《高中數(shù)學 選修4—5 》知識點總結(經典版)

《高中數(shù)學選修45》知識點總結（經典版）

1、不等式的基本性質①（對稱性）abba②（傳遞性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd（異向可減性）ab,cdacbd④（可積性）ab,c0acbc

ab,c0acbc⑤（同向正數(shù)可乘性）ab0,cd0acbdacbd

（異向正數(shù)可除性）ab0,0cd

⑥（平方法則）ab0anbn(nN,且n1)⑦（開方法則）ab0nanb(nN,且n1)⑧（倒數(shù)法則）ab02、幾個重要不等式①ab2aba，bR,（當且僅當ab時取""號）.變形公式：ab221a1b;ab01a1b

ab222.

②（基本不等式）

ab2ab

a，bR,（當且僅當ab時取到等號）.

ab變形公式：ab2abab.

22用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術幾何平均不等式）

abc33abc(a、b、cR)（當且僅當abc時取到等號）.

④abcabbccaa，bR

222（當且僅當abc時取到等號）.⑤abc3abc(a0,b0,c0)（當且僅當abc時取到等號）.⑥若ab0,則若ab0,則babaabab2（當僅當a=b時取等號）2（當僅當a=b時取等號）

ab333⑦

babmam1anbn，（其中ab0，m0，n0)

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.⑧當a0時，xaxaxa或xa;

22xaxaaxa.

22⑨絕對值三角不等式ababab.

3、幾個著名不等式①平均不等式：

2a1b1abab2ab222，（a,bR，當且僅當ab時取""號）.

（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）.變形公式：

22(ab)abab22ab.ab;22222②冪平均不等式：

a1a2...an2221n(a1a2...an).

2③二維形式的三角不等式：x1y122x2y222(x1x2)(y1y2)22(x1,y1,x2,y2R).

④二維形式的柯西不等式：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).當且僅當adbc時，等號成立.⑤三維形式的柯西不等式：

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).

2222222⑥一般形式的柯西不等式：

(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn).

2222222⑦向量形式的柯西不等式：

k設,是兩個向量，則,當且僅當是零向量，或存在實數(shù)，使k時，等號成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設a1a2...an,b1b2...bn為兩組實數(shù).c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，則

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和亂序和順序和），當且僅當a1a2...an或b1b2...bn時，反序和等于順序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1f(x1x22)f(x1)f(x2)2或f(x1x22)f(x1)f(x2)2.則稱

x2),有

f(x)為凸（或凹）函數(shù).

4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數(shù)單調性法，數(shù)學歸納法等.

常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項，如(a12)234(a12);

2②將分子或分母放大（縮小），如

1k21k(k1),

1k21k(k1),22k2kk1k2kk1,1k2kk1(kN,k1)等.

*5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b4ac0)解集的步驟：

2一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)0f(x)g(x)00g(x)g(x)0（時同理）“或”規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解⑴⑵f(x)0f(x)a(a0)2f(x)af(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)g(x)0

f(x)g(x)f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a⑶⑷⑸f(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：f(x)g(x)af(x)g(x)⑴當a1時,af(x)g(x)af(x)g(x)⑵當0a1時,a規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質轉化.10、對數(shù)不等式的解法⑴當a1時,logaf(x)0f(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)⑵當0a1時,loga規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質轉化.11、含絕對值不等式的解法：(a0)a⑴定義法：a.

a(a0)⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解變形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④

f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)22

規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2bxc0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有：⑴討論a與0的大�。虎朴懻撆c0的大��；⑶討論兩根的大小.14、恒成立問題⑴不等式axbxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當a0時b0,c0;

a0②當a0時

0.2⑵不等式axbxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當a0時b0,c0;

a0a0②當時0.2⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：

由于直線AxByC0的同一側的所有點的坐標代入AxByC后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點(x0,y0)（如原點），由Ax0By0C的正負即可判斷出AxByC0(或

0)表示直線哪一側的平面區(qū)域.

即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.

法二：根據(jù)AxByC0(或0)，觀察B的符號與不等式開口的符號，若同號，AxByC0(或0)表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.

即：同號上方，異號下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.⑶利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)zAxBy(A,B為常數(shù)）的最值：法一：角點法：

如果目標函數(shù)zAxBy（x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數(shù)，得到一組對應z值，最大的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最大值，最小的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最小值

法二：畫移定求：

第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線l0:AxBy0，平移直線l0（據(jù)可行域，將直線l0平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標函數(shù)zAxBy即可求出最大值或最小值.

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

ABzB利用z的幾何意義：yx,

zB為直線的縱截距.

①若B0,則使目標函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最小值；

②若B0,則使目標函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最大值.⑷常見的目標函數(shù)的類型：①“截距”型：zAxBy;

②“斜率”型：zyx或zybxa;

③“距離”型：zx2y2或zxy;

2222z(xa)(yb)或z(xa)(yb).

22在求該“三型”的目標函數(shù)的最值時，可結合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.

擴展閱讀：高中數(shù)學高考知識點總結附有經典例題

數(shù)學

高一數(shù)學必修1知識網絡

集合

（）元素與集合的關系：屬于（）和不屬于（）1（集合與元素2）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性（3）集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質描述）、圖示法、區(qū)間法（子集：若xAxB，則AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n個元素，則集合A的子集有2n個，真子集有(2n-1)個。2、任何一個集合是它本身的子集，即AA注關系3、對于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），則A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合與集合定義：ABx/xA且xB交集性質：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定義：ABx/xA或xB并集性質：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB運算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定義：CUAx/xU且xAA補集性質：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU

函數(shù)

映射定義：設A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：B為從集合A到集合B的一個映射傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個變量x,y,并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，定義按照某個對應關系f,y都有唯一確定的值和它對應。那么y就是x的函數(shù)。記作yf(x).近代定義：函數(shù)是從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射。定義域函數(shù)及其表示函數(shù)的三要素值域對應法則解析法函數(shù)的表示方法列表法圖象法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調性導數(shù)定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)0，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x)0a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減,最大值：設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；函數(shù)（2）存在x0I，使得f(x0)M。則稱M是函數(shù)yf(x)的最大值函數(shù)的基本性質最值最小值：設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)N滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。則稱N是函數(shù)yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱。奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱。奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱周期性：在函數(shù)f(x)的定義域上恒有f(xT)f(x)(T0的常數(shù))則f(x)叫做周期函數(shù)，T為周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡稱周期（1）描點連線法：列表、描點、連線向左平移個單位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a個單位：yy,xaxyf(xa)平移變換向上平移b個單位：x1x,y1byybf(x)11向下平移b個單位：xx,y11byybf(x)橫坐標變換：把各點的橫坐標x1縮短（當w1時）或伸長（當0w1時）到原來的1/w倍（縱坐標不變），即x1wxyf(wx)伸縮變換縱坐標變換：把各點的縱坐標y伸長（A1)或縮短（0A1)到原來的A倍1函數(shù)圖象的畫法（橫坐標不變），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x2x0x2）變換法12y0yf(2x0x)關于點(x0,y0)對稱：yy12y0y12y0yxx12x0x2x0x關于直線xx0對稱：1yf(2x0x)yy1y1y對稱變換xx1xx關于直線yy0對稱：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx1關于直線yx對稱：yf1(x)yy1附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)ytanx中

xk2(kZ)；余切函數(shù)ycotx中；6、如果函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應依據(jù)

自變量的實際意義確定其取值范圍。二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調性法五、函數(shù)單調性的常用結論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則f(x)g(x)在這個區(qū)間上也為增（減）函數(shù)

2、若f(x)為增（減）函數(shù)，則f(x)為減（增）函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調性相同，則yf[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調性不同，則yf[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反。

5、常用函數(shù)的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結論：

1、如果一個奇函數(shù)在x0處有定義，則f(0)0，如果一個函數(shù)yf(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)0（反之不成立）

2、兩個奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)yf(u)和ug(x)復合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復合函數(shù)就是偶函數(shù)；當兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)可以表示為

11f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶

22函數(shù)的和。

零點：對于函數(shù)yf（x）,我們把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點。定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,零點與根的關系那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]內有零點。即存在c(a,b),使得f(c)0,這個c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）關系：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)有零點函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)0,給定精確度；函數(shù)與方程(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;函數(shù)的應用(3)計算f(c)；二分法求方程的近似解①若f(c)0,則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)f(c)0,則令b（此時零點cx(a,b)）；0③若f(c)f(b)0,則令a（此時零點cx(c,b)）；0(4)判斷是否達到精確度：即若a-b,則得到零點的近似值a(或b);否則重復24。幾類不同的增長函數(shù)模型函數(shù)模型及其應用用已知函數(shù)模型解決問題建立實際問題的函數(shù)模型mna,n為根指數(shù)，a為被開方數(shù)根式：nmana分數(shù)指數(shù)冪arasars(a0,r,sQ)指數(shù)的運算rs指數(shù)函數(shù)rs性質(a)a(a0,r,sQ)(ab)rarbs(a0,b0,rQ)定義：一般地把函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質：見表1對數(shù)：xlogaN,a為底數(shù)，N為真數(shù)loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數(shù)logaMlogaMlogaN;.N對數(shù)的運算性質nnlogaM;(a0,a1,M0,N0)logaM對數(shù)函數(shù)logcblogab(a,c0且a,c1,b0)換底公式：logca對數(shù)函數(shù)定義：一般地把函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)性質：見表1定義：一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，x是自變量，是常數(shù)。冪函數(shù)性質：見表2

表1定義域值域指數(shù)函數(shù)yaa0,a1x對數(shù)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a1x0,yRxRy0,圖象過定點(0,1)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)過定點(1,0)增函數(shù)x(,0)時，y(1,)x(,0)時，y(0,1)x(0,1)時，y(0,)x(0,1)時，y(,0)x(0,)時，y(0,1)x(0,)時，y(1,)x(1,)時，y(,0)x(1,)時，y(0,)性質ab表2ababab冪函數(shù)yx(R)pq00111p為奇數(shù)q為奇數(shù)奇函數(shù)

p為奇數(shù)q為偶數(shù)p為偶數(shù)q為奇數(shù)第一象限性質減函數(shù)增函數(shù)偶函數(shù)（0，1）過定點

高中數(shù)學必修2知識點

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當0,90時，k0；當90,180時，k0；當90時，k不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：ky2y1(x1x2)

x2x1注意下面四點：(1)當x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1

注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：④截矩式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1xy1ab其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質的直線（一）平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：

A0xB0yC0（C為常數(shù)）

（二）過定點的直線系（）斜率為k的直線系：（）過兩條直線l1:yy0kxx0，直線過定點x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為

，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直

當l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交點坐標即方程組的一組解。A2xB2yC20方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合（8）兩點間距離公式：設A(x1,y1)，（是平面直角坐標系中的兩個點，Bx2,y2）則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

（9）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

A2B2（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標準方程xaybr2，圓心

22a,b，半徑為r；

22（2）一般方程x2y2DxEyF0

DE，半徑為r1D2E24F當DE4F0時，方程表示圓，此時圓心為,222當DE4F0時，表示一個點；當DE4F0時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系：

直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為

dAaBbC，則有dA2B22222rl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

22（2）設直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有

0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交

2注：如果圓心的位置在原點，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點坐標，r表示半徑。(3)過圓上一點的切線方程：

2①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為xx0yy0r(課本命題)．

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；

當dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當dRr時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；當dRr時，兩圓內含；當d0時，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結構特征

（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點字母，如五棱柱AD幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；

平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐PABCDE

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距

離與高的比的平方。

（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個

矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

""""""""""""""""3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"

S直棱柱側面積chS圓柱側2rhS正棱錐側面積1ch"S圓錐側面積rl

2S正棱臺側面積S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRlR2

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

-10-

1(c1c2)h"S圓臺側面積(rR)l

1V柱ShV圓柱Sh2rhV錐ShV圓錐1r2h

331"11"22V臺(S"S"SS)hV圓臺(SSSS)h(rrRR)h

333

2（4）球體的表面積和體積公式：V球=4R3；S球面=4R34、空間點、直線、平面的位置關系（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內）；

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點與平面的關系：點A在平面內，記作A；點A不在平面內，記作A

點與直線的關系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關系：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。

（即直線在平面內，或者平面經過直線）應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內

用符號語言表示公理1：Al,Bl,A,Bl（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。符號語言：PABABl,Pl公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線②異面直線性質：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8）空間直線與平面之間的位置關系

直線在平面內有無數(shù)個公共點．

三種位置關系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面與平面之間的位置關系：平行沒有公共點；α∥β

相交有一條公共直線。α∩β＝b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。

線線平行線面平行

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

（線面平行→面面平行），

（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行→面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理

（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關系的判定和性質定理①線面垂直判定定理和性質定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質定理

判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。

在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這．．．．．兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角

7、空間直角坐標系

（1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點，分別以OD,OA,,OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

1）O叫做坐標原點2）x軸，y軸，z軸叫做坐標軸.3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序實數(shù)組(x,y,z)來表示，有序實數(shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,y,z)（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標）

（4）空間兩點距離坐標公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

高一數(shù)學必修3公式總結以及例題

1算法初步

秦九韶算法：通過一次式的反復計算逐步得出高次多項式的值，對于一個n次多項

式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達式如下：

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

例題：秦九韶算法計算多項式3x64x55x46x37x28x1,當x0.4時,

需要做幾次加法和乘法運算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具

有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調說明書是空調使用的

算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設計語言（本書指偽代碼）.2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去

②確定性：算法的每一步操作內容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一

個或多個。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機器在一定時

間內可以完成，在時間上有一個合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關系運算等②控制結構:

順序結構，選擇結構，循環(huán)結構

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結構

的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結束的好習慣

2.拿不準的時候可以先根據(jù)結構特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結果時，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結到一起，一起終結到結束框。

算法結構：順序結構，選擇結構，循環(huán)結構AA

pAYNNppY

BABYN

直到型循環(huán)當型循環(huán)

Ⅰ.順序結構（sequencestructure）：是一種最簡單最基本的結構它不存在條件判斷、控制轉

移和重復執(zhí)行的操作，一個順序結構的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

Ⅱ.選擇結構（selectionstructure）：或者稱為分支結構。其中的判斷框，書寫時主要是注意臨

界條件的確定。它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中

的A,B兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

Ⅲ.循環(huán)結構（cyclestructure）：它用來解決現(xiàn)實生活中的重復操作問題，分直到型（until）和

當型(while)兩種結構(見上圖)。當事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時（即不知道循環(huán)次數(shù)時）用當型循環(huán)。

基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC語言編寫

的,是介于自然語言和機器語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用xy，也可以用xy;

表示兩變量相乘時可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.賦值語句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值賦給x，

其中x是一個變量，y是一個與x同類型的變量或者表達式.

一般格式：“變量表達式”，有時在偽代碼的書寫時也可以用“xy”，但此時

的“=”不是數(shù)學運算中的等號，而應理解為一個賦值號。

注：1.賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達式，右邊可以是常數(shù)或者表達式�！�=”具有計算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯誤的，而a=3*51,a=2a+3都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,c=2都是錯誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxpxxyxy,同樣的如果交換三個變量x,y,z的值:

yzypzpⅡ.輸入語句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運算結果x,y注：1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read語句輸入的只能是變量而不是表達式3.Print語句不能起賦值語句，意旨不能在Print語句中用“=”4.Print語句可以輸出常量和表達式的值.5.有多個語句在一行書寫時用“；”隔開.例題：當x等于5時，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結果是x=5Ⅲ.條件語句（conditionalstatement）：

1.行If語句:IfAThenB注：沒有EndIf

2.塊If語句：注：①不要忘記結束語句EndIf，當有If語句嵌套使用時，有

幾個If，就必須要有幾個EndIf②.ElseIf是對上一個條件的否定，即已經不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。④為了使得書寫清晰易懂，應縮進書寫。格式如下：

IfAThenIfAThen

BB

ElseElseIfCThen

CD

EndIfEndIf

例題:用條件語句寫出求三個數(shù)種最大數(shù)的一個算法.

Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen

Printb

Else注：1.同樣的你可以寫出求三個數(shù)中最小的數(shù)。Printc2.也可以類似的求出四個數(shù)中最小、大的數(shù)

IfEnd

EndIf

Ⅳ.循環(huán)語句（cyclestatement）：當事先知道循環(huán)次數(shù)時用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數(shù)的循環(huán)當循環(huán)次數(shù)不確定時用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達形式，與循環(huán)結構的兩種循環(huán)相對應.WhileAForIFrom初值to終值Step步長……EndWhileWhile循環(huán)EndForFor循環(huán)DoWhilepDo……Loop當型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)說明：1.While循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進入循環(huán)，其實質是當型循環(huán)，一般在解決有關問題時，可以寫成While循環(huán)，較為簡單，因為它的條件相對好判斷.2.凡是能用While

循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫3.While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉化4.Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉化，轉化時條件要相應變化5.注意臨界條件的判定.

135...99的一個算法.（見課本P21）例題：設計計算S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSS1I1WhileI99SSI

I1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSII2EndWhilePrintS

S1S1I1DoSSIII2LoopUntilI100(或者I99)PrintSI1DoII2

SSILoopUntilI99PrintSS1S1I1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopDoWhileI97(或者I99)II2

SSILoopPrintS

PrintS

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。

2.在具體做題時，可能好多的同學感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。

3.書寫程序時一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學會看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！

高中數(shù)學必修4知識點

正角:按逆時針方向旋轉形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再n*從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對

應的標號即為終邊所落在的區(qū)域．

n5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

l6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是．

r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則

11lr，C2rl，Slrr2．

229、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是x,y，它與原點的距離是rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx-18-

10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．12、同角三角函數(shù)的基本關系：1sincos1

22ysin21cos2,cos21sin2；2sintancosPTOMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱

坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移

1倍（縱坐標不變），得

個單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx0,0的性質：

①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數(shù)ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin；當xx2時，取得最大值

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質：函

ycosxytanxysinx數(shù)性

為ymax，則質

圖象定

義域值

域當

x2k

R1,1

R1,1

xxk,k

2R

2k當x2kk時，ymax1；當x2k

k時，ymin1．既無最大值也無最小值

時，ymax1；當

最值

x2k2

，

k時

ymin1．

周

期性奇

偶性

在單

調性

22

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在

2k,2k222k,2kk在k,k

22上是增函數(shù)；在k上是增函數(shù)．

-20-

k上是增函數(shù)；

在

2k,2k

k上是減函數(shù)．

32k,2k

22

k上是減函數(shù)．

稱中

心對

稱中心對稱中心

k,0k2對

k,0k對

k,0k稱2對稱軸性

xkk對稱軸xkk

2無對稱軸

16、向量：既有大小，又有方向的量．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運算性質：①交換律：abba；②結合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

C

⑵坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2y,1y2．

ab

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

abCC

aa；

②當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，

a0．

⑵運算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標運算：設ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba．

設ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0共

線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內所

有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，當

xx2y1y2,12時，點的坐標是1．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質：設a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，abab；當a22與b反向時，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標運算：設兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y224、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；

⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵

cos2cos2sin22cos2112sin2（

cos2cos212sin21cos22）．⑶tan22tan1tan2．

26、sincos22sin，其中tan．

-23-

，

高中數(shù)學必修5知識點

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

222徑，則有

4、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推論：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．9、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．10、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列．12、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列．13、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列．

14、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．15、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關系的公式．

16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式．

17、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

222222222，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，18、由三個數(shù)a，則稱為a與b的等差中項．若

bac，則稱b為a與c的等差中項．2-24-

19、若等差數(shù)列

an的首項是a，公差是d，則a1na1n1d．

；

ana120、通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dn1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則aman是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq；若anapaq．

na1annn1SSnad．22、等差數(shù)列的前n項和的公式：①n；②n122*23、等差數(shù)列的前n項和的性質：①若項數(shù)為2nn，則

S2nnanan1，且

S奇anS偶S奇nd，

S偶an1．

*②若項數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

24、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

G，b成等比數(shù)列，25、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，

則稱G為a與b的等比中項．

26、若等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通項公式的變形：①n；②1；③mn2qn1an；④a1qnmanam．

*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是*等比數(shù)列，且2npq（n、p、q），則an2apaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q*30、等比數(shù)列的前n項和的性質：①若項數(shù)為2nn，則

S偶S奇q．

②SnmSnqnSm．

③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列．

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：判別式b4ac

201*

二次函數(shù)yaxbxc

2a0的圖象

有兩個相異實

一元二次方程

數(shù)根

有兩個相等實

數(shù)根

axbxc0

2bx1,22a

a0的根

x1x2

b2a沒有實數(shù)

根

x1x2

一元

二次不等式的

axbxc0

2xxx或xx

12a0

bxx

2aR

解集

axbx","p":{"h":19.177,"w":17.317,"x":227.441,"y":123.418,"z":

a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22244、極值定理：設x、y都為正數(shù)，則有

22s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．

4⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．

高中數(shù)學常用公式及常用結論

1.元素與集合的關系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含關系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5．集合{a1,a2,,an}的子集個數(shù)共有2個；真子集有21個；非空子集有21個；非空的真子集有22個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解連不等式Nf(x)M常有以下轉化形式

nnnnNf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

MNMNf(x)N|0|f(x)22Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個實根,與f(k1)f(k2)0不等價,前者是后者的一

個必要而不是充分條件.特別地,方程axbxc0(a0)有且只有一個實根在(k1,k2)內,等價于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k19.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

2二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在x2kk2kk2bb1k2.,或f(k2)0且12a222ab處及區(qū)間的兩端2a點處取得，具體如下：

(1)當a>0時，若xbbp,q，則f(x)minf(),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2abbp,q，則f(x)minminf(p(2)當a

依據(jù)：若f(m)f(n)0，則方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內至少有一個實根.設f(x)x2pxq，則

p24q0（1）方程f(x)0在區(qū)間(m,)內有根的充要條件為f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在區(qū)間(m,n)內有根的充要條件為f(m)f(n)0或p24q0或

mpn2f(m)0f(n)0或；af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內有根的充要條件為f(m)0或p.

m211.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要條件是b0或2.

c0b4ac012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見結論的否定形式原結論反設詞原結論是不是至少有一個都是不都是至多有一個大于不大于至少有n個小于不小于至多有n個對所有x，存在某x，p或q成立不成立對任何x，不成立存在某x，p且q成立反設詞一個也沒有至少有兩個至多有（n1）個至少有（n1）個p且qp或q

14.四種命題的相互關系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ

互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調性

(1)設x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內,和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)yf[g(x)]是增函

(x1x2)f(x1)f(x2)0數(shù).

18．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則

f(xa)f(xa).

20.對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)ababx;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關于直線x對稱.

22a21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關于點(,0)對稱;若f(x)f(xa),

2則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22．多項式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關于直線xab對稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關于直線xab對稱.2m(3)函數(shù)yf(x)和yf1(x)的圖象關于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則f(x)的周

1f(x1)f(x2)或f(xa)期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

30.分數(shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a

31．根式的性質

（1）(na)na.

（2）當n為奇數(shù)時，nana；當n為偶數(shù)時，nan|a|32．有理指數(shù)冪的運算性質(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

a,a0.

a,a0logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN35．對數(shù)的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga236.設函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域為R,則

a0，且0;若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要單獨檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).，(2)當ab時,在(0,aa若a0,b0,x0,x推論:設nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga38.平均增長率的問題

x如果原來產值的基礎數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產值y，有yN(1p).39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關系

2mn.2n1s1,(數(shù)列{an}的前n項的和為sna1a2an).ansnsn1,n2

40.等差數(shù)列的通項公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n項和公式為

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等比數(shù)列的通項公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n項的和公式為

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差數(shù)列an:an1qand,a1b(q0)的通項公式為

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n項和公式為

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭貸款)

ab(1b)n每次還款x元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).n(1b)144．常見三角不等式（1）若x(0,(2)若x(0,2)，則sinxxtanx.

2(3)|sinx||cosx|1.

)，則1sinxcosx2.45.同角三角函數(shù)的基本關系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的誘導公式

sin，tancot1.cos

nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,

47.和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan.tan()1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=

b定,tan).

a48.二倍角公式

a2b2sin()(輔助角所在象限由點(a,b)的象限決

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2.

1tan249.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()33.

3tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T周期T2；函數(shù)ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的

.51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面積定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高）.222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(|OA||OB|)(OAOB).(3)SOAB2（1）S54.三角形內角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).22255.簡單的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特別地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.實數(shù)與向量的積的運算律設λ、μ為實數(shù)，那么

(1)結合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運算律：(1)ab=ba（交換律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標表示

設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10.53.a與b的數(shù)量積(或內積)ab=|a||b|cosθ．61.ab的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．

62.平面向量的坐標運算

(1)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1x2,y1y2).

(3)設A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)設a=(x,y),R，則a=(x,y).

(5)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則ab=(x1x2y1y2).

63.兩向量的夾角公式

(2)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面兩點間的距離公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.線段的定比分公式

是實數(shù)，且PP設P12的分點,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段PP1PP2，則

x1x2xOPOP21OP1yy12y111t（）.(1t)OPOPtOP12167.三角形的重心坐標公式

△ABC三個頂點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標是

G(x1x2x3y1y2y3,).3368.點的平移公式

"""xxhxxh"OPOPPP.""yykyyk""注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形F上的對應點為P(x,y)，且PP的坐標為(h,k).

"""69.“按向量平移”的幾個結論

（1）點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P(xh,yk).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為

"""yf(xh)k.

(3)圖象C按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)f(x),則C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.

""(4)曲線C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C的方程為

""

f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設O為ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則

222OABC（1）為的外心OAOBOC.

（2）O為ABC的重心OAOBOC0.

（3）O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O為ABC的內心aOAbOBcOC0.

（5）O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．

abab(當且僅當a＝b時取“=”號)．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當xy時和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，則當xy時積xy有最大值

12s.4推廣已知x,yR，則有(xy)2(xy)22xy（1）若積xy是定值,則當|xy|最大時,|xy|最大；當|xy|最小時,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,則當|xy|最大時,|xy|最��；當|xy|最小時,|xy|最大.

2273.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a與axbxc2同號，則其解集在兩根之外；如果a與axbxc異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

2xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有絕對值的不等式當a>0時，有

xax2aaxa.

2xax2a2xa或xa.

75.無理不等式（1）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0（2）f(x)g(x)g(x)0.或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0（3）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]276.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)當0a1時,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直線的五種方程

k（1）點斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).

（3）兩點式

79.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,

A1B1C1；A2B2C2②l1l2A；1A2B1B20①l1||l280.夾角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

(1)tan|

A1B2A2B1|.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時，直線l1與l2的夾角是.

281.l1到l2的角公式

kk1(1)tan2.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線l1l2時，直線l1到l2的角是.

2(2)tan|82．四種常用直線系方程

(1)定點直線系方程：經過定點P0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線xx0),其中k是待定的系數(shù);經過定點P0(x0,y0)的直線系方程為A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點直線系方程：經過兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．

(3)平行直線系方程：直線ykxb中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是

BxAy0,λ是參變量．

83.點到直線的距離

AB84.AxByC0或0所表示的平面區(qū)域

設直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當B與AxByC同號時，表示直線l的上方的區(qū)域；當B與AxByC異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.

若B0，當A與AxByC同號時，表示直線l的右方的區(qū)域；當A與AxByC異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域

設曲線C:(A，則1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20）

d|Ax0By0C|22(點P(x0,y0),直線l：AxByC0).

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

（1）圓的標準方程(xa)(yb)r.

22（2）圓的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

22222

xarcos.

ybrsin（4）圓的直徑式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

（3）圓的參數(shù)方程87.圓系方程

(1)過點A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直線AB的方程,

λ是待定的系數(shù)．

(2)過直線l:AxByC0與圓C:x2y2DxEyF0的交點的圓系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．

22(3)過圓C1:x2y2D1xE1yF與圓:CxyD2xE2yF20的交點的圓系02122方程是x2y2D1xE1yF(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的系數(shù)．188.點與圓的位置關系

點P(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系有三種若d(ax0)2(by0)2，則

dr點P在圓外;dr點P在圓上;dr點P在圓內.

89.直線與圓的位置關系

直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系有三種:

dr相離0;dr相切0;dr相交0.

AaBbC其中d.

22AB90.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d

dr1r2外離4條公切線;dr1r2外切3條公切線;

r1r2dr1r2相交2條公切線;dr1r2內切1條公切線;0dr1r2內含無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓xyDxEyF0．

①若已知切點(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是

22D(x0x)E(y0y)F0.22D(x0x)E(y0y)F0表示過兩個切點的切點弦當(x0,y0)圓外時,x0xy0y22x0xy0y方程．

②過圓外一點的切線方程可設為yy0k(xx0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條

切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓x2y2r2．

2①過圓上的P0(x0,y0)點的切線方程為x0xy0yr;

②斜率為k的圓的切線方程為ykxr1k2.xacosx2y292.橢圓221(ab0)的參數(shù)方程是.

abybsinx2y293.橢圓221(ab0)焦半徑公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc94．橢圓的的內外部

x2y2（1）點P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的內部abx2y2（2）點P(x0,y0)在橢圓221(ab0)的外部ab95.橢圓的切線方程

22x0y01.a2b222x0y01.a2b2xxyyx2y2(1)橢圓221(ab0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過橢圓221(ab0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y222222（3）橢圓221(ab0)與直線AxByC0相切的條件是AaBbc.

abx2y296.雙曲線221(a0,b0)的焦半徑公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc97.雙曲線的內外部

x2y2(1)點P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的內部abx2y2(2)點P(x0,y0)在雙曲線221(a0,b0)的外部ab98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系

22x0y021.2ab22x0y021.2abx2y2x2y2b(1）若雙曲線方程為221漸近線方程：220yx.

aababxyx2y2b(2)若漸近線方程為yx0雙曲線可設為22.

abaabx2y2x2y20，(3)若雙曲線與221有公共漸近線，可設為22（0，焦點在x軸上，

abab焦點在y軸上）.

99.雙曲線的切線方程

xxyyx2y2(1)雙曲線221(a0,b0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是02021.

ababx2y2（2）過雙曲線221(a0,b0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y222222（3）雙曲線221(a0,b0)與直線AxByC0相切的條件是AaBbc.

ab100.拋物線y22px的焦半徑公式

p拋物線y22px(p0)焦半徑CFx0.

2pp過焦點弦長CDx1x2x1x2p.

222y2101.拋物線y2px上的動點可設為P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中

2py22px.

b24acb2(a0)的圖象是拋物線：102.二次函數(shù)yaxbxca(x)（1）頂點坐標

2a4ab4acb2b4acb214acb21,)；,)；為(（2）焦點的坐標為(（3）準線方程是y.2a4a2a4a4a2103.拋物線的內外部

(1)點P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的內部y22px(p0).點P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的外部y22px(p0).(2)點P(x0,y0)在拋物線y2px(p0)的內部y2px(p0).點P(x0,y0)在拋物線y22px(p0)的外部y22px(p0).(3)點P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的內部x22py(p0).點P(x0,y0)在拋物線x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)點P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的內部x22py(p0).點P(x0,y0)在拋物線x22py(p0)的外部x22py(p0).104.拋物線的切線方程

(1)拋物線y22px上一點P(x0,y0)處的切線方程是y0yp(xx0).

（2）過拋物線y2px外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是y0yp(xx0).（3）拋物線y2px(p0)與直線AxByC0相切的條件是pB2AC.105.兩個常見的曲線系方程

(1)過曲線f1(x,y)0,f2(x,y)0的交點的曲線系方程是

2222222f1(x,y)f2(x,y)0(為參數(shù)).

x2y221,其中kmax{a2,b2}.當(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程2akbkkmin{a2,b2}時,表示橢圓;當min{a2,b2}kmax{a2,b2}時,表示雙曲線.

106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB(x1x2)2(y1y2)2或

（弦端點

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2ykxb2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程消去y得到axbxc0，0,為直線AB的

F(x,y)0傾斜角，k為直線的斜率）.

107.圓錐曲線的兩類對稱問題

（1）曲線F(x,y)0關于點P(x0,y0)成中心對稱的曲線是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲線F(x,y)0關于直線AxByC0成軸對稱的曲線是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.2222ABAB2108.“四線”一方程

對于一般的二次曲線Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x，用y0y代y2，用

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中

222點方程均是此方程得到.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.

110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.

111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；

（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.

117.共線向量定理

對空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．

P、A、B三點共線AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共線且AB、CD不共線ABtCD且AB、CD不共線.

推論空間一點P位于平面MAB內的存在有序實數(shù)對x,y,使MPxMAyMB，

或對空間任一定點O，有序實數(shù)對x,y，使OPOMxMAyMB.

119.對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC（xyzk），則當k1時，對于空間任一點O，總有P、A、B、C四點共面；當k1時，若O平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若O平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．

A、B、C、D四點共面AD與AB、AC共面ADxAByACOD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空間向量基本定理

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數(shù)x，y，

118.共面向量定理

向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對x,y,使paxby．

z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

"已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點在l上的射影A，作B點在l上

"的射影B，則

""AB|AB|cos〈a，e〉=ae

122.向量的直角坐標運算

設a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)則(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)ab＝a1b1a2b2a3b3；123.設A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則124．空間的線線平行或垂直

ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).

rr設a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，則

x1x2rrrrrraPbab(b0)y1y2；

zz21rrrrabab0x1x2y1y2z1z20.

125.夾角公式

設a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb22推論(a1b1a2b2a3b3)2(aaa)(b12b2b3)，此即三維柯西不等式.

212122222323.

126.四面體的對棱所成的角

四面體ABCD中,AC與BD所成的角為,則

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.

2ACBDrrcos|cosa,b|

rr|x1x2y1y2z1z2||ab|r=r222222|a||b|x1y1z1x2y2z2rroob所成角，a,b分別表示異面直線a,b的方向向量）（其中（090）為異面直線a,128.直線AB與平面所成角

ABm(m為平面的法向量).arcsin|AB||m|129.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角分別是1、2,A、B為ABC的兩個內角，則

127．異面直線所成角

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特別地,當ACB90時,有

sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若與過若AB的平面成的角,另兩邊AC,BC與平面成的角

""分別是1、2,A、B為ABO的兩個內角，則

tan21tan22(sin2A"sin2B")tan2.

特別地,當AOB90時,有

sin21sin22sin2.131.二面角l的平面角

mnmnarccos或arccos（m，n為平面，的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

設AC是α內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為1，AB與AC所成的角為2，AO與AC所成的角為．則coscos1cos2.

133.三射線定理

若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是1,2,與二面角的棱所成的角是θ，則有sinsin2sin21sin222sin1sin2cos;

|12|180(12)(當且僅當90時等號成立).

134.空間兩點間的距離公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則

2

222dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1).

135.點Q到直線l距離

122Ph(|a||b|)(ab)(點在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

|a|136.異面直線間的距離

|CDn|(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點，d為l1,l2間d|n|的距離).

137.點B到平面的距離

|ABn|（n為平面的法向量，AB是經過面的一條斜線，A）.d|n|138.異面直線上兩點距離公式

dh2m2n22mncos.222"dhmn2mncosEA,AF.dh2m2n22mncos（EAA"F）.

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，

"A"Em,AFn,EFd).

139.三個向量和的平方公式

2222(abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140.長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3，夾角分別為

1、2、3,則有

2l2l12l2l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141.面積射影定理

S"S.

cos(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側棱長是l,側面積和體積分別是S斜棱柱側和V斜棱柱,它的直截面的周長和面積分別是c1和S1,則

①S斜棱柱側c1l.②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依據(jù)

三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．

145.歐拉定理(歐拉公式)

-47-

"

VFE2(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).

（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E

1的關系：EnF；

21（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為m，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關系：EmV.

2146.球的半徑是R，則

4R3,32其表面積S4R．

其體積V147.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:

正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:

棱長為a的正四面體的內切球的半徑為148．柱體、錐體的體積

66a,外接球的半徑為a.1241V柱體Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.

31V錐體Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.

3149.分類計數(shù)原理（加法原理）Nm1m2mn.150.分步計數(shù)原理（乘法原理）Nm1m2mn.151.排列數(shù)公式

m=n(n1)(nm1)=Ann！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！注:規(guī)定0!1.152.排列恒等式

mm1(1）An;(nm1)AnnmAn1;nmmm1（3）AnnAn1;

（2）Anmnn1n（4）nAnAn1An;mmm1（5）An.AmA1nn(6)1!22!33!nn!(n1)!1.153.組合數(shù)公式

Cmn=

Anmn(n1)(nm1)n！*

==(∈N，mN，且mn).nm12mm！(nm)！Am154.組合數(shù)的兩個性質

mnm(1)Cn=Cn;mm1m(2)Cn+Cn=Cn1.0注:規(guī)定Cn1.

155.組合恒等式

nm1m1Cn;mnmmCn（2）Cn1;nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）Cnm（4）

Cr0rrnrn=2;

nrr1（5）CCrr1Crr2CnCn1.

012rn(6)CnCnCnCnCn2n.135024(7)CnCnCnCnCnCn2n1.123n(8)Cn2Cn3CnnCnn2n1.r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn.021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

156.排列數(shù)與組合數(shù)的關系

mm.Anm！Cn157．單條件排列

以下各條的大前提是從n個元素中取m個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”

mm1m11m1①某（特）元必在某位有An②某（特）元不在某位有AnAn1（補集思想）An1An11種；

m1m1（著眼位置）An1Am1An1（著眼元素）種.

（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）

kmk①定位緊貼：k(kmn)個元在固定位的排列有AkAnk種.

nk1k②浮動緊貼：n個元素的全排列把k個元排在一起的排法有An此類問題常用捆綁k1Ak種.注：

法；

③插空：兩組元素分別有k、h個（kh1），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不

hk能挨近的所有排列數(shù)有AhAh1種.

（3）兩組元素各相同的插空

m個大球n個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

nAmn1當nm1時，無解；當nm1時，有nCm1種排法.

Ann（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為Cmn.

158．分配問題

（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個物件等分給m個人，各得n件，其分配方法數(shù)共

有NCmnCmnnCmn2nC2nCn數(shù)共有

(mn)!.(n!)m（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的mn個物體等分為無記號或無順序的m堆，其分配方法

nnnnnnnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn.Nmm!m!(n!)（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共

nmn1n2有NCpCpCnm!n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分為任意的n1，n2，，nmp!件無記號的m堆，且n1，n2，，nm這m個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有N.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm)個物體分為任意的n1，n2，，nm件無記號的m堆，且n1，n2，，nm這m個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)

p!有N.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的p（pn1+n2++nm）個物體分給甲、乙、丙，等m個人，物體必須被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，時，則無論n1，n2，，nm等m個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

則其分配方法數(shù)有Nnmn1n2NCpCpCnn1...mnmn1n2CpCp...Cn1nmm!p!.

n1!n2!...nm!159．“錯位問題”及其推廣

貝努利裝錯箋問題:信n封信與n個信封全部錯位的組合數(shù)為

f(n)n![1111(1)n].2!3!4!n!推廣:n個元素與n個位置,其中至少有m個元素錯位的不同組合總數(shù)為

1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!(1)C(nm)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCmn![11224(1)p(1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2++xnm的解的個數(shù)

(1)方程x1+x2++xnm（n,mN）的正整數(shù)解有Cm1個.(2)方程x1+x2++xnm（n,mN）的非負整數(shù)解有Cnm1個.

-50-

n1n

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