初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題總結(jié)

一次函數(shù)

1、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）則稱y是x的一次函數(shù),特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的性質(zhì)：

y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k,即△y/△x=k3、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

1)作法與圖形：（1）列表（一般找4-6個(gè)點(diǎn)）；（2）描點(diǎn)；（3）連線，可以

作出一次函數(shù)的圖象。（用平滑的直線連接）2)性質(zhì)：在一次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。3)k，b與函數(shù)圖象所在象限。

當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限；當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。

當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖象。這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個(gè)坐標(biāo)系必定經(jīng)過(guò)(0,b)和(-b/k,0)兩點(diǎn)

k>0，b>0k>0，b

反比例函數(shù)

1.反比例函數(shù)：一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=kx-1(k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

2.反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點(diǎn)：(1)(k為常數(shù)，k≠0）；(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)；（3）因變量y的取值范圍是y≠0的一切實(shí)數(shù)．

3.因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|

二次函數(shù)

1.一般地，自變量x和因變量y，y是x的函數(shù)之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a≠0)a，b，c為常數(shù)，

a≠0，則稱y為x的二次函數(shù)。2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]其中x1，2=(-b±√(b^2－4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a

x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數(shù)的圖像

3.在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，二次函數(shù)可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法步驟（在平面直角坐標(biāo)系上）（1）列表（2）描點(diǎn)（3）連線4.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0，c）6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax^2+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

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一次函數(shù)

1、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）則稱y是x的一次函數(shù),特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的性質(zhì)：

y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k,即△y/△x=k3、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

1)作法與圖形：（1）列表（一般找4-6個(gè)點(diǎn)）；（2）描點(diǎn)；（3）連線，可以

作出一次函數(shù)的圖象。（用平滑的直線連接）2)性質(zhì)：在一次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。3)k，b與函數(shù)圖象所在象限。

當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限；當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。

當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖象。這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個(gè)坐標(biāo)系必定經(jīng)過(guò)(0,b)和(-b/k,0)兩點(diǎn)

k>0，b>0k>0，b

反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

2.反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點(diǎn)：(1)(k為常數(shù)，k≠0）；(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)；（3）因變量y的取值范圍是y≠0的一切實(shí)數(shù)．

3.因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|

二次函數(shù)

1.一般地，自變量x和因變量y，y是x的函數(shù)之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a≠0)a，b，c為常數(shù)，

a≠0，則稱y為x的二次函數(shù)。2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]其中x1，2=(-b±√(b^2－4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a

x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數(shù)的圖像

3.在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

二次函數(shù)可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法步驟（在平面直角坐標(biāo)系上）

（1）列表（2）描點(diǎn)（3）連線4.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c）6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax^2+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

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