1)0x=-1是極小值點(diǎn)

12

極大值y(1)1，極小值y(1)1

令y0得x3=0,x4=3,x5=-3x(-,-3)－(-3,0)+(0,3)－(3,+)+y33故拐點(diǎn)（-3，-2），（0，0）（3，2）

x3y24與y3xx所圍成的平面圖形的面積.15.求由曲線

x3解:3xx2,　x312x4x20,4

x(x6)(x2)0,　　x16,　x20,　　x32.

2x3x322S(3xx)dx(3xx)dx6404x432x3032x3x42(x)6(x)016232316

114524733

216.設(shè)拋物線y4x上有兩點(diǎn)A(1,3)，B(3,5)，在弧AB上，求一點(diǎn)P(x,y)使ABP的面積最大.

0解：

AB連線方程：y2x10　　AB45點(diǎn)P到AB的距離ABP的面積2xy15x22x35　(1x3)　　　S(x)1245x22x352(x22x3)

　　　S(x)4x4　當(dāng)x1　　S(x)0　　　S(x)40當(dāng)x1時(shí)S(x)取得極大值也是最大值

此時(shí)y3　　所求點(diǎn)為(1，3)

另解：由于ABC的底AB一定,故只要高最大而過(guò)C點(diǎn)的拋物線的切線與AB平行時(shí),高可達(dá)到最大值,問(wèn)題轉(zhuǎn)為求C(x20，4x0),使f(x0)2x053

312,　解得x01,所求C點(diǎn)為(1,3)

六、證明題（本大題4分）

17.設(shè)x0，試證e2x(1x)1x.

證明：設(shè)f(x)e2x(1x)(1x),x0

f(x)e2x(12x)1，f(x)4xe2x，x0,f(x)0，因此f(x)在（0，+）內(nèi)遞減。

在（0，+）內(nèi)，f(x)f(0)0,f(x)在（0，+）內(nèi)遞減，在（0，+）內(nèi)，f(x)f(0),即e2x(1x)(1x)0亦即當(dāng)x>0時(shí)，e2x(1x)1x。

高等數(shù)學(xué)IA

一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題有4小題,每小題4分,共16分)18.函數(shù)

ln(x1)x1,x1f(x)tanx,0x12xsinx,x0的全體連續(xù)點(diǎn)的集合是（）

(A)(-,+)(B)(-,1)(1,+)

(C)(-,0)(0,

+)

(D)(-,0)(0,1)(1,+)

x219.

設(shè)limx(1x1axb)0，則常數(shù)a,b的值所組成的數(shù)組（a,b）為（（A）（1，0）（B）（0，1）（C）（1，1）（D）（1，-1）20.

設(shè)在[0，1]上f(x)二階可導(dǎo)且f(x)0，則（）

（A）f(0)f(1)f(1)f(0)

(B)f(0)f(1)f(0)f(1)

）(C)f(1)f(0)f(1)f(0)

2

3（D）f(1)f(0)f(1)f(0)

42M2221.

則（）

（A）M

二填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

sinxcos4xdx,N1x22(sinxcosx)dxP(x22sin3xcos4x)dx21.設(shè)x1d(xarctanx1)（）

f(x)dxsinxc,f2.設(shè)則

(n)(x)dx（）

x4yz52mn6p，與xoy平面，yoz平面都平行，3.直線方程

那么m,n,p的值各為（）

4.

（）

三解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）

i1xlimnni2ein211lim22x0sinxx1.計(jì)算

12xcos,x0f(x)xx0試討論f(x)的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出f(x)x2.設(shè)

3.設(shè)函數(shù)yf(x)在(,)連續(xù)，在x0時(shí)二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖形如圖

所示，給出

f(x)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線yf(x)的拐點(diǎn)。

yxaObcd四解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）1.求不定積分

e(x22dx)x1x

lnxdx2.計(jì)算定積分

1e3.已知直線

l2的平面方程。

l1:xyz1123l2:x1y2z3254,求過(guò)直線l1且平行于直線

812yax4.過(guò)原點(diǎn)的拋物線及y=0,x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為5，確定

拋物線方程中的a，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。

五、綜合題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

21.設(shè)F(x)(x1)f(x)，其中f(x)在區(qū)間[1,2]上二階可導(dǎo)且有f(2)0，試證明存在

（12）使得F()0。

x2.

f(x)(tt2)sin2ntdt(x0)0（1）求f(x)的最大值點(diǎn)；

f(x)（2）證明：

1(2n2)(2n3)

一、單項(xiàng)選擇題BDBC.

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

x1(4arctanx1)dxx15.dy2.

6.7.

nncos(x)dxsin(x)cf(x)dx22.m2,p6,n0.

(n)1(e1)28..

三、解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）

11lim(22)9.(8分)計(jì)算極限x0sinxx.

11x2sin2xlim(22)lim22x0xsinx解：x0sinxx

xsinxxsinxlimx0x3x

1cosx12lim2x03x3

12xcos,x0f(x)xx0，試討論f(x)的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出x10.(8分)設(shè)

f(x).11x0,f(x)2xcossinxx；當(dāng)x0,f(x)1解：當(dāng)

1x2cos0x0xx0f"(0)lim0f"(0)lim1x0x0xx

11x02xcossinfxxxx01故f(x)在x=0處不可導(dǎo)。

11.(8分)設(shè)函數(shù)yf(x)在(,)連續(xù)，在x0時(shí)二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)

f(x)的圖形如圖.給出f(x)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線yf(x)的拐

點(diǎn).yxaO

解：極大值點(diǎn)：xaxd極小值點(diǎn)：xb拐點(diǎn)(0,f(0)),(c,f(c))

bcd四解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）

(x2)2dx212.(9分)求不定積分x(x1).

413()dx2x(x1)x1解：原式=

=

4lnx13lnx1cx1

13.(9分)計(jì)算定積分

1e1elnxdx.

e1解：原式=

lnxdx1e1elnxdx

exlnxx1xlnxx122e

xyz1x1y2z3l2:123，254,求過(guò)直線l1且平行于14.(9分)已知直線

直線l2的平面方程.n解：s1s2(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)

l1:取直線l1上一點(diǎn)M1(0,0,1)于是所求平面方程為7x2y(z1)0215.(9分)過(guò)原點(diǎn)的拋物線yax(a0)及y=0,x=1所圍成的平面圖形繞x

81軸一周的體積為5.求a，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.

5222xV(ax)dxa50解：

110a25

a2由已知得

58125故a=9拋物線為：y9x

1繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積：

V2x9x2dx180x441092

五綜合題（每小題4分，共8分）

2F(x)(x1)f(x)，16.(4分)設(shè)其中f(x)在區(qū)間[1,2]上二階可導(dǎo)且有f(2)0.

證明：存在（12）使得F()0。

證明：由f(x)在[1，2]上二階可導(dǎo)，故F(x)在[1，2]二階可導(dǎo)，因f(2)=0,故F(1)=F(2)=0

在[1，2]上用羅爾定理，至少有一點(diǎn)x0,(1x02)使F(x0)0

F(x)2(x1)f(x)(x1)2f(x)17.(4分).

得F(1)0

在[1，x0]上對(duì)F(x)用羅爾定理，至少有點(diǎn)(1x02)F()0

解：（1）x1為f(x)的最大值點(diǎn)。

f(x)(xx2)sin2nx，當(dāng)0x1，f(x)(xx2)sin2nx0；當(dāng)x1，f(x)(xx2)sin2nx0。f(1)為極大值，也為最大值。（2）

f(x)(tt2)sin2ntdtf(1)01100x

1(2n2)(2n3)

f(1)(tt2)sin2ntdt(tt2)t2ndt高等數(shù)學(xué)上B（07）解答

一、填空題：（共24分，每小題4分）

dy222ysin[sin(x)]1．，則dx2xcos[sin(x)]cosx。

adx1x22．已知，a=__1______。

e2lnxdx12e。3．ex4．ye過(guò)原點(diǎn)的切線方程為yex。x5．已知f(x)e，則396．a(chǎn)2，b2

32時(shí)，點(diǎn)(1,3)是曲線yaxbx的拐點(diǎn)。

f"(lnx)dxx=xc。

二、計(jì)算下列各題：（共36分，每小題6分）

cosx1．求y(sinx)的導(dǎo)數(shù)。解：y(e2．求解：cosxlnsinx)ecosxlnsinx(sinxlnsinxcotxcosx)

sinlnxdx。

sinlnxdxxsinlnxcoslnxdxxsinlnxxcoslnxsinlnxdx

1(xsinlnxxcoslnx)C2x5x21dx3．求。

解：

x51d(x21)5dxdxdx2222x1x1x1

22x15ln|xx1|C

xx0e,f(x)kx0在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則k為何值？x1,4．設(shè)

xkf(0)limlimxk1x0xx0解：

ex1f(0)lim1x0xk1

111lim()222222nn1n2nn。5．求極限

解：

111lim()222222nn1n2nnn1limnk1n2k2n11limnk1k2n12n

10dx1x=

2121ln(x1x)|0ln(12)

x2yz102xyz0xyz106．求過(guò)點(diǎn)(2,2,0)且與兩直線和xyz0平行的平面

方程。

解：兩直線的方向向量分別為s1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)，平面的法向量

n(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)。

平面方程為xyz0。

三、解答下列各題：（共28分，每小題7分）

xRcostd2y21．設(shè)yRsint，求dx。

dycott解：dx

d2y11(cott)t2RsintRsin3tdx02．求在[1,2]上的最大值和最小值。

解：F(x)x(x1)0,x0,x1

11F(0)0,F(1)t(t1)dt,061252F(1)t(t1)dt,F(2)t(t1)dt0063

25最大值為3，最小值為6。

223．設(shè)yy(x)由方程x(1y)ln(x2y)0確定，求y"(0)。

22解：方程x(1y)ln(x2y)0兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)

F(x)t(t1)dtx

(1y2)2xyyx0,y2x2y0x22y

將

12代入上式

58

22yxy4．求由與x圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

y"(0)解：

V(yy4)dy01

310

四、證明題：(共12分，每小題6分)

1．證明過(guò)雙曲線xy1任何一點(diǎn)之切線與OX,OY二個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為常數(shù)。

證明：雙曲線xy1上任何一點(diǎn)(x,y)的切線方程為

Yy1(Xx)2x

1(0,y),(2x,0)x切線與x軸、y軸的交點(diǎn)為

1sx(y)2x故切線與OX,OY二個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

2．設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)使得

bf()g(x)dxg()f(x)dxab

證明：令

F(x)g(x)dxf(x)dxxabx

F(a)F(b)0，由Rolle定理，存在一點(diǎn)[a,b]，使F()0，即

f()g(x)dxg()f(x)dxa

高等數(shù)學(xué)上解答（07）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共16分）

|sinx|(x)是A。1．f(x)xcosxe（A）奇函數(shù)；（B）周期函數(shù)；（C）有界函數(shù)；（D）單調(diào)函數(shù)

22．當(dāng)x0時(shí)，f(x)(1cosx)ln(12x)與B是同階無(wú)窮小量。（A）x；（B）x；（C）x；（D）x

x2yz03．直線xy2z0與平面xyz1的位置關(guān)系是C。

（A）直線在平面內(nèi)；（B）平行；（C）垂直；（D）相交但不垂直。

4．設(shè)有三非零向量a,b,c。若ab0,ac0，則bcA。（A）0；（B）-1；（C）1；（D）3

3452二、填空題（每小題4分，共16分）

1．曲線ylnx上一點(diǎn)P的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e,1)。

tanxx1lim2xx0x(e1)3。2．

y2e6xyx10確定隱函數(shù)yy(x)，則y(0)0。3．方程

2yx、x1與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為4．曲線

5。

三、解下列各題（每小題6分，共30分）1．已知(x)tsin2fxttlim(t)，求f(x)。

tsin2f(x)lim(x)tesin2x解：tt

f(x)esin2xsin2x

2．求不定積分[ln(lnx)1lnx]dx。解:[ln(lnx)1lnx]dxln(lnx)dx1lnxdx

xln(lnx)11lnxdxlnxdx

xln(lnx)C

13．計(jì)算定積分1x2(sinx21x41x)dx。

1解：1x2(sinx1x41x2)dx11(x21x2)dx11x2sinx1x4dx11(x21x2)dx0

xsint220sin2tcos2tdt

8

1sin4．求不定積分x1cosxdx。

解：1sinx1cosxdx11cosxdxsinx1cosxdx1xdcosx2sec22dx1cosxxtan2ln|1cosx|C

5．已知f(lnx)x，且f(1)e1，求f(x)。

解：令lnxt，f(t)et

f(x)exCf(1)e1，f(x)ex1

四、（8分）設(shè)f(x)對(duì)任意x有f(x1)2f(x)，且

f0)(12。求f)1(解：由f(x1)2f(x)，f(1)2f(0)

f(1)limf(x)f(1)x1x1xt1f(t1)f(1)limt0t

。2f(t)2f(0)tt0

2f(0)1

22(x1)lnx(x1)x1五、（8分）證明：當(dāng)時(shí)，。

lim證明：只需證明(x1)lnxx1。

令f(x)(x1)lnxx1

10x，f(x)在[1,)單調(diào)遞增。

22f(1)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0。即(x1)lnx(x1)。

f(x)lnx六、（8分）

已知

F(x)(x2t2)f(t)dt0x2，f(x)連續(xù)，且當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)與x

為等價(jià)無(wú)窮小量。求f(0)。

F(x)lim21解：x0x

F(x)(x2t2)f(t)dtx2f(t)dtt2f(t)dt000xx00xxxx

F(x)2xf(t)dtx2f(x)x2f(x)2xf(t)dt2xf(t)dtF(x)0lim2lim2f(0)2x0x0xx

1f(0)2

七、（8分）

2設(shè)有曲線y4x(0x1)和直線yc(0c4)。記它們與y軸所圍圖形的面積為A1，它們與直線x1所圍圖形的面積為A2。問(wèn)c為何值

時(shí)，可使AA1A2最��？并求出A的最小值。解：

AA1A2c04yydy(1)dyc22

A(c)c1

令A(yù)(c)c10，得c1。

A(1)1102，c1為最小值點(diǎn)。

4yydy(1)dy10212

八、設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的點(diǎn)x0處取得最大值，且|f(x)|K(axb)。

minA證明：|f(a)||f(b)|K(ba)

證明：f(x0)在[a,x0]對(duì)f(x)應(yīng)用拉格朗日定理

f(x0)f(a)f(1)(x0a)(a1x0)f(a)f(1)(ax0),|f(a)|K(x0a)

在[x0,b]對(duì)f(x)應(yīng)用拉格朗日定理

f(b)f(x0)f(2)(bx0)(x02b)

f(b)f(2)(bx0),|f(b)|K(bx0)

一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題分5小題,每小題2分,共10分)

1、

ex1設(shè)Ixdx,則Ie1(A)　ln(ex1)c　　(B)　ln(ex1)c;(C)　2ln(ex1)xc;(D)　x2ln(ex1)c.2、

答()

nlimeee1n2nn1ne(A)1　(B)e　(C)e　(D)e23、

　　　　　　　　　　答（　�。�

1的n階麥克勞林展開式的拉格朗日型余項(xiàng)Rn(x)(　　)(式中01)1x(1)n1n1n1(A)　x　　　(B)　x(n1)(1x)n1(n1)(1x)n1f(x)(1)n1n1(C)　x　　　　　(D)　　xn1n2n2(1x)(1x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)4、

設(shè)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù),且f(0)0,limf(x)2,則點(diǎn)x0x01cosx(A)　是f(x)的極大值點(diǎn)　　　　　(B)　是f(x)的極小值點(diǎn)(C)　不是f(x)的駐點(diǎn)　　　　　　(D)　是f(x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)

5、

曲線yx22x4上點(diǎn)M0(0,4)處的切線M0T與曲線y22(x1)所圍成的平面圖形的面積A214913(A)　　　　(B)　　　(C)　　　(D)　49412

答()

二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分5小題,每小題3分,共15分)

1設(shè)　yln1tan(x)，則y＿＿＿＿x1、

2、

用切線法求方程x32x25x10在(1，0)內(nèi)的近似根時(shí),選x0并相應(yīng)求得下一個(gè)近似值x1則x0，x1分別為__________________

x1y1z12與x1y1z相交于一點(diǎn)，3、設(shè)空間兩直線1則。

sinxe2ax1，當(dāng)x0f(x),在x0處連續(xù)，則a___________.xa　　　　　，當(dāng)x04、

5、0三、解答下列各題(本大題4分)

bxdx_________________，其中b是實(shí)數(shù)．

設(shè)平面與兩個(gè)向量a3ij和bij4k平行，證明：向量c2i6jk與平面垂直。

四、解答下列各題(本大題8分)

討論積分10五、解答下列各題(本大題11分)

dx的斂散性．px

dxxn導(dǎo)出計(jì)算積分In六、解答下列各題

(本大題4分)

x12的遞推公式,其中n為自然數(shù)。

x2yz50l1:z100求過(guò)P0(4,2,3)與平面:xyz100平行且與直線垂

直的直線方程。

七、解答下列各題(本大題6分)

計(jì)算極限lim八、解答下列各題(本大題7分)

e1x01xsinxcos2xxtanx

e試求In(lnx)dx的遞推公式(n為自然數(shù))，并計(jì)算積分(lnx)3dx．1n九、解答下列各題

(本大題8分)十、解答下列各題(本大題5分)

設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可微,但無(wú)界，試證明f(x)在(a,b)內(nèi)無(wú)界。設(shè)lim(x)u0，limf(u)f(u0),證明：limf(x)f(u0)xx0uu0xx0。

十一、解答下列各題(本大題4分)十二、解答下列各題(本大題5分)

在半徑為R的球內(nèi),求體積最大的內(nèi)接圓柱體的高

124,cos135，求A,B重量為p的重物用繩索掛在A,B兩個(gè)釘子上，如圖。設(shè)所受的拉力f1,f2。

cosAOBp十三、解答下列各題

(本大題6分)

　　一質(zhì)點(diǎn),沿拋物線yx(10x)運(yùn)動(dòng),其橫坐標(biāo)隨著時(shí)間t的變化規(guī)律為xtt(t的單位是秒,x的單位是米),求該質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)在點(diǎn)M(8，6)處的變化速率．十四、解答下列各題(本大題7分)

設(shè)曲線xy,x2y2及y0,圍成一平面圖形.(1)求這個(gè)平面圖形的面積;

、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題分5小題,每小題2分,共10分)

1、C2、答：B3、C10分4、（Ｂ）5、C

二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分5小題,每小題3分,共15分)

(2)求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.

112)sec(x)2xx12(1tan(x))x1、

(1

2、x00

10分5分10分

x153、4

4、-1

b22，b00　，b0b25、2，b0

三、解答下列各題

(本大題4分)

ijknab310{4,12,2}平面法向量114nn2與cc平行從而平面與c

垂直。

四、解答下列各題(本大題8分)

　　當(dāng)p1時(shí)，1dx10xplimdx0xplim(101p11xp1)　　lim101p(11p1)1，1pp1，p1當(dāng)p1時(shí)，1dx1dx0xp0xlim0lnx1

1dx0xp當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散.五、解答下列各題(本大題11分)

解:法一In1xn1dx21

2

x1xn1(n1)x21xn2dx

4分8分10分10分

5分

7分10分

3分

x211x2xn1(n1)xn2x21dxx21xn1(n1)1dxxn2x21dx(n1)xnx21

x21xn1(n1)In2(n1)In

故In2x21(n1)xn1nn1In

1x2　　　　　　　　　　　　　　　　I11lnxxcIx21(n1)xn12nn1In2(n2)　I0ln1x2nxc法二令xtant　　dxsec2tdtIsec2tdtsectntanntsecttanntdt

dsecttann1tsectsec3ttann1t(n1)tann2tdtsectsec3tann1t(n1)ttann2tdt(n1)secttanntdt　x21xn1(n1)(In2In)In2nn1Ix21n(n1)xn1Ix212nn(n1)xn1n1In2(n2)

ln1x2I11

xxc

I0ln1x2xc.

六、解答下列各題(本大題4分)

的法向量為n{111,,}7分

10分3分

5分

7分

10分

ijkS1121{2,1,0}l1的方向向量為

001

3分所求直線方向向量為

SnS1{1,2,3}

7分

從而所求直線方程為

x4y2z123310分

七、解答下列各題(本大題6分)

原式lim1xsinxcos22xx0xtanx(1xsinxcos2x)

1xsinxsin222lim(x0xtanxxxtanx)12(14)52

八、解答下列各題

(本大題7分)

Ine1(lnx)ndx　xlnnxene11(lnx)n1dx

enIn1

于是　I)e(1)nn!enenen(n1dx

1

enen(n1)e(1)n1n(n1)2e(1)nn!(e1)

所以　e1(lnx)3dxe3e6e6(e1)　　　62e九、解答下列各題(本大題8分)

證明:反證設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有界,即M0則x(a,b)有f(x)M

取x0(a,b)則對(duì)x(a,b),xx0在以x0與x為端點(diǎn)的區(qū)間上f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件,則至少存在介于x0與x之間,使　　f(x)f(x0)f()(xx0)

即f(x)f(x0)f()(ba)　　　f(x0)M(ba)記為K

3分7分10分4分

7分

10分2分

5分

8分

即f(x)在(a,b)內(nèi)有界與題意矛盾,故假設(shè)不正確,即f(x)在(a,b)內(nèi)無(wú)界.

十、解答下列各題(本大題5分)

由ulimuf(u)f(u0)0任給0，存在0

使當(dāng)uu0時(shí)，恒有f(u)f(u0)又limxx(x)u0，取1，存在00使當(dāng)0xx0時(shí)，(x)u0故當(dāng)0xx0時(shí)，就有f(x)f(u0)成立因此limxxf(x)f(u0)0

十一、解答下列各題(本大題4分)

設(shè)內(nèi)接圓柱體的高為h,則圓柱體的底面半徑rR2(h2)2h(R2h2其體積為　　　V4)　　0h2R

　　　V(R234h2)唯一駐點(diǎn)　h233R　　V32h0

故h233R時(shí),圓柱體體積最大

十二、解答下列各題

(本大題5分)

按點(diǎn)O受力平衡，應(yīng)有

12413f15f2p(4分)f1cosf2cosp5ff(8分)1sinf2sin0，即13135f20

解得f3956p,f251256p

(10分)

十三、解答下列各題

(本大題6分)

當(dāng)　x8時(shí)，t4

10分

4分

8分

10分

4分

8分10分

2分3dxt23(米／秒)2dtt4t4

14分

dydx(102x)x8dtdtx(t)3

答：質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)在M(8，16)處的變化率為18(米／秒)

十四、解答下列各題(本大題7分)

18(米／秒)10分

解:(1)　　　x120y　x2y2　交點(diǎn)(11,).21　　　Sxdx2x2dx21xx　　　(2x2arcsin)3221

3分

1132241,461201*分

8分

(2)　Vxx4dx(2x2)dx54222().315

2(21)3(221)10分

一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題分4小題,每小題3分,共12分)

1、

lim(1cosx)2secx(　　)x2、

14　　　　　　　　　　　　　答（　�。〢．e2　　B．e2　　C．4　　D．　　設(shè)f(x),g(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),g(x)0且limf(x)limg(x)0,xx0xx0則(I)limxx0f(x)f(x)A與(Ⅱ)limA關(guān)系是:xx0g(x)g(x)(A)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要條件(B)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要但非充分條件(C)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要條件(D)　(Ⅰ)不是(Ⅱ)的充分條件，也不是必要條件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（�。�3、

設(shè)f(x)在a，b連續(xù)，F(xiàn)(x)f(x)dt　(axb)，則F(x)是f(x)的ax　(A)．原函數(shù)一般表示式　　　　　　　　(B)．一個(gè)原函數(shù)　(C)．在a，b上的積分與一個(gè)常數(shù)之差　(D)．在a，b上的定積分4、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　�。�

x若已知x0時(shí)，F(xiàn)(x)(x2t2)f(t)dt的導(dǎo)數(shù)與x2是等價(jià)無(wú)窮小，則f(0)01(A)1　　　(B)　2(C)　1　(D)　12　　　　　　　　　　　　　　　　答（　�。┒�、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分4小題,每小題3分,共12分)

1x_______1、yxe的鉛直漸近線是__________2

tan2、3

2xdx__________.

、

設(shè)f(x)為以T為周期的連續(xù)周期函數(shù)，則f(x)在a，aT(a0)上的定積分與f(x)在0，T上的定積分的大小關(guān)系是______________

xy2z7354、直線1與平面3xy9z170的交點(diǎn)為

。

三、解答下列各題

(本大題共2小題，總計(jì)12分)1、(本小題6分)2、(本小題6分)

寫出f(x)ln(1x)x1帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林展開式.

x2y2z216指出錐面4被平行于zox平面的平面所截得的曲線的名稱。

四、解答下列各題

(本大題共5小題，總計(jì)24分)1、(本小題1分)求　xdx.2、(本小題2分)

40

計(jì)算(xx)dx．3、(本小題5分)

求求44、(本小題5分)

lnxdx.x1lnx

．x(1x)

tanx2dx15、(本小題11分)

設(shè)　y(x)(2x)五、解答下列各題

(本大題共2小題，總計(jì)14分)1、(本小題7分)

01，(x1)求dy．2

試證：F(t)ln(t22tcosx1)dx為偶函數(shù)．2、(本小題7分)

試證：對(duì)角線向量是A3,4,1,B2,3,6的平行四邊形是菱形，并計(jì)算其邊長(zhǎng)。

六、解答下列各題

(本大題共3小題，總計(jì)20分)1、(本小題6分)2、(本小題6分)

在拋物線yx2找出到直線3xk4y2的距離為最短的點(diǎn)

設(shè)曲線的方程為yf(x).已知在曲線的任意點(diǎn)(x,y)處滿足y6x,且在曲線上的(0,2)點(diǎn)處的曲線的切線的方程為2x3y6,求此曲線的方程.3、(本小題8分)

經(jīng)濟(jì)學(xué)上,均衡價(jià)格p0定義為供給曲線與需求曲線相交時(shí)的價(jià)格,消費(fèi)者剩余定義為需求曲線與直線pp0間的面積(右圖區(qū)域),生產(chǎn)者剩余定義為供曲線與直線pp0間的面積(右圖區(qū)域).已知需求曲線方程p(x)10000.4x2,供給曲線方程為p(x)42x.求均衡點(diǎn)及消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余.

七、解答下列各題

(本大題共2小題，總計(jì)6分)1、(本小題1分)

設(shè)f(x)在xx0處連續(xù)，g(x)在x0處不連續(xù)，2、(本小題5分)

xx0試判定F(x)f(x)g(x)在x0處的連續(xù)性．

xx0xx0

一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題分4小題,每小題3分,共12分)

1、D10分2、答　(B)3、B4、B

二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分4小題,每小題3分,共12分)

1、x0

2、tanxxc.3、=4、(2,4,3)三、解答下列各題

(本大題共2小題，總計(jì)12分)1、(本小題6分)

10分10分10分

若limf(x)，limg(x)A，試判定limf(x)g(x)是否為無(wú)窮大？10分

x2x3xnf(x)xRn(x)23n11n1Rn(x)x,介于0與x之間n1n1(1)

2、(本小題6分)

2x2y02z416yy0用yy0所截得的曲線為故y00時(shí)為一對(duì)相交直線

7分10分

4分

y00時(shí)為雙曲線10分

四、解答下列各題

(本大題共5小題，總計(jì)24分)1、(本小題1分)

23xdxx2c.3

310分

2、(本小題2分)

x2224原式(x)023403

7分10分3、(本小題5分)

lnxx1lnxdx

lnx1lnxd(lnx)

1lnxd(1lnx)d(1lnx)1lnx

23(1lnx)3221lnxc.

4、(本小題5分)

令　xt

原式22t1t2(1t)dt

22111(tt1)dt2lntln(t1)2

1

2ln435、(本小題11分)

dyy(x)dx

　(2x)tan2x2sec2x1x2ln(2x)2xtan2dx

五、解答下列各題

(本大題共2小題，總計(jì)14分)1、(本小題7分)

F(t)0ln(t22tcosx1)dx令　xu

F(t)0ln(t22tcosu1)du

0lnt(22tcosx1)dx

F(t)

2、(本小題7分)

因?yàn)锳B32(4)3(1)(6)0，故AB

因此這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線是垂直的，于是它是菱形。（6分）邊長(zhǎng)=05.|A|205.|B|2

21232(4)2(1)212232(621/22

1/22)3分7分10分

4分6分8分10分2分

10分

2分

6分8分10分

523

（10分）

六、解答下列各題

(本大題共3小題，總計(jì)20分)1、(本小題6分)

設(shè)拋物線上任點(diǎn)(x,x2),到直線的距離為d3x4x2291615(4x23x2)

d15(8x3)唯一駐點(diǎn)　x38d850

故當(dāng)x38時(shí),d最小即點(diǎn)38，964到直線3x4y20的距離最短

(注如用切線平行于已知直線解也可以)

2、(本小題6分)

yydx3x2c　　　　　　(1)又由2x3y6得y23x2y(0,2)23　　　代入(1)得

y3x223

y(3x22)dxx3233xc

再將(0,2)代入得c2,yx323x2.

3、(本小題8分)

p10000.4x2p42x,解出x20.均衡點(diǎn)p840.

消費(fèi)者剩余200(10000.4x2)840dx　　　　2133.33生產(chǎn)者剩余201*4042xdx

8400

4分

8分10分3分

5分

10分3分

6分

10分

七、解答下列各題

(本大題共2小題，總計(jì)6分)1、(本小題1分)

F(x)f(x)g(x)在x0處必不連續(xù)

若F(x)在x0處連續(xù)，則g(x)F(x)f(x)在x0處也連續(xù)，矛盾！

2、(本小題5分)

答：不一定．若A0，lim1xxx)1g(x)00f(

limxxf(x)g(x)0但若A0則等式可能不成立

例如lim1x1x1，xlimx(x1)20１

但lim1(x1)2x1x10

b1、極限limx0(1xa)x　　(a0，b0)的值為

b(A)1．　(B)lnba　(C)ea．　(D)bea　　　　　　　　　　　　　　答（　�。�2、

3lim(x01cosx)cosxA．e3　　B．8　　C．1　　D．　　　　　　　　　　　　　　　答（　�。�3、

　　設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)記(Ⅰ)f(a)f(b)(Ⅱ)在(a,b)內(nèi)f(x)0則：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要條件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分條件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要條件(D)(Ⅰ)與(Ⅱ)既非充分也非必要條件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)4、

4分

10分

4分6分

10分

若x0，f(x0)為連續(xù)曲線,yf(x)上的凹弧與凸弧分界點(diǎn),則(　　)(A)　(x0，f(x0))必為曲線的拐點(diǎn)(B)　(x0，f(x0))必定為曲線的駐點(diǎn)(C)　x0為f(x)的極值點(diǎn)(D)　x0必定不是f(x)的極值點(diǎn)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)5、

一長(zhǎng)為L(zhǎng)cm的桿OA繞O點(diǎn)在水平面上作圓周運(yùn)動(dòng).桿的線密度r為桿上一點(diǎn)到O點(diǎn)的距離,角速度為,則總動(dòng)能1,r

二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分3小題,每小題3分,共9分)

1111(A)　2L2　　(B)　2L2　　(C)　2L2　　(D)　2L22345

答()

(3x1、2、

23)dxx0_______________.

設(shè)f(x)t(t1)dt，則f(x)的單調(diào)減少的區(qū)間是__________3、對(duì)于的值，討論級(jí)數(shù)n1（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散三、解答下列各題

(本大題共3小題，總計(jì)13分)1、(本小題4分)2、(本小題4分)

級(jí)數(shù)

(nn1)

驗(yàn)證f(x)x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正確性

nn12n1是否收斂，是否絕對(duì)收斂？3、(本小題5分)

1n1010n

3x,22時(shí)，fxx。設(shè)fx是以2為周期的函數(shù)，當(dāng)又設(shè)Sx是fx的

以2為周期的Fourier級(jí)數(shù)之和函數(shù)。試寫出Sx在,內(nèi)的表達(dá)式。

四、解答下列各題

(本大題共5小題，總計(jì)23分)1、(本小題2分)

2、(本小題2分)3、(本小題4分)

x312x16求極限　lim3x22x9x212x4

求(ex1)3exdx.求214、(本小題7分)

5、(本小題8分)

x21dx．x

求xdx.試將函數(shù)

五、解答下列各題(本大題5分)

y1x2在點(diǎn)x00處展開成泰勒級(jí)數(shù)。

如果冪級(jí)數(shù)n0在x2處條件收斂，那么該級(jí)數(shù)的收斂半徑是多少試證之.六、解答下列各題

(本大題共2小題，總計(jì)16分)1、(本小題7分)

anxn如圖要圍成三間長(zhǎng)都為y,寬都為x的長(zhǎng)方形屋圍,其墻的總長(zhǎng)度為a,問(wèn)x,y各等于多少時(shí),所圍成的總面積最大?(墻的厚度不計(jì))

2、(本小題9分)七、解答下列各題(本大題6分)

求由曲線ye2x,x軸及該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線所圍成的平面圖形的面積.

八、解答下列各題(本大題6分)

xchx，x0，設(shè)　f(x),試討論f(x)的可導(dǎo)性并在可導(dǎo)處求出f(x)ln(1x)，x0

計(jì)算limx0九、解答下列各題

(本大題12分)

b(ab)dt，(a0，b.0)．ln(1t)dt

02x0tt設(shè)函數(shù)f(x)在a，b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(a0)，又設(shè)xrcos，f(x)rsin．試證明：2f(x)dxr2()dbf(b)af(a),a其中arctan

一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）

f(a)f(b)，arctan．a(chǎn)b(本大題分5小題,每小題2分,共10分)

1、答：C2、B

3、答　　(B)4、(A)5、

C因dE12(dm)v2　　121rdr(r)2　　122rdr　EL1022rdr　12L24二、填空題（將正確答案填在橫線上）

(本大題分3小題,每小題3分,共9分)

x9x3971、275x5x7c.

2、

(0，1)　(答0，1不扣分)

3、1時(shí)收斂

1時(shí)發(fā)散

三、解答下列各題

(本大題共3小題，總計(jì)13分)1、(本小題4分)

證明:f(x)x2在[2,3]上連續(xù),在(2,3)可導(dǎo)即f(x)在[2,3]上滿足拉格朗日中值定理的條件

又f"(x)2x令f"()2f(4)f(2)426

得到(2,3)內(nèi)有解3即存在3,使f"()f(4)f(2)42

這就驗(yàn)證了拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)f(x)x2在[2,3]上的正確性

2、(本小題4分)

u1nn1n10n10n2記

10n10n

10分10分10分

10分10分

4分

8分

10分……6分

故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂……10分3、(本小題5分)對(duì)

un1110由于unnfxx,2x32作周期為2的延拓，fx在,內(nèi)

的表達(dá)式為

x2,x,fx2x,x0,x,02x,fx滿足Fourier級(jí)數(shù)收斂的充分條件。故

x2,x2,Sx,xx,2,x0x,02,x,分)

注：只要寫出Sx的表達(dá)式即可得10分。四、解答下列各題

(本大題共5小題，總計(jì)23分)1、(本小題2分)

解:原式lim3x212x26x218x12

　　　lim6xx212x18

　　　2

2、(本小題2分)

(ex1)3exdx

(ex1)3d(ex1)

14(ex1)4c.

3、(本小題4分)

令　xsect

原式30tan2tdt(3分)

(5分)

(10

5分8分10分5分10分4分

3

0(se2ct1)dt(tantt)30

334、(本小題7分)

x2c1　　xxdx20,2x2c2　x0.

由原函數(shù)的連續(xù)性,得x2x2xlimo(2c1)xlimo(2c2)　　c1c2　　令c1c2c

x2c,　xxdx20,xx2x2c,　x02c.

5、(本小題8分)

因?yàn)?/p>

1x21x1x1x101xx0

x0……3分

1n1xnx1,1而1xn0……5分

1n1nx0,2x0所以

x1xxxn00n0x0

1n1nxxn10x21xn1x0,2x0

n00……10

分

五、解答下列各題(本大題5分)

由題意,知:

當(dāng)

x2時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；……4分當(dāng)

x2時(shí),級(jí)數(shù)不可能收斂.……8分故收斂半徑是2.……10分六、解答下列各題

6分8分10分

5分

10分(本大題共2小題，總計(jì)16分)1、(本小題7分)

如圖　4y6xa　　ya432x總面積為A3xy3x(a342x)dA3adx49x　　當(dāng)xa12時(shí),dAdx0　　d2Adx290

故當(dāng)xa12時(shí),A取得唯一極大值也是最大值

此時(shí)　　ya3a4a2128故當(dāng)xa12，ya8時(shí),所求總面積最大

2、(本小題9分)

解:y2e2x.　　設(shè)切點(diǎn)(t0,e2t0),切線y2e2t0x,　　ye2t0,1y2e2t　　t0t002切線y2ex,　　　切點(diǎn)(12,e)

1s2e2xdx1122e

12e2x12114e4e.七、解答下列各題

(本大題6分)

f(0)1，f(00)xlim00ln(1x)0f(00)xlim00coshx1f(x)在x0處不連續(xù),故不可導(dǎo)sinhx，xf(x)0，11x，x0，

八、解答下列各題

(本大題6分)

limaxbx原式x02ln(12x)

3分6分8分

10分3分6分8分10分3分5分

10分5分

axlnabxlnblimx0412x

1aln4b

九、解答下列各題(本大題12分)

10分

因?yàn)閞2x2f2(x)，arctanbf(x)xf(x)f(x)，ddx22xxf(x)

4分6分

于是　r2()dxf(x)f(x)dxaxf(x)dxf(x)dxaabb

baxf(x)baf(x)dxf(x)dxab8分

bf(b)af(a)2f(x)dxabb

10分

所以　2f(x)dxr2()dbf(b)af(a)a一、一、填空

1.

cosx,x0x2f(x)(a0)aax,x0x1.設(shè)當(dāng)a=時(shí)，

x=0是f(x)的連續(xù)點(diǎn)。

解：

aax1x0x2a故a1時(shí)x0是連續(xù)點(diǎn)，a1時(shí)x0是間斷點(diǎn)。

dy設(shè)方程xyarctany0確定了yy(x),求dx＝。2．

y1y21y0y221yy解：1acos2xbcos4xlimx43．x0＝A，則a=，b=，A=。

解：要使極限存在，分子與分母應(yīng)是極限過(guò)程中的同階無(wú)窮小或高階無(wú)窮小，于是有1＋a+b=0，用一次羅必達(dá)法則分子仍為無(wú)窮小，有a+4b=0解出：a=-4/3b=1/3代入求得極限A＝8/3

f(0)limlimx4．函數(shù)yx2的極小值點(diǎn)為。

1xxx2y21xln2y2(2ln2x(ln2))在駐點(diǎn)處y’’>0,故ln2解：駐點(diǎn),駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)。

12cosx1x0x5．設(shè)f(x)=xlnx在x0處可導(dǎo)，且f’(x0)=2,則f(x0)=。解：f(x)lnx1,由f(x0)2知x0e,于是有f(x0)e.

6.設(shè)limx0fxf01,x2則f(x)在x=0取得（填極大值或極小值）。

解：

limfxf0fxf0＝－1,由極限的保號(hào)性有0,有fxf0022x0xx即在x0的某鄰域內(nèi)有fxf0,由極值定義知x0是極大值點(diǎn)。　二、

1x1x0函數(shù)f(x)x0,x0是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？并求f(x)的導(dǎo)函數(shù)。解：當(dāng)x>0及xd2ydx2x2。

y1sint11yt0切線方程：y1x21cost22sin0cos011yx241cos03

x2時(shí)y1,t0ysintcost1解：

四、四、試確定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在點(diǎn)(1,-1)處有拐點(diǎn)，且在

x=0處有極大值為1，并求此函數(shù)的極小值。解：

y3x22axb,y00b0,y(0)1,c1.y6x2a,y(1)62a0,a3.yx33x21,y3x26x3x(x2)y0時(shí)，駐點(diǎn)：　　x10,x22,y060.極小值y(2)3。

1cost3五、五、若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角

形。

解：設(shè)所給直角邊為x,斜邊與其之和為L(zhǎng)，則

1x2xLxx2L22Lx22LL3x12xsL2Lx22L2Lx2L22LxL令s0x這是唯一駐點(diǎn)，且最大值存在，故3L2Ls為最大面積，此時(shí)x邊與斜邊夾角為3363六、六、證明不等式：,e.slnx1lnx則f(x)0(xe)xx2ln()ln()f(x)在(a,)上單減，f()f(),　　即　證：令f(x)ln()ln()lnln.

2limnf.nn七、七、y=f(x)與y=sin(x)在原點(diǎn)相切，求極限

解：f(0)sin(0)0.f(0)sinxx0cos01,當(dāng)x0時(shí)f(x)與x是等價(jià)無(wú)窮小，2f2/n2　　limnflim2nnn2/n八、

證明：(1)至少有一點(diǎn)ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)=ξ;

八、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.(2)R，存在(0,)，使得f’()-[f()-]=1證：（1）令F(x)=f(x)-x,則f在[0,1]連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，F(xiàn)（1/2）=f(1/2)-1/2>0

F(1)=f(1)-1=0-1解：

x0limxlimex0xxlnxex0limxlnxelnxx01xlim1limxx01ex21

d2y|xy2x0eexy0yy(x)dx2．函數(shù)由方程確定，求。

exeyxy0exeyyyxy0xyy2解：eeyeyyyxy0

d2y|22x0x0,y0y1dx又，，得。

3．求定積分

解

11221x2dx2x。

：

xst1x22222dxcottdt(csct1)dt122x24444．求過(guò)點(diǎn)(3,1,2)且與平面x2z1和y3z2平行的直線方程。

ijs10k2(2,3,1)x3y1z223，。

解：

0131sinx,0xf(x)2x(x)f(t)dt0,其它05．設(shè)，求。

解：x0，

(x)f(t)dt00xx

1x1(x)f(t)dtsintdt(1cosx)02020x，xx1(x)f(t)dtsintdt0dt10x，20

四、（7分）長(zhǎng)為l的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問(wèn)

這兩段鐵絲各為多長(zhǎng)時(shí)，正方形的面積與圓的面積之和最��？

解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則正方形的面積與圓的面積之和為

(l4x2)S(x)x4。l4xl4l4lS(x)2x20x,l4。所以兩段鐵絲分別為44時(shí)，正方，

形的面積與圓的面積之和最小。

2五、解答下列各題（每小題4分，共12分）

221．設(shè)曲線y1x(0x1)，x軸以及y軸所圍區(qū)域被曲線yax(a0)分成面積相等的兩部分，求a。解：由

1a10(1xax)dx221a10axdx211a1(1x2)dx，a3

x2xf(t)dt102．設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且0f(x)1。判斷方程在

(0,1)內(nèi)有幾個(gè)實(shí)根？并證明你的結(jié)論。

解：

F(F(x)02x01xf(t)dt1，F(xiàn)(x)在

[0,1]上連續(xù)，

d1x()0，所以F(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。又

F(x)2f(x)2110，F(xiàn)(x)在[0,1]上是單調(diào)遞增的，所以F(x)在(0,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即

0)F1,(f1)x2xf(t)dt10x在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。

120f(1)2xf(x)dx03、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且，求證在(0,1)內(nèi)至少存

f()f()。在一點(diǎn)，使得

f(1)2解：F(x)xf(x)，F(xiàn)(x)在[0,1]上可導(dǎo)。由

1f(1)2cf(c)02使得，即f(1)cf(c)。由Roll定理，存在(c,1)(0,1)，使

f()f()。得F()0，即

1201c[0,]xf(x)dx02，，存在

高等數(shù)學(xué)第一學(xué)期半期試題解答（05）

一．1．

一．（共20分）試解下列各題：

x1x1x1x1,(x1)求dy設(shè)yy12。

11x1x1dx2x12x1

dydx。

解：2．

x1x12dy設(shè)方程xyarctany0確定了yy(x),求1y2yy2

x3ax2x4A.。則a=4,A=-63．設(shè)limx1x114．函數(shù)yx2x的極小值點(diǎn)。

ln2xcosx2,x05.設(shè)f(x)aax(a0)

,x0xy1y021y解：aax1x0x2a

故a1時(shí)x0是連續(xù)點(diǎn)，a1時(shí)x0是間斷點(diǎn)。解：f(0)limlim12cosx1x0x22二．二．（10分）若yf(x)是奇函數(shù)且x=0在可導(dǎo),

是什么類型的間斷點(diǎn)？說(shuō)明理由。

解：由f(x)是奇函數(shù)，且在x0可導(dǎo)，知f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，f(0)f(0)故f(0)0f(x)f0limF(x)limf0存在,故為第一類間斷點(diǎn)可去。x0x0x0三．三．（共20分）求下列極限

F(x)f(x)x在x=0

1

1x．

1xxlimx21(3x31x1x2)1x；解

11：原式＝

332ln333limlimxx211xx2ln32limln3(3x3x)ln32x

2.x0lim(12x)x22x112x2x2ln12x；解：原式＝x0lim2x4x12x224

xt2sintd2y設(shè)曲線方程為ytcost,求此曲線在x=2的點(diǎn)處的切線方程,及dx2。3．

1sint11解：x2時(shí)y1,t0yyt0切線方程：y1x21cost22

sintcost1y1cost322(x1)lnxx1x0四．四．（10分）證明：當(dāng)時(shí)，。

11x1證明：當(dāng)x1時(shí)，令f(x)lnx在[1,x]上用拉氏中值定理有l(wèi)nxx1x11x1同乘以x21有x21lnxx12其中1x即lnxx1111x當(dāng)0x1時(shí)，令f(x)lnx在[x,1]上用拉氏中值定理有l(wèi)nx1xx11x1同乘以x21有x21lnxx12其中x1即lnxx1當(dāng)x1時(shí)等式成立。x2五．五．（10分）求內(nèi)接于橢圓a三角形之面積的最大值。解：

2y2b21，且底邊與x軸平行的等腰設(shè)底邊方程為：ytbt0，t22a三角形面積Abt2a12bb設(shè)zbtb2t222bt2b2t22z2btbt2z的最大值點(diǎn)也是A的最大值點(diǎn)。2tbt2btb2t2令z0得tb（舍去）tb2bbzb20即t為唯一極大值點(diǎn)，2233ab4亦即為所求面積之最大值點(diǎn)。最大值為A

nn1x2x1在（0，1）上必有六．（10分）證明：方程xxlimxn唯一的實(shí)根xn(n>2)，并求n。證：

六．

設(shè)f(x)xnxn1x2x1其在[0,1]上連續(xù)。f(0)1,f(1)n1由n2知函數(shù)在端點(diǎn)異號(hào)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理知至少有一點(diǎn)(0,1)使f()0.又fnxn12x10知函數(shù)f(x)單調(diào)增加，故在(0,1)上有唯一實(shí)根。由xnxnxn1n1nn1xnxn1n22xn1xn1xn115151因此0xn1故由極限存在準(zhǔn)則知其有極限，設(shè)極限22nxn1xnx1由方程有1兩邊n取極限01解出x01xn1x021acos2xbcos4x七．七．（10分）確定常數(shù)a、b,使極限lim存在，

x0x4并求出其值。

解：要使極限存在，分子與分母應(yīng)是極限過(guò)程中的同階無(wú)窮小或高階無(wú)窮小，于是有1＋a+b=0，用一次羅必達(dá)法則分子仍為無(wú)窮小，有a+4b=0解出：a=-4/3b=1/3代入求得極限為8/3

八．八．（10分）設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可微，且f(a)=f(b)=0,

證明：對(duì)R,ca,b，使得fcfc。

證明：構(gòu)造函數(shù)F(x)=e-xf(x)則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可微F(a)=F(b)=0由羅爾定理R,ca,b，使得Fc0,而Fxexfxexfx即有R,ca,b，使得fcfc證畢。知xn是單調(diào)下降數(shù)列，而x

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