數(shù)學(xué)必修五總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

2224、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推論：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．10、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．13、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．

14、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．15、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式．

16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．

17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

18、由三個(gè)數(shù)a，，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則稱為a與b的等差中項(xiàng)．若b222222222ac，則稱2b為a與c的等差中項(xiàng)．

19、若等差數(shù)列

an的首項(xiàng)是a，公差是d，則a1na1n1d．

；

ana120、通項(xiàng)公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dn1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、，則amann、p、q*）（n、p、q*），則2anapaq；若an是等差數(shù)列，且2npqapaq．

na1annn1SSnad．22、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：①n；②n122S奇anSSndSnaa23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn，則2n，nn1，且偶奇S偶an1*．

*②若項(xiàng)數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇Sa偶n，S奇n（其中S奇nan，S偶n1an）．S偶n124、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

25、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．若Gab，則稱G為a與

2b的等比中項(xiàng)．

26、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1qn1．

nm27、通項(xiàng)公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qn1annmanq；④．a(chǎn)a1m*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比數(shù)列，且2npq*（n、p、q），則an2apaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q30、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn②Snm

*，則SS偶奇q．

SnqnSm．

③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列．

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：

判別式b4ac201*二次函數(shù)yaxbxc2a0的圖象有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根一元二次方程axbxc02a0的根ax2bxc0一元二次不等式的解集bx1,22a有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x1x2x1x2b2a沒有實(shí)數(shù)根xxx或xx12a0ax2bxc0bxx2aRa0xx1xx235、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．36、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合．

38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．

①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域．

40、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．

ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．2abab．42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即241、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則

a2b243、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22244、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

22s2⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值．

4⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2p．

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高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsina2RcsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

②sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中）

③a:b:csin:sin:sinC；④

abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin．222abc．

3、三角形面積公式：SC4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

cab2abcosC．

2225、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；

②若a2b2c2，則C90為銳角三角形；③若a2b2c2，則C90為鈍角三角形．

第二章：數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．

3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．

4、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列．

5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．

7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．

8、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．9、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式．

10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．

11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)

常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

12、由三個(gè)數(shù)a，，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則稱為a與b的等差中項(xiàng)．若

bac2，則稱b為a與c的等差中項(xiàng)．

13、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則ana1n1d．

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通項(xiàng)公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③d⑤danamnmana1n1；④nana1d1；

．

14、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差

數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。15、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．

16、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．②若項(xiàng)數(shù)為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇S偶nn1（其中

S奇nan，S偶n1an）．

17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)

常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

18、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．若G2ab，則

稱G為a與b的等比中項(xiàng)．

n119、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1q．

nm20、通項(xiàng)公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*21、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比數(shù)

*列，且2npq（n、p、q），則anapaq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等比數(shù)列；連續(xù)m

2項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。

na1q122、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1qq1時(shí)，Sna11qa11qq，即常數(shù)項(xiàng)與q項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。

nn23、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn*，則SS偶奇q．

n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列．

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24、an與Sn的關(guān)系：anSnSn1S1n2n1

一些方法：

一、求通項(xiàng)公式的方法：

1、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式：待定系數(shù)法

①若相鄰兩項(xiàng)相減后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anknb，列兩個(gè)方程求解；

②若相鄰兩項(xiàng)相減兩次后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anan2bnc，列三個(gè)方程求解；③若相鄰兩項(xiàng)相減后相除后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anaq2、由遞推公式求通項(xiàng)公式：

①若化簡(jiǎn)后為an1and形式，可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；②若化簡(jiǎn)后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解；

③若化簡(jiǎn)后為an1anq形式，可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；

④若化簡(jiǎn)后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數(shù)列{anx}是等比數(shù)列，用等比數(shù)列求解{anx}的通項(xiàng)公式，再反過來求原來那個(gè)。（其中x是用待定系數(shù)法來求得）3、由求和公式求通項(xiàng)公式：

①a1S1②anSnSn1③檢驗(yàn)a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數(shù)寫。4、其他

（1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加；

例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q為相除后的常數(shù)，列兩個(gè)方程求解；

n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列；

anan1anan121an1例如：anan12anan1，則

1，即為以-2為公差的等差數(shù)列。anan1（3）anqan1m形式，q1，方法：構(gòu)造：anxqan1x為等比數(shù)列；

例如：an2an12，通過待定系數(shù)法求得：an22an12，即an2等比，公比為2。（4）anqan1pnr形式：構(gòu)造：anxnyqan1xn1y為等比數(shù)列；

nn（5）anqan1p形式，同除p，轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進(jìn)行構(gòu)造；

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因?yàn)閍nqan1pn，則

anpnqan1ppn11，若

qp1轉(zhuǎn)化為（1）的方法，若不為1，轉(zhuǎn)化為（3）的方

法

二、等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）

①若②若ak0，則Sn有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0，則Sn有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足d0a0k1三、數(shù)列求和的方法：

①疊加法：倒序相加，具備等差數(shù)列的相關(guān)特點(diǎn)的，倒序之后和為定值；

②錯(cuò)位相減法：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式，如：an2n13；

n③分式時(shí)拆項(xiàng)累加相約法：適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；

22n12n1④一項(xiàng)內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項(xiàng)中能分成兩個(gè)或幾個(gè)可以方便求和的部分，如：

an2n1等；

n四、綜合性問題中

①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為ad和ad類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；②等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為aq和aq類型，這樣可以相乘約掉。

第三章：不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

比較兩個(gè)數(shù)的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數(shù)法等等。

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；

④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．

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4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：

判別式b4ac

201*

二次函數(shù)yaxbxc

2a0的圖象

有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根

一元二次方程axbxc0

2

有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

a0的根

axbxc0

一元二次不等式的解集

2x1,2b2a

x1x2b2a

沒有實(shí)數(shù)根

x1x2

a0

axbxc0

2xxx1或xx2

bxx

2aRa0

xx1xx2

5、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．6、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合．

8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．

①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．

9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．

目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

第5頁共6頁

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．11、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則

ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．

212、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab2ab．

13、常用的基本不等式：

①a2b22aba,bR；

22②abab2a,bR；

③abab2a2b2ab22a0,b0；④22a,bR．

14、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

s（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值s2⑴若xy．4⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2p．

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