初中數(shù)學(xué)函數(shù)專(zhuān)題總結(jié)

一次函數(shù)

1、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）則稱(chēng)y是x的一次函數(shù),特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的性質(zhì)：

y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k,即△y/△x=k3、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

1)作法與圖形：（1）列表（一般找4-6個(gè)點(diǎn)）；（2）描點(diǎn)；（3）連線(xiàn)，可以

作出一次函數(shù)的圖象。（用平滑的直線(xiàn)連接）2)性質(zhì)：在一次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿(mǎn)足等式：y=kx+b。3)k，b與函數(shù)圖象所在象限。

當(dāng)k＞0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。當(dāng)b＞0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限；當(dāng)b＜0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。

當(dāng)b=0時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖象。這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個(gè)坐標(biāo)系必定經(jīng)過(guò)(0,b)和(-b/k,0)兩點(diǎn)

k>0，b>0k>0，b

反比例函數(shù)的圖像為雙曲線(xiàn)。

2.反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點(diǎn)：(1)(k為常數(shù)，k≠0）；(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)；（3）因變量y的取值范圍是y≠0的一切實(shí)數(shù)．

3.因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線(xiàn)，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|

二次函數(shù)

1.一般地，自變量x和因變量y，y是x的函數(shù)之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a≠0)a，b，c為常數(shù)，

a≠0，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P（h，k）]對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線(xiàn)]其中x1，2=(-b±√(b^2－4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a

x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數(shù)的圖像

3.在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，二次函數(shù)可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)。二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法步驟（在平面直角坐標(biāo)系上）（1）列表（2）描點(diǎn)（3）連線(xiàn)4.拋物線(xiàn)的性質(zhì)

1.拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b/2a。對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。

拋物線(xiàn)與y軸交于（0，c）6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），

即ax^2+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

二次函數(shù)公式：頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式、兩根式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0),則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

(3)交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)

(4)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，a≠0.說(shuō)明：

(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h＝0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k＝0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn).

(2)當(dāng)拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)根x1和x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2).

二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸及解法

設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=ax^2+bx+c對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x=-b/2a,頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：-b/2a頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：(4ac-b^2)/4a求解方法：

1如果題目只給個(gè)二次函數(shù)的解析式的話(huà)，那就只有配方法了吧，y=ax2+bx+c=a[x+(b/2a)]2+(4ac-b2)/4a，則對(duì)稱(chēng)軸為x=-b/2a

2.如果題目有f(a-x)=f(b+x)的已知條件，那對(duì)稱(chēng)軸是x=(a+b)/23.如果題目給出了2個(gè)零點(diǎn)(a,0)、(b,0)，則對(duì)稱(chēng)軸是x=(a+b)/2

4.如果題目給出了定義在R上的拋物線(xiàn)最大值或最小值(a,b),則對(duì)稱(chēng)軸為x=a

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一次函數(shù)

1、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）則稱(chēng)y是x的一次函數(shù),特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的性質(zhì)：

y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k,即△y/△x=k3、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

1)作法與圖形：（1）列表（一般找4-6個(gè)點(diǎn)）；（2）描點(diǎn)；（3）連線(xiàn)，可以

作出一次函數(shù)的圖象。（用平滑的直線(xiàn)連接）2)性質(zhì)：在一次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿(mǎn)足等式：y=kx+b。3)k，b與函數(shù)圖象所在象限。

當(dāng)k＞0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。當(dāng)b＞0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限；當(dāng)b＜0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。

當(dāng)b=0時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖象。這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限。4、在y=kx+b中,兩個(gè)坐標(biāo)系必定經(jīng)過(guò)(0,b)和(-b/k,0)兩點(diǎn)

k>0，b>0k>0，b

反比例函數(shù)的圖像為雙曲線(xiàn)。

2.反比例函數(shù)的概念需注意以下幾點(diǎn)：(1)(k為常數(shù)，k≠0）；(2)自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)；（3）因變量y的取值范圍是y≠0的一切實(shí)數(shù)．

3.因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線(xiàn)，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|

二次函數(shù)

1.一般地，自變量x和因變量y，y是x的函數(shù)之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a≠0)a，b，c為常數(shù)，

a≠0，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。2.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P（h，k）]對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線(xiàn)]其中x1，2=(-b±√(b^2－4ac))/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4a

x1,x2=(-b±√b-4ac)/2a二次函數(shù)的圖像

3.在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

二次函數(shù)可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)。二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)法步驟（在平面直角坐標(biāo)系上）

（1）列表（2）描點(diǎn)（3）連線(xiàn)4.拋物線(xiàn)的性質(zhì)

1.拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b/2a。對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）

2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。拋物線(xiàn)與y軸交于（0，c）6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），

即ax^2+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

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