湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 簡(jiǎn)潔重點(diǎn)的

九（上）數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)覃勉

第一章一元二次方程

一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義

一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。

2、分解因式法3、配方法4、公式法

（1）求根公式：

bb24acb-4ac≥0時(shí)，x=

2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義

2

一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計(jì)算b-4ac

2

的值，當(dāng)b-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根（＞0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，=0兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根）.當(dāng)b-4ac＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個(gè)根。

第三章圖形的相似

1、線段的比

一般地，在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段2、比例的基本性質(zhì)

如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ．3、相似三角形的性質(zhì)和判定

角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫作相似三

角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′與△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分別與Ａ，Ｂ，Ｃ對(duì)應(yīng)，那么記作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，讀作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比ｋ叫作相似比

判定定理１三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．判定定理２兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

判定定理３兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方4、相似多邊形

把對(duì)應(yīng)角相等，并且對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形．相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比ｋ叫作相似比．相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．取定一點(diǎn)Ｏ，把圖形上任意一點(diǎn)Ｐ對(duì)應(yīng)到射線ＯＰ（或它的反向延長(zhǎng)線）上一點(diǎn)Ｐ′，使得線段ＯＰ′與ＯＰ的比等于常數(shù)ｋ（ｋ＞０），點(diǎn)Ｏ對(duì)應(yīng)到它自身，這種變換叫作位似變換，點(diǎn)Ｏ叫作位似中心，常數(shù)ｋ叫作位似比，一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形．從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：

兩個(gè)位似的圖形上每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．5、相似多邊形的性質(zhì)

性質(zhì)１相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例性質(zhì)２相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等．

性質(zhì)３相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．

6、相似多邊形的判定

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似．

第四章、解直角三角形

銳角三角函數(shù)的概念如圖，在△ABC中，∠C=90°

sinAA的對(duì)邊a

斜邊cA的鄰邊b

斜邊cA的對(duì)邊a

A的鄰邊bA的鄰邊b

A的對(duì)邊acosAtanAcotA銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的取值范圍：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

（1）平方關(guān)系

sin2Acos2A1

（2）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°A)=1（3）弦切關(guān)系tanA=

cosAsinAcotA=cosAsinA（4）互余關(guān)系

sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)特殊角的三角函數(shù)值

α30°45°60°sinα122232cosα32tanα33cotα3221313312說明：銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí).（1）正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�（3）正切值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。�（4）余切值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�

九下一、反比例函數(shù)

反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

1．函數(shù)解析式：（）

2．自變量的取值范圍：3．圖象：

（1）圖象的形狀：雙曲線．

越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越大．

（2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)當(dāng)當(dāng)

時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．

二、二次函數(shù)相關(guān)概念及定義

2yaxbxc（a，b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二二次函數(shù)的概念：一般地，形如

次函數(shù)。

二次函數(shù)各種形式之間的變換

二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

22b4acb2h，k.

2a4a二次函數(shù)解析式的表示方法

一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

二次函數(shù)yax的性質(zhì)

2a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)0，00，0y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．二次函數(shù)yax2c的性質(zhì)

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)0，c0，c2y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值c．x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．二次函數(shù)yaxh的性質(zhì)：

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)h，0X=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值0．a(chǎn)0向下h，02X=hxh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．二次函數(shù)yaxhk的性質(zhì)

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)h，kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值k．a(chǎn)0

向下h，kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．三、圓

1、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條��；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條��；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧2、圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。3、圓周角定理

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。

（1）圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。（2）圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。4、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。5、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

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九（上）數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)答案

第一章一元二次方程

一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義

一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。

2、分解因式法

（1）分解因式的概念

當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟

一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；三、設(shè)每一個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元二次方程；四、解這兩個(gè)一元二次方程，它們的解就是原方程的解。

3、配方法

（1）直接開平方法的定義

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法

一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。4、公式法

（1）求根公式

bb24acb-4ac≥0時(shí)，x=

2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義

2

一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計(jì)算b-4ac

2

的值，當(dāng)b-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個(gè)根。命題與證明

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：定義

要點(diǎn)詮釋：一般地，能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語(yǔ)的定義．

知識(shí)點(diǎn)二：命題要點(diǎn)詮釋：一般地，對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題．（句子根據(jù)其作用分為判斷、陳述、疑問、祈使四個(gè)類別．定義屬于陳述句，是對(duì)一個(gè)名稱或術(shù)語(yǔ)的意義的規(guī)定．而命題屬于判斷句或陳述句，且都對(duì)一件事情作出判斷．與判斷的正確與否沒有關(guān)系．）知識(shí)點(diǎn)三：命題的結(jié)構(gòu)

要點(diǎn)詮釋：命題可看做由題設(shè)(或條件)和結(jié)論兩部分組成．題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)四：公理

要點(diǎn)詮釋：人類經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題，作為判斷其他命題的依據(jù)。這樣公認(rèn)為正確的命題叫做公理。例如：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“一條直線截兩條平行所得的同位角相等”知識(shí)點(diǎn)五：：定理

要點(diǎn)詮釋：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)。

知識(shí)點(diǎn)六：真命題與假命題

要點(diǎn)詮釋：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，像這樣的命題叫做真命題。相反，如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論總是正確的，就認(rèn)為結(jié)論不成立，像這樣的命題叫做假命題，凡是假命題都是錯(cuò)誤的命題。知識(shí)點(diǎn)七：證明

要點(diǎn)詮釋：由題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理最后推出結(jié)論（書證）正確的過程叫做證明。證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，在此以前學(xué)過的定理。（證明命題的格式一般為：1）按題意畫出圖形；2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論；3）在“證明”中寫出推理過程）知識(shí)點(diǎn)八：假命題的判定

要點(diǎn)詮釋：只需舉出反例，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論，即可判定該命題是假命題。

知識(shí)點(diǎn)九：反證法

要點(diǎn)詮釋：從假設(shè)所需證的命題的結(jié)論不成立出發(fā)，結(jié)合條件推出與已知條件或正確命題相矛盾的結(jié)論，說明假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立的證明方法三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1.數(shù)學(xué)中判定一個(gè)命題是真命題，要經(jīng)過證明．要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可．

2.證明的意義：在幾何中，除了公理以外，不管所論及的命題的結(jié)論是多么明顯，都必須通過推理來證明．3.反證法的適用范圍

（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時(shí)；

（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)（4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；

（5）命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時(shí)；（6）關(guān)于存在性命題；（7）某些定理的逆定理。四、經(jīng)典例題透析類型一：

例、判斷下列語(yǔ)句在表述形式上，哪些對(duì)事情作了判斷？哪些沒有對(duì)事情作出判斷？

（1）對(duì)頂角相等；(2)畫一個(gè)角等于已知角；(3)兩直線平行，同位角相等；

（４），兩條直線平行嗎?(5)鳥是動(dòng)物；(6)若

，則

．

，求的值；(7)若

思路點(diǎn)撥:通過本題熟悉命題的定義

解析：句子(1)(3)(5)(7)對(duì)事情作了判斷，句子(2)(4)(6)沒有對(duì)事情作出判斷．其中(1)(3)(5)判斷是正確的，（7）判斷是錯(cuò)誤的．

總結(jié)升華：數(shù)學(xué)課的主要研究對(duì)象是數(shù)學(xué)知識(shí)，所以今后的相關(guān)學(xué)習(xí)是研究數(shù)學(xué)命題。

舉一反三：

【變式1】下列語(yǔ)句中，哪些是命題，哪些不是命題?(1)若a＜b，則

；

(2)三角形的三條高交于一點(diǎn)；

(3)在ΔABC中，若AB＞AC，則∠C＞∠B嗎?(4)兩點(diǎn)之間線段最短；(5)解方程(6)1＋2≠3．

；【答案】（1）（2）（4）（6）是命題，（3）（5）不是命題．類型二：

例、指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果……那么……”的形式：(1)三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(2)在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊；(3)對(duì)頂角相等；(4)同角的余角相等；

(5)三角形的內(nèi)角和等于180°；

(6)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．

思路點(diǎn)撥:找出命題的條件和結(jié)論是本題的難點(diǎn)，因?yàn)槊�題在敘述時(shí)要求通順和簡(jiǎn)練，把命題中的有些詞或句子省略了，在改寫時(shí)注意要把省略的詞或句子添加上去．解析：（1）“三條邊對(duì)應(yīng)相等”是對(duì)兩個(gè)三角形來說的，因此寫條件時(shí)最好把“兩個(gè)三角形”這句話添加上去，即命題的條件是“兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等”，結(jié)論是“這兩個(gè)三角形全等”．可以改寫成“如果兩個(gè)三角形有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等”．

（2）“等角對(duì)等邊含義”是指有兩個(gè)角相等所對(duì)的兩條邊相等�？梢愿膶懗伞叭绻�在同一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等�！敝档米⒁獾氖牵�命題中包含了一個(gè)前提條件：“在一個(gè)三角形中”，在改寫時(shí)不能遺漏．

（3）這個(gè)命題的條件是“兩個(gè)角是對(duì)頂角”，結(jié)論是“兩個(gè)角相等”．這個(gè)命題可以改寫成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”．

（4）條件是“兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角”，結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”．這個(gè)命題可以改寫成“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等”．

（5）條件是“三個(gè)角是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角”，結(jié)論是“這三個(gè)角的和等于180°”．這個(gè)命題可以改寫如果“三個(gè)角是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，那么這三個(gè)角的和等于180°”；

(6)“如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等�！薄螦OC平分線是OE，∠DOB平分線是OF，判斷OE和OF是在同一條直線上C的平分線OF互為反向延長(zhǎng)線，即OE、OF在同一條直線上，但∠1≠∠3，∴∠AOD≠∠BOD，A、O、B不在同一條直線上，∴不是對(duì)頂角，填×。類型三：

例、證明：“如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直．”

思路點(diǎn)撥:總結(jié)步驟：

1．審題：分清命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”．

2．譯題：結(jié)合圖形中的字母及符號(hào)，寫出已知，求證．

3．想題：用“執(zhí)因索果”(綜合法)；用“執(zhí)果索因”(分析法)尋找論證推理的邏輯思路．一般是把二者結(jié)合起來思考，效果較好，這也叫綜合分析法．

4．證題：從已知出發(fā)，每一步過程要有根據(jù)(定義，公理或定理)最后得到結(jié)論，全面推理過程要因果分明．解析：已知：a∥b，a⊥c，求證：b⊥c

證法(一)：∵a⊥c，(已知)∴∠1=90°．(垂直的定義)∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2，(兩直線平行，同位角相等)∴∠2=90°，(等量代換)∴b⊥c．(垂直定義)

證法(二)：∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2．(兩直線平行，同位角相等)∵a⊥c，(已知)∴∠1=90°，(垂直定義)∴∠2=90°，(等量代換)∴b⊥c．(垂直定義)

【變式1】求證：同角的余角相等．

已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角．求證：∠2=∠3．

【答案】證明：因?yàn)椤?與∠1互為余角，∠3與∠1互為余角，(已知)所以∠2+∠1=90°，∠3+∠1=90°．(余角定義)所以∠2+∠1=∠3+∠1．(等量代換)則∠2=∠3．(等量減等量差相等)

類型四：例、已知：如右圖，直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)，且l1∥l2，13與11相交于點(diǎn)P.

求證：13與l2相交．（使用反證法）

思路點(diǎn)撥:仔細(xì)閱讀反證法的定義，掌握這種方法的規(guī)律。

解析：證明：假設(shè)，13與l2不相交，即l3∥l2，

又∵l1∥l2（已知），

∴過直線12外一點(diǎn)P有兩條直線11,13與直線12平行，這與“經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾，

∴假設(shè)不成立，即求證的命題成立，∴13與12相交．

【變式1】用反證法證明不是有理數(shù)【答案】證明：假設(shè)數(shù)，且互質(zhì)）兩邊平方，得

是有理數(shù)，則可表示為（，為自然

2n2=m2①

由①知m2必是2的倍數(shù)，進(jìn)而m必是2的倍數(shù)．令m=2p代入①式，得n2=2p2②

由②知，必是2的倍數(shù)，m和n都是2的倍數(shù)，則m、n不互質(zhì)，與假定m、

不是有理數(shù)．

n互質(zhì)相矛盾，

【變式2】我們年級(jí)有367名學(xué)生，請(qǐng)你證明這些學(xué)生中至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日．

【答案】設(shè)“假設(shè)任何兩個(gè)學(xué)生都不在同一天過生日”所以這367人就會(huì)有不同的367天過生日

這就出現(xiàn)了與一年只有365天（閏年366天）的矛盾．因此反設(shè)不成立。

所以“至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日”

第三章圖形的相似

直觀上，把一個(gè)圖形放大（或縮�。┑玫降膱D形與原圖形是相似的．

1、線段的比

一般地，如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段ＰＱ，Ｐ′Ｑ′的長(zhǎng)度分別為ｍ，ｎ，那么把長(zhǎng)度的比ｎｍ叫作這兩條線段Ｐ′Ｑ′與ＰＱ的比，記作Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｎ/ｍ，或Ｐ′Ｑ′∶ＰＱ＝ｎ∶ｍ，其中Ｐ′Ｑ′，ＰＱ分別叫作比的前項(xiàng)、后項(xiàng)，如果ｎ/ｍ的比值為ｋ，那么也可寫成Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｋ，或Ｐ′Ｑ′＝ｋＰＱ．

一般地，在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段

2、比例的基本性質(zhì)

比例的基本性質(zhì)：如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ．

3、相似三角形的性質(zhì)和判定

角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫作相似三

角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′與△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分別與Ａ，Ｂ，Ｃ對(duì)應(yīng)，那么記作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，讀作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比ｋ叫作相似比

判定定理１如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．

判定定理１可以簡(jiǎn)單說成：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．判定定理２如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

判定定理２可以簡(jiǎn)單說成：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方．判定定理３如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

判定定理３可以簡(jiǎn)單說成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

4、相似多邊形

把對(duì)應(yīng)角相等，并且對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形．相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比ｋ叫作相似比．相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．取定一點(diǎn)Ｏ，把圖形上任意一點(diǎn)Ｐ對(duì)應(yīng)到射線ＯＰ（或它的反向延長(zhǎng)線）上一點(diǎn)Ｐ′，使得線段ＯＰ′與ＯＰ的比等于常數(shù)ｋ（ｋ＞０），點(diǎn)Ｏ對(duì)應(yīng)到它自身，這種變換叫作位似變換，點(diǎn)Ｏ叫作位似中心，常數(shù)ｋ叫作位似比，一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形．從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：

兩個(gè)位似的圖形上每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．

5、相似多邊形的性質(zhì)

性質(zhì)１相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例性質(zhì)２相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等．

性質(zhì)３相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．

6、相似多邊形的判定

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似．

第四章、解直角三角形

直角三角形的性質(zhì)

1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

幾何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。幾何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=

A1AB2D3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

C

B幾何表示：∵∠ACB=90°D為AB的中點(diǎn)∴CD=4、勾股定理：a2b2c2

1AB=BD=AD25、射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系纳溆昂托边叺谋壤�中�?xiàng)

∵∠ACB=90°CD⊥AB∴CD2ADBD

AC2ADABBC2BDAB

6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC銳角三角函數(shù)的概念如圖，在△ABC中，∠C=90°

sinAA的對(duì)邊a

斜邊cA的鄰邊b

斜邊cA的對(duì)邊a

A的鄰邊bA的鄰邊b

A的對(duì)邊acosAtanAcotA銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)的取值范圍：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

（1）平方關(guān)系

sin2Acos2A1

（2）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°A)=1（3）弦切關(guān)系tanA=

sinAcosAcotA=cosAsinA（4）互余關(guān)系

sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)特殊角的三角函數(shù)值

α30°45°60°sinα122232cosα32tanα33cotα3221313312說明：銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí).（1）正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。�（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減�。ɑ蛟龃螅�（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減�。�（4）余切值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅┙庵苯侨�角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。解直角三角形的理論依據(jù)：以上.

對(duì)實(shí)際問題的處理（1）俯、仰角.（2）方位角、象限角.（3）坡角、坡度.

補(bǔ)充：在兩個(gè)直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時(shí)，可用列方程的辦法解決。有關(guān)公式

仰角俯角西南北東

αili=h/l=tgα

h

111absinC=bcsinA=acsinB22211（2）Rt△面積公式：Sabch

22ab（3）結(jié)論：直角三角形斜邊上的高h(yuǎn)

c（1）S（4）測(cè)底部不可到達(dá)物體的高度．，解直角三角形的知識(shí)的應(yīng)用，可以解決：(1)測(cè)量物體高度．(2)有關(guān)航行問題．

(3)計(jì)算壩體或邊路的坡度等問題

第五章、統(tǒng)計(jì)與概率

一、統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)

1、統(tǒng)計(jì)調(diào)查的兩種基本形式：普查：對(duì)調(diào)查對(duì)象的全體進(jìn)行調(diào)查；抽樣調(diào)查：對(duì)調(diào)查對(duì)象的部分進(jìn)行調(diào)查；總體：所要考察對(duì)象的全體；個(gè)體：總體中每一個(gè)考察的對(duì)象；樣本：從總體中所抽取的一部分個(gè)體；

樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目（不帶單位）；各2、1(x1x2xn)叫做這n個(gè)平均數(shù)：對(duì)于n個(gè)數(shù)，我們把x,x,,x12n基n礎(chǔ)數(shù)的平均數(shù)；統(tǒng)中位數(shù)：幾個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列時(shí)，處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（或是計(jì)最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)；量眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；方差：S21222(xx)(xx)(xx)12n，其中n為樣本容量，nx為樣本平均數(shù)；

標(biāo)準(zhǔn)差：S，即方差的算術(shù)平方根；

極差：一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差；

3、頻數(shù)：將數(shù)據(jù)分組后落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)叫做該小組的頻數(shù)；頻頻率：每一小組的頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率；數(shù)的頻數(shù)

★頻數(shù)和頻率的基本關(guān)系式：頻率=分樣本容量布

與各小組頻數(shù)的總和等于樣本容量，各小組頻率的總和等于1；應(yīng)扇形統(tǒng)計(jì)圖：圓表示總體，扇形表示部分，統(tǒng)計(jì)圖反映部分占總體的百用分比，每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)=360°×該部分占總體的百分比；

會(huì)填寫頻數(shù)分布表，會(huì)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)折線圖；二、概率的基礎(chǔ)知識(shí)

必然事件：一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件；1、確定事件

不可能事件：一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的事件；2、不確定事件（隨機(jī)事件）：在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生

的事件；

3、概率：某件事情A發(fā)生的可能性稱為這件事情的概率，記為P(A)；P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不確定事件)＜1；★概率計(jì)算方法：

事件A發(fā)生的可能結(jié)果總數(shù)

P(A)=

所有事件可能發(fā)生的結(jié)果總數(shù)

運(yùn)用列舉法（常用樹狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率

例如

注：對(duì)于兩種情況時(shí)，需注意第二種情況可能發(fā)生的結(jié)果總數(shù)

例：①袋子中有形狀、大小相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)，取出一個(gè)球后再取

110②袋子中有形狀、大小相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)，取出一個(gè)球后放回，．．

A

出一個(gè)球，求兩個(gè)球都是白球的概率；P=再取出一個(gè)球，求兩個(gè)球都是白球的概率；P=

4

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