高中物理《磁場 章末總結(jié)》復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教版選修3-1

第三章磁場章末總結(jié)學(xué)案（人教版選修3-1）

要點(diǎn)一通電導(dǎo)線在磁場中的運(yùn)動及受力

1．直線電流元分析法：把整段電流分成很多小段直線電流，其中每一小段就是一個電流元，先用左手定則判斷出每小段電流元受到的安培力的方向，再判斷整段電流所受安培力的方向，從而確定導(dǎo)體的運(yùn)動方向．

2．特殊位置分析法，根據(jù)通電導(dǎo)體在特殊位置所受安培力方向，判斷其運(yùn)動方向，然后推廣到一般位置．

3．等效分析法：環(huán)形電流可等效為小磁針，條形磁鐵或小磁針也可等效為環(huán)形電流，通電螺線管可等效為多個環(huán)形電流或條形磁鐵．

4．利用結(jié)論法：(1)兩電流相互平行時，無轉(zhuǎn)動趨勢；電流同向?qū)Ь�相互吸引，電流反向?qū)Ь�相互排斥；(2)兩電流不平行時，導(dǎo)線有轉(zhuǎn)動到相互平行且電流同向的趨勢．要點(diǎn)二帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動

有界勻強(qiáng)磁場指在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場，帶電粒子從磁場區(qū)域外垂直磁場方向射入磁場區(qū)域，在磁場區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動，也就是通過一段圓弧后離開磁場區(qū)域．由于運(yùn)動的帶電粒子垂直磁場方向，從磁場邊界進(jìn)入磁場的方向不同，或磁場區(qū)域邊界不同，造成它在磁場中運(yùn)動的圓弧軌道各不相同．如下面幾種常見情景：

解決這一類問題時，找到粒子在磁場中一段圓弧運(yùn)動對應(yīng)的圓心位置、半徑大小以及與半徑相關(guān)的幾何關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

1．三個(圓心、半徑、時間)關(guān)鍵確定：研究帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動時，�？紤]的幾個問題：

(1)圓心的確定：已知帶電粒子在圓周中兩點(diǎn)的速度方向時(一般是射入點(diǎn)和射出點(diǎn))，沿

洛倫茲力方向畫出兩條速度的垂線，這兩條垂線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為圓心．(弦的垂直平分線過圓心也常用到)

.3-7-1..(2)半徑的確定：一般應(yīng)用幾何知識來確定．

θφ

(3)運(yùn)動時間：t＝T＝T(θ、φ為圓周運(yùn)動的圓心角)，另外也可用弧長Δl與速

360°2π

率的比值來表示，即t＝Δl/v.

(4)粒子在磁場中運(yùn)動的角度關(guān)系：

粒子的速度偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt；相對的弦切角(θ)相等，與相鄰的弦切角(θ′)互補(bǔ)，即θ′＋θ＝180°.

2．兩類典型問題

(1)極值問題：常借助半徑R和速度v(或磁場B)之間的約束關(guān)系進(jìn)行動態(tài)運(yùn)動軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點(diǎn)，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值．

注意①剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡與邊界相切．

②當(dāng)速度v一定時，弧長(或弦長)越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的時間越長．

③當(dāng)速率v變化時，圓周角大的，運(yùn)動時間長．

(2)多解問題：多解形成的原因一般包含以下幾個方面：

①粒子電性不確定；②磁場方向不確定；③臨界狀態(tài)不唯一；④粒子運(yùn)動的往復(fù)性等．關(guān)鍵點(diǎn)：①審題要細(xì)心．②重視粒子運(yùn)動的情景分析．要點(diǎn)三帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動

復(fù)合場是指電場、磁場和重力場并存，或其中某兩場并存，或分區(qū)域存在的某一空間．粒子經(jīng)過該空間時可能受到的力有重力、靜電力和洛倫茲力．處理帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場中運(yùn)動問題的方法：

1．正確分析帶電粒子(帶電體)的受力特征．帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場中做什么運(yùn)動，取決于帶電粒子(帶電體)所受的合外力及其初始速度．帶電粒子(帶電體)在磁場中所受的洛倫茲力還會隨速度的變化而變化，而洛倫茲力的變化可能會引起帶電粒子(帶電體)所受的其他力的變化，因此應(yīng)把帶電粒子(帶電體)的運(yùn)動情況和受力情況結(jié)合起來分析，注意分析帶電粒子(帶電體)的受力和運(yùn)動的相互關(guān)系，通過正確的受力分析和運(yùn)動情況分析，明確帶電粒子(帶電體)的運(yùn)動過程和運(yùn)動性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)動規(guī)律解決問題．

2．靈活選用力學(xué)規(guī)律

(1)當(dāng)帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場中做勻速運(yùn)動時，就根據(jù)平衡條件列方程求解．

(2)當(dāng)帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動時，往往同時應(yīng)用牛頓第二定律和平衡條件列方程求解．

(3)當(dāng)帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場中做非勻變速曲線運(yùn)動時，常選用動能定理或能量守恒定律列方程求解．

(4)由于帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場中受力情況復(fù)雜，運(yùn)動情況多變，往往出現(xiàn)臨界問題，這時應(yīng)以題目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等詞語為突破口，挖掘隱含條件，根據(jù)隱含條件列出輔助方程，再與其他方程聯(lián)立求解．

(5)若勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場是分開的獨(dú)立的區(qū)域，則帶電粒子在其中運(yùn)動時，分別遵守在電場和磁場中運(yùn)動規(guī)律，處理這類問題的時候要注意分階段求解.

一、“磁偏轉(zhuǎn)”與“電偏轉(zhuǎn)”的區(qū)別（復(fù)合場問題，不疊加）

A例1如圖1所示，在空間存在一個變化的勻強(qiáng)電場和另一個變化的勻強(qiáng)磁場．從t＝1s開始，在A點(diǎn)每隔2s有一個相同的帶電粒子(重力不計(jì))沿AB方向(垂直于BC)以速度v0射出，恰好能擊中C點(diǎn)．AB＝BC＝l，且粒子在點(diǎn)A、C間的運(yùn)動時間小于1s．電場的方向水平向右，場強(qiáng)變化規(guī)律如圖2甲所示；磁感應(yīng)強(qiáng)度變化規(guī)律如圖乙所示，方向垂直于紙面．求：

(1)磁場方向；

(2)E0和B0的比值；(3)t＝1s射出的粒子和t＝3s射出的粒子由A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)所經(jīng)歷的時間t1和t2之比．

圖1圖2

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A變式訓(xùn)練1圖3所示，在y＞0的空間中存在勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)沿y軸負(fù)方向；在y＜0的空間中，存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直xOy平面向外．一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的運(yùn)動粒子，經(jīng)過y軸上y＝h處的點(diǎn)P1時速率為v0，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過x軸上x＝2h處的P2點(diǎn)進(jìn)入磁場，并經(jīng)過y軸上y＝－2h處的P3點(diǎn)，不計(jì)粒子重力．求：

(1)電場強(qiáng)度的大��；(2)粒子到達(dá)P2時速度的大小和方向；(3)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

二、有界勻強(qiáng)磁場問題

例2半徑為r的圓形空間內(nèi)，存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一個帶電粒子(不計(jì)重力)從A點(diǎn)以速度v0垂直磁場方向射入磁場中，并從B點(diǎn)射出．∠AOB＝120°，如圖5所示，則該帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間為()2πr23πrπr3πrA.B.C.D.3v03v03v03v0

圖5圖6圖7圖8圖9

變式訓(xùn)練2圖6是某離子速度選擇器的原理示意圖，在一半徑R＝10cm的圓柱形筒內(nèi)

－4

有B＝1×10T的勻強(qiáng)磁場，方向平行于圓筒的軸線．在圓柱形筒上某一直徑兩端開有小孔

q11

a、b，分別作為入射孔和出射孔．現(xiàn)有一束比荷＝2×10C/kg的正離子，以不同角度α入

m

射，最后有不同速度的離子束射出．其中入射角α＝30°，且不經(jīng)碰撞而直接從出射孔射出的離子的速度v的大小是()

A．4×105m/sB．2×105m/sC．4×106m/sD．2×106m/s三、洛倫茲力作用下形成多解的問題

A例3如圖7所示，長為L的水平極板間，有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離為L，極板不帶電．現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計(jì))，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁場以速度v水平入射．欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是()

BqL5BqL

A．使粒子速度v＜B．使粒子速度v＞

4m4m

BqLBqL5BqLD．使粒子速度＜v＜4m4m4m

變式訓(xùn)練3如圖8所示，左右邊界分別為PP′、QQ′的勻強(qiáng)磁場的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一個質(zhì)量為m、電荷量為q的微觀粒子，沿圖示方向以速度v0垂直射入磁場．欲使粒子不能從邊界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是()

Bqd2＋2Bqd2－2Bqd2BqdA.B.C.D.

mmm2m

【即學(xué)即練】

1.三個完全相同的小球a、b、c帶有相同電量的正電荷，從同一高度由靜止開始下落，當(dāng)落下h1高度后a球進(jìn)入水平向左的勻強(qiáng)電場，b球進(jìn)入垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖9所示，它們到達(dá)水平面上的速度大小分別用va、vb、vc表示，它們的關(guān)系是()

A．va>vb＝vcB．va＝vb＝vcC．va>vb>vcD．va＝vb>vc

2．設(shè)空間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖10所示，已知一離子在電場力和洛

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倫茲力的作用下，從靜止開始自A點(diǎn)沿曲線ACB運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)時速度為零，C點(diǎn)是運(yùn)動的最低點(diǎn)，忽略重力，以下說法正確的是()

A．離子必帶正電荷B．A點(diǎn)和B點(diǎn)位于同一高度

C．離子在C點(diǎn)時速度最大

D．離子到達(dá)B點(diǎn)時，將沿原曲線返回A點(diǎn)圖10

3．如圖11所示的虛線區(qū)域內(nèi)，充滿垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場和豎直向下的勻強(qiáng)電場．一帶電粒子a(不計(jì)重力)以一定的初速度由左邊界的O點(diǎn)射入磁場、電場區(qū)域，恰好沿直線由區(qū)域右邊界的O′點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)穿出．若撤去該區(qū)域內(nèi)的磁場而保留電場不變，另一個同樣的粒子b(不計(jì)重力)仍以相同初速度由O點(diǎn)射入，從區(qū)域右邊界穿出，則粒子b()

A．穿出位置一定在O′點(diǎn)下方B．穿出位置一定在O′點(diǎn)上方

C．運(yùn)動時，在電場中的電勢能一定減小

D．在電場中運(yùn)動時，動能一定減小圖11

4．如圖12是質(zhì)譜儀的工作原理示意圖．帶電粒子被加速電場加速后，進(jìn)入速度選擇器．速度選擇器內(nèi)相互正交的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場的強(qiáng)度分別為B和E.平板S上有可讓粒子通過的狹縫P和記錄粒子位置的膠片A1、A2.平板S下方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場．下列表述正確的是()

A．質(zhì)譜儀是分析同位素的重要工具

B．速度選擇器中的磁場方向垂直紙面向外C．能通過狹縫P的帶電粒子的速率等于E/B

D．粒子打在膠片上的位置越靠近狹縫P，粒子的荷質(zhì)比越小

5．為了研究物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，科學(xué)家必須用各種各樣的加速器產(chǎn)

生出速度很大的高能粒子．歐洲核子研究中心的粒子加速器周長達(dá)27kmC．使粒子速度v＞

圖12(圖13中的大圓)，為什么加速器需要那么大的周長呢？

-5-

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擴(kuò)展閱讀：高中物理3-1《磁場》完美總結(jié)

高中物理3-1《磁場》完美總結(jié)

磁場基本性質(zhì)

基礎(chǔ)知識一、磁場

1、磁場：磁場是存在于磁體、運(yùn)動電荷周圍的一種物質(zhì)．它的基本特性是：對處于其中的磁體、電流、運(yùn)動電荷有力的作用．

2、磁現(xiàn)象的電本質(zhì)：所有的磁現(xiàn)象都可歸結(jié)為運(yùn)動電荷之間通過磁場而發(fā)生的相互作用．二、磁感線

為了描述磁場的強(qiáng)弱與方向，人們想象在磁場中畫出的一組有方向的曲線．1．疏密表示磁場的強(qiáng)弱．

2．每一點(diǎn)切線方向表示該點(diǎn)磁場的方向，也就是磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向．

3．是閉合的曲線，在磁體外部由N極至S極，在磁體的內(nèi)部由S極至N極．磁線不相切不相交。4．勻強(qiáng)磁場的磁感線平行且距離相等．沒有畫出磁感線的地方不一定沒有磁場．

5．安培定則：姆指指向電流方向，四指指向磁場的方向．注意這里的磁感線是一個個同心圓，每點(diǎn)磁場方向是在該點(diǎn)切線方向

*熟記常用的幾種磁場的磁感線：

【例1】根據(jù)安培假說的物理思想：磁場來源于運(yùn)動電荷．如果用這種思想解釋地球磁場的形成，根據(jù)地球上空并無相對地球定向移動的電荷的事實(shí)．那么由此推斷，地球總體上應(yīng)該是：（A）

A.帶負(fù)電;B.帶正電;C.不帶電;D.不能確定

解析:因在地球的內(nèi)部地磁場從地球北極指向地球的南極，根據(jù)右手螺旋定則可判斷出地球表現(xiàn)環(huán)形電流的方向應(yīng)從東到西，而地球是從西向東自轉(zhuǎn)，所以只有地球表面帶負(fù)電荷才能形成上述電流，故選A.

三、磁感應(yīng)強(qiáng)度

1．磁場的最基本的性質(zhì)是對放入其中的電流或磁極有力的作用，電流垂直于磁場時受磁場力最大，電流與磁場方向平行時，磁場力為零。

2．在磁場中垂直于磁場方向的通電導(dǎo)線受到的磁場力F跟電流強(qiáng)度I和導(dǎo)線長度l的乘積Il的比值，叫做通電導(dǎo)線所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

①表示磁場強(qiáng)弱的物理量．是矢量．

②大�。築=F/Il（電流方向與磁感線垂直時的公式）．

③方向：左手定則：是磁感線的切線方向；是小磁針N極受力方向；是小磁針靜止時N極的指向．不是導(dǎo)線受力方向；不是正電荷受力方向；也不是電流方向．

④單位：牛/安米，也叫特斯拉，國際單位制單位符號T．

⑤點(diǎn)定B定：就是說磁場中某一點(diǎn)定了，則該處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向都是定值．

1

⑥勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度處處相等．

⑦磁場的疊加:空間某點(diǎn)如果同時存在兩個以上電流或磁體激發(fā)的磁場,則該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是各電流或磁體在該點(diǎn)激發(fā)的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和,滿足矢量運(yùn)算法則.

【例2】如圖所示，正四棱柱abed一a"b"c"d"的中心軸線00"處有一無限長的載流直導(dǎo)線，對該電流的磁場，下列說法中正確的是（AC）

A.同一條側(cè)棱上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都相等B.四條側(cè)棱上的磁感應(yīng)強(qiáng)度都相同

C.在直線ab上，從a到b，磁感應(yīng)強(qiáng)度是先增大后減小D.棱柱內(nèi)任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度比棱柱側(cè)面上所有點(diǎn)都大

解析:因通電直導(dǎo)線的磁場分布規(guī)律是B∝1/r，故A,C正確，D錯誤．四條側(cè)棱上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，但不同側(cè)棱上的點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不同，故B錯誤．

【例3】如圖所示，兩根導(dǎo)線a、b中電流強(qiáng)度相同．方向如圖所示，則離兩導(dǎo)線等距離的P點(diǎn)，磁場方向如何？

解析：由P點(diǎn)分別向a、b作連線Pa、Pb．然后過P點(diǎn)分別做Pa、Pb垂線，根據(jù)安培定則知這兩條垂線用PM、PN就是兩導(dǎo)線中電流在P點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，兩導(dǎo)線中的電流在P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同，然后按照矢量的合成法則就可知道合磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向豎直向上，如圖所示，這也就是該處磁場的方向．答案：豎直向上

【例4】六根導(dǎo)線互相絕緣，所通電流都是I，排成如圖10一5所示的形狀，區(qū)域A、B、C、D均為相等的正方形，則平均磁感應(yīng)強(qiáng)度最大的區(qū)域是哪些區(qū)域？該區(qū)域的磁場方向如何？

解析：由于電流相同，方格對稱，從每方格中心處的磁場來定性比較即可，如I1在任方格中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B，方向由安培定則可知是向里，在A、D方格內(nèi)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B/，方向仍向里，把各自導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度及方向均畫在四個方格中，可以看出在B、D區(qū)域內(nèi)方向向里的磁場與方向向外的磁場等同，疊加后磁場削弱．

答案：在A、C區(qū)域平均磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，在A區(qū)磁場方向向里．C區(qū)磁場方向向外．【例5】一小段通電直導(dǎo)線長1cm，電流強(qiáng)度為5A，把它放入磁場中某點(diǎn)時所受磁場力大小為0．1N，則該點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為（）

A．B＝2T；B．B≥2T；C、B≤2T；D．以上三種情況均有可能

解析：由B＝F/IL可知F/IL＝2（T）當(dāng)小段直導(dǎo)線垂直于磁場B時，受力最大，因而此時可能導(dǎo)線與B不垂直，即Bsinθ＝2T，因而B≥2T。

說明：B的定義式B＝F/IL中要求B與IL垂直，若不垂直且兩者間夾角為θ，則IL在與B垂直方向分上的分量即ILsinθ，因而B=F/ILsinθ，所以F/IL=Bsinθ．則B≥F/IL。

【例6】如圖所示，一根通電直導(dǎo)線放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場中，在以導(dǎo)線為圓心，半徑為r的圓周上有a,b,c,d四個點(diǎn)，若a點(diǎn)的實(shí)

c際磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，則下列說法中正確的是（AC）

A.直導(dǎo)線中電流方向是垂直紙面向里的B.C點(diǎn)的實(shí)際磁感應(yīng)強(qiáng)度也為0bdBC.d點(diǎn)實(shí)際磁感應(yīng)強(qiáng)度為2T，方向斜向下，與B夾角為450D.以上均不正確

a解析:題中的磁場是由直導(dǎo)線電流的磁場和勻強(qiáng)磁場共同形成的，磁

場中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為兩磁場分別產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和．a(chǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，說明直線電流在該處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與勻強(qiáng)磁場B的大小相等、方向相反，可得直導(dǎo)線中電流方向應(yīng)是垂直紙面向里．在圓周上任一點(diǎn)，由直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B＝1T，方向沿圓周切線方向，可知C點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2T，方向向右.d點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2T，方向與B成45斜向右下方．

2

四、磁通量與磁通密度

1．磁通量Φ：穿過某一面積磁力線條數(shù)，是標(biāo)量．

2．磁通密度B：垂直磁場方向穿過單位面積磁力線條數(shù)，即磁感應(yīng)強(qiáng)度，是矢量．3．二者關(guān)系：B＝Φ/S（當(dāng)B與面垂直時），Φ＝BScosθ，Scosθ為面積垂直于B方向上的投影，θ是B與S法線的夾角．

【例7】如圖所示，A為通電線圈，電流方向如圖所示，B、C為與A在同一平面內(nèi)的兩同心圓，φB、φC分別為通過兩圓面的磁通量的大小，下述判斷中正確的是（）

A．穿過兩圓面的磁通方向是垂直紙面向外B．穿過兩圓面的磁通方向是垂直紙面向里C．φB＞φCD．φB＜φC

解析：由安培定則判斷，凡是垂直紙面向外的磁感線都集中在是線圈內(nèi)，因磁感線是閉合曲線，則必有相應(yīng)條數(shù)的磁感線垂直紙面向里，這些磁總線分布在線圈是外，所以B、C兩圓面都有垂直紙面向里和向外的磁感線穿過，垂直紙面向外磁感線條數(shù)相同，垂直紙面向里的磁感線條數(shù)不同，B圓面較少，c圓面較多，但都比垂直向外的少，所以B、C磁通方向應(yīng)垂直紙面向外，φB＞φC，所以A、C正確．

分析磁通時要注意磁感線是閉合曲線的特點(diǎn)和正反兩方向磁總線條數(shù)的多少，不能認(rèn)為面積大的磁通就大．答案：AC

規(guī)律方法1.磁通量的計(jì)算【例8】如圖所示，勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度B＝2．0T，指向x軸的正方向，且ab=40cm，bc=30cm，ae=50cm，求通過面積Sl（abcd）、S2（befc）和S3（aefd）的磁通量φ1、φ2、φ3分別是多少？

解析：根據(jù)φ=BS垂，且式中S垂就是各面積在垂直于B的yx平面上投影的大小，所以各面積的磁通量分別為

－

φ1=BS1＝2．0×40×30×104＝0．24Wb；φ2=0

－

φ3＝φ1=BS1＝2．0×40×30×104＝0．24Wb

答案：φ1＝0．24Wb，φ2＝0，φ3＝0．24Wb

【例9】如圖4所示，一水平放置的矩形閉合線圈abcd在細(xì)長磁鐵N極附近下

落，保持bc邊在紙外，ad邊在紙內(nèi)，由圖中的位置Ⅰ經(jīng)過位置Ⅱ到位置Ⅲ，且位置Ⅰ和Ⅲ都很靠近位置Ⅱ，在這個過程中，線圈中的磁通量

A．是增加的；B．是減少的

C．先增加，后減少；D．先減少，后增加

解析：要知道線圈在下落過程中磁通量的變化情況，就必須知道條形磁鐵在磁極附近磁感線的分布情況．條形磁鐵在N極附近的分布情況如圖所示，由圖可知線圈中磁通量是先減少，后增加．D選項(xiàng)正確．

點(diǎn)評：要知道一個面上磁通量，在面積不變的條件下，也必須知道磁場的磁感線的分布情況．因此，牢記條形磁鐵、蹄形磁鐵、通電直導(dǎo)線、通電螺線管和通電圓環(huán)等磁場中磁感線的分布情況在電磁學(xué)中是很必要的．

【例10】如圖所示邊長為100cm的正方形閉合線圈置于磁場中，線圈AB、CD兩邊中點(diǎn)連線OO/的左右兩側(cè)分別存在方向相同、磁感強(qiáng)度大小各為B1＝0．6T，B2=0．4T的勻強(qiáng)磁場。若從上往下看，線圈逆時針轉(zhuǎn)過370時，穿過線圈的磁通量改變了多少？

解析：在原圖示位置，由于磁感線與線圈平面垂直，因此

Φ1＝B1×S/2＋B2×S/2＝（0．6×1/2＋0．4×1/2）Wb=0．5Wb

/0

當(dāng)線圈繞OO軸逆時針轉(zhuǎn)過37后，（見圖中虛線位置）：

00

Φ2＝B1×Sn/2＋B2×Sn/2＝B1×Scos37/2＋B2×Scos37/2＝0．4Wb磁通量變化量ΔΦ=Φ2－Φ1＝（0．4－0．5）Wb=－0．1Wb

0

所以線圈轉(zhuǎn)過37后。穿過線圈的磁通量減少了0．1Wb．

3

2.磁場基本性質(zhì)的應(yīng)用

【例11】從太陽或其他星體上放射出的宇宙射線中含有高能帶電粒子，若到達(dá)地球，對地球上的生命將帶來危害．對于地磁場對宇宙射線有無阻擋作用的下列說法中，正確的是（B）

A.地磁場對直射地球的宇宙射線的阻擋作用在南北兩極最強(qiáng)，赤道附近最弱B.地磁場對直射地球的宇宙射線的阻擋作用在赤道附近最強(qiáng)，南北兩極最弱C.地磁場對宇宙射線的阻擋作用各處相同D.地磁場對宇宙射線無阻擋作用解析:因在赤道附近帶電粒子運(yùn)動方向與地磁場近似垂直，而在兩極趨于平行．

【例12】超導(dǎo)是當(dāng)今高科技的熱點(diǎn)之一，當(dāng)一塊磁體靠近超導(dǎo)體時，超導(dǎo)體中會產(chǎn)生強(qiáng)大的電流，對磁體有排斥作用，這種排斥力可使磁體懸浮在空中，磁懸浮列車就采用了這項(xiàng)技術(shù)，磁體懸浮的原理是（D）

①超導(dǎo)體電流的磁場方向與磁體的磁場方向相同．②超導(dǎo)體電流的磁場方向與磁體的磁場方向相反．③超導(dǎo)體使磁體處于失重狀態(tài)．

④超導(dǎo)體對磁體的磁力與磁體的重力相平衡．A.①③B.①④C.②③D.②④

解析:超導(dǎo)體中產(chǎn)生的是感應(yīng)電流，根據(jù)楞次定律的“增反減同”原理，這個電流的磁場方向與原磁場方向相反，對磁體產(chǎn)生排斥作用力，這個力與磁體的重力達(dá)平衡．

【例13】.如圖所示，用彎曲的導(dǎo)線環(huán)把一銅片和鋅片相連裝在一絕緣的浮標(biāo)上，然后把浮標(biāo)浸在盛有稀硫酸的容器中，設(shè)開始設(shè)置時，環(huán)平面處于東西方向上．放手后，環(huán)平面將最終靜止在方向上．

解析:在地表附近地磁場的方向是大致由南向北的，此題中由化學(xué)原理可推知在環(huán)中有環(huán)形電流由等效法可假定其為一個垂直于紙面的條形磁體，而條形磁體ZnCu所受地磁場的力的方向是南北方向的．

【例14】普通磁帶錄音機(jī)是用一個磁頭來錄音和放音的。磁頭結(jié)構(gòu)如圖所示，

在一個環(huán)形鐵芯上繞一個線圈．鐵芯有個縫隙，工作時磁帶就貼著這個縫隙移動。錄音時磁頭線圈跟微音器相連，放音時，磁頭線圈改為跟揚(yáng)聲器相連，磁帶上涂有一層磁粉，磁粉能被磁化且留下剩磁。微音器的作用是把聲音的變化轉(zhuǎn)化為電流的變化；揚(yáng)聲器的作用是把電流的變化轉(zhuǎn)化為聲音的變化，根據(jù)學(xué)過的知識，把普通錄音機(jī)錄、放音的基本原理簡明扼要地寫下來。

解析:（1）錄音原理:當(dāng)由微音器把聲音信號轉(zhuǎn)化為電流信號后，電流信號流經(jīng)線圈，在鐵芯中產(chǎn)生隨聲音變化的磁場，磁帶經(jīng)過磁頭時磁粉被不同程度地磁化，并留下剩磁，且剩磁的變化與聲音的變化一致，這樣，聲音的變化就被記錄成磁粉不同程度的變化。即錄音是利用電流的磁效應(yīng)。

（2）放音原理:各部分被不同程度磁化的磁帶經(jīng)過鐵芯時，鐵芯中形成變化

的磁場，在線圈中激發(fā)出變化的感應(yīng)電流，感應(yīng)電流經(jīng)過揚(yáng)聲器時，電流的變化被轉(zhuǎn)化為聲音的變化。這樣，磁信號又被轉(zhuǎn)化為聲音信號而播放出來。即放音過程是利用電磁感應(yīng)原理。

【例15】磁場具有能量，磁場中單位體積所具有的能量叫做能量密度，其值為B2/2μ,式中B是感應(yīng)強(qiáng)度,μ是磁導(dǎo)率，在空氣中μ為一已知常數(shù)．為了近似測得條形磁鐵磁極端面附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，一學(xué)生用一根端面面積為A的條形磁鐵吸住一相同面積的鐵片P，再用力將鐵片與磁鐵拉開一段微小距離△L，并測出拉力F，如圖所示．因?yàn)镕所做的功等于間隙中磁場的能量，所以由此可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B與F、A之間的關(guān)系為B＝

解析:在用力將鐵片與磁鐵拉開一段微小距離△L的過程中，拉力F可

NF認(rèn)為不變，因此F所做的功為:W＝F△L.

以ω表示間隙中磁場的能量密度，則間隙中磁場的能量E＝ωV＝ωA△L又題給條件ω＝B2/2μ，故E＝A△LB2/2μ.

因?yàn)镕所做的功等于間隙中磁場的能量，即W=E，故有F△L=A△LB2/2μ

解得B2F

A

磁場對電流的作用

基礎(chǔ)知識一、安培力

1.安培力：通電導(dǎo)線在磁場中受到的作用力叫做安培力．說明:磁場對通電導(dǎo)線中定向移動的電荷有力的作用，磁場對這些定向移動電荷作用力的宏觀表現(xiàn)即為安培力．

2.安培力的計(jì)算公式：F＝BILsinθ（θ是I與B的夾角）；通電導(dǎo)線與磁場方向垂直時，即θ＝900，此時安培力有最大值；通電導(dǎo)線與磁場方向平行時，即θ＝00，此時安培力有最小值，F(xiàn)=0N;00＜B＜900時，安培力F介于0和最大值之間.

3.安培力公式的適用條件:

①公式F＝BIL一般適用于勻強(qiáng)磁場中I⊥B的情況，對于非勻強(qiáng)磁場只是近似適用（如對電流元），但對某些特殊情況仍適用．

如圖所示，電流I1//I2,如I1在I2處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則I1對I2的安培力F

I1I2

＝BI2L，方向向左，同理I2對I1，安培力向右，即同向電流相吸，異向電流相斥．

②根據(jù)力的相互作用原理，如果是磁體對通電導(dǎo)體有力的作用，則通電導(dǎo)體對磁體有反作用力．兩根通電導(dǎo)線間的磁場力也遵循牛頓第三定律．

二、左手定則

1.用左手定則判定安培力方向的方法：伸開左手，使拇指跟其余的四指垂直且與手掌都在同一平面內(nèi)，讓磁感線垂直穿過手心，并使四指指向電流方向，這時手掌所在平面跟磁感線和導(dǎo)線所在平面垂直，大拇指所指的方向就是通電導(dǎo)線所受安培力的方向．

2.安培力F的方向既與磁場方向垂直，又與通電導(dǎo)線垂直,即F跟BI所在的面垂直．但B與I的方向不一定垂直．

3.安培力F、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、電流1三者的關(guān)系①已知I,B的方向，可惟一確定F的方向；

②已知F、B的方向，且導(dǎo)線的位置確定時，可惟一確定I的方向；③已知F,1的方向時，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向不能惟一確定．

4.由于B,I,F的方向關(guān)系常是在三維的立體空間，所以求解本部分問題時，應(yīng)具有較好的空間想象力，要善于把立體圖畫變成易于分析的平面圖，即畫成俯視圖，剖視圖，側(cè)視圖等．

【例1】如圖所示，一條形磁鐵放在水平桌面上在其左上方固定一根與磁鐵垂直的長直導(dǎo)線，當(dāng)導(dǎo)線通以如圖所示方向電流時（）

A．磁鐵對桌面的壓力減小，且受到向左的摩擦力作用B．磁鐵對桌面的壓力減小，且受到向右的摩擦力作用C．磁鐵對桌面的壓力增大，且受到向左的摩擦力作用D．磁鐵對桌面的壓力增大，且受到向右的摩擦力作用

解析：導(dǎo)線所在處磁場的方向沿磁感線的切線方向斜向下，對其沿水平豎直方向分解，如圖1015所示．對導(dǎo)線：

Bx產(chǎn)生的效果是磁場力方向豎直向上．By產(chǎn)生的效果是磁場力方向水平向左．

根據(jù)牛頓第三定律：導(dǎo)線對磁鐵的力有豎直向下的作用力，因而磁鐵對桌面壓

力增大；導(dǎo)線對磁鐵的力有水平向右的作用力．因而磁鐵有向右的運(yùn)動趨勢，這樣磁鐵與桌面間便產(chǎn)生了摩擦力，桌面對磁鐵的摩擦力沿水平方向向左．答案：C

【例2】.如圖在條形磁鐵N極處懸掛一個線圈，當(dāng)線圈中通有逆時針方向的電流時，線圈將向哪個方向偏轉(zhuǎn)？

分析：用“同向電流互相吸引，反向電流互相排斥”最簡單：螺線管的電流在正面是向下的，與線圈

5

中的電流方向相反，互相排斥，而左邊的線圈匝數(shù)多所以線圈向右偏轉(zhuǎn)。

【例3】電視機(jī)顯象管的偏轉(zhuǎn)線圈示意圖如右，即時電流方向如圖所示。該時刻由里向外射出的電子流將向哪個方向偏轉(zhuǎn)？

解：畫出偏轉(zhuǎn)線圈內(nèi)側(cè)的電流，是左半線圈靠電子流的一側(cè)為向里，右半線圈靠電子流的一側(cè)為向外。電子流的等效電流方向是向里的，根據(jù)“同向電流互相吸引，反向電流互相排斥”，可判定電子流向左偏轉(zhuǎn)。

規(guī)律方法1。安培力的性質(zhì)和規(guī)律；

①公式F=BIL中L為導(dǎo)線的有效長度，即導(dǎo)線兩端點(diǎn)所連直線的長度，相應(yīng)的電流

方向沿L由始端流向末端．如圖所示，甲中：l/2l，乙中：L/=d(直徑）＝2R（半圓環(huán)且半徑為R)i②安培力的作用點(diǎn)為磁場中通電導(dǎo)體的幾何中心；

③安培力做功:做功的結(jié)果將電能轉(zhuǎn)化成其它形式的能．

【例4】如圖所示，在光滑的水平桌面上，有兩根彎成直角相同金屬棒，它們的一端均可繞固定轉(zhuǎn)軸O自由轉(zhuǎn)動，另一端b互相接觸，組成一個正方形線框，正方形邊長為L，勻強(qiáng)磁場的方向垂直桌面向下，磁感強(qiáng)度為B．當(dāng)線框中通以圖示方向的電流時，兩金屬棒b點(diǎn)的相互作用力為f此時線框中的電流為多少？

解析：由于對稱性可知金屬棒在O點(diǎn)的相互作用力也為f，所以O(shè)a邊和ab邊所受安培力的合力為2f，方向向右，根據(jù)左手定則可知Oa邊和ab邊所受安培力F1、F2分別與這兩邊垂直，由力的合成法則可求出F1=F2=2fcos450=2f＝BIL，I=2f／BL點(diǎn)評：本題也利用了對稱性說明O點(diǎn)的作用力為f，當(dāng)對左側(cè)的金屬棒作受力分析時，受到的兩個互相垂直的安培力F1、F2（這兩個安培力大小相等為F）的合力是水平向右的，大小為2F，與O、b兩點(diǎn)受到的作用力2f相平衡。

【例5】質(zhì)量為m的通電細(xì)桿ab置于傾角為θ的平行導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌寬度為d，桿ab與導(dǎo)軌間的摩擦因數(shù)為μ．有電流時aB恰好在導(dǎo)軌上靜止，如圖所示，如圖1019所示是沿ba方向觀察時的四個平面圖，標(biāo)出了四種不同的勻強(qiáng)磁場方向，其中桿與導(dǎo)軌間摩擦力可能為零的是（）

解析：桿的受力情況為：

答案：AB

2、安培力作用下物體的運(yùn)動方向的判斷

6

（1）電流元法：即把整段電流等效為多段直線電流元，先用左手定則判斷出每小段電流元所受安培力的方向，從而判斷整段電流所受合力方向，最后確定運(yùn)動方向．

（2）特殊位置法：把電流或磁鐵轉(zhuǎn)到一個便于分析的特殊位置后再判斷安培力方向，從而確定運(yùn)動方向．

（3）等效法：環(huán)形電流和通電螺線管都可以等效成條形磁鐵，條形磁鐵也可等效成環(huán)形電流或通電螺線管，通電螺線管也可以等效成很多匝的環(huán)形電流來分析．

（4）利用結(jié)論法：①兩電流相互平行時無轉(zhuǎn)動趨勢，同向電流相互吸引，反向電流相互排斥；②兩電流不平行時，有轉(zhuǎn)動到相互平行且電流方向相同的趨勢．

（5）轉(zhuǎn)換研究對象法：因?yàn)殡娏髦�間，電流與磁體之間相互作用滿足牛頓第三定律，這樣，定性分析磁體在電流磁場作用下如何運(yùn)動的問題，可先分析電流在磁體磁場中所受的安培力，然后由牛頓第三定律，再確定磁體所受電流作用力，從而確定磁體所受合力及運(yùn)動方向．

（6）分析在安培力作用下通電導(dǎo)體運(yùn)動情況的一般步驟①畫出通電導(dǎo)線所在處的磁感線方向及分布情況②用左手定則確定各段通電導(dǎo)線所受安培力③)據(jù)初速方向結(jié)合牛頓定律確定導(dǎo)體運(yùn)動情況

(7)磁場對通電線圈的作用:若線圈面積為S，線圈中的電流強(qiáng)度為I，所在磁場的孩感應(yīng)強(qiáng)度為B，線圈平面跟磁場的夾角為θ，則線圈所受磁場的力矩為：M=BIScosθ．

【例6】如圖所示，電源電動勢E＝2V，r＝0.5Ω,豎直導(dǎo)軌電阻可略，金屬棒的質(zhì)量m＝0.1kg，R=0.5Ω，它與導(dǎo)體軌道的動摩擦因數(shù)μ＝0.4，有效長度為0.2m,靠在導(dǎo)軌的外面，為使金屬棒不下滑，我們施一與紙面夾角為600且與導(dǎo)線垂直向外的磁場，（g=10m/s2）求：

（1)此磁場是斜向上還是斜向下？（2）B的范圍是多少？

解析:導(dǎo)體棒側(cè)面受力圖如圖所示：

由平衡條件得：B最小時摩擦力沿導(dǎo)軌向上，則有

μFN＋BILcos300＝mg,FN=BILsin300解得B＝2.34T

當(dāng)B最大時摩擦力沿導(dǎo)軌向下，則有BILcos300＝mg＋μFNFN=BILsin300解得B=3.75TB的范圍是2.34T--3.75T

【例7】在傾角為θ的斜面上，放置一段通有電流強(qiáng)度為I,長度為L，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒a，（通電方向垂直紙面向里），如圖所示，棒與斜面間動摩擦因數(shù)μ

解析:(1)設(shè)當(dāng)安培力與斜面成α角時B最小，則由平衡條件得：mgsinθ＝μFN＋BILcosα,FN=mgcosθ＋BILsinα．

解得BmgsincosILcossinmgsincosIL1sin2,其中tan1

aα∴當(dāng)α＋β=90時,Bmin0

mgsincosIL12.

（2）當(dāng)FN=0時，則BIL＝mg，∴BIL=mg,由左手定則知B方向水平向左．3．安培力的實(shí)際應(yīng)用

【例10】在原于反應(yīng)堆中抽動液態(tài)金屬等導(dǎo)電液時．由于不允許傳動機(jī)械部分與這些流體相接觸，常使用一種電磁泵。圖中表示這種電磁泵的結(jié)構(gòu)。將導(dǎo)管

7

置于磁場中，當(dāng)電流I穿過導(dǎo)電液體時，這種導(dǎo)電液體即被驅(qū)動。若導(dǎo)管的內(nèi)截面積為a×h，磁場區(qū)域的寬度為L，磁感強(qiáng)度為B．液態(tài)金屬穿過磁場區(qū)域的電流為I，求驅(qū)動所產(chǎn)生的壓強(qiáng)差是多大？

解答:本題的物理情景是：當(dāng)電流I通過金屬液體沿圖示豎直向上流動時，電流將受到磁場的作用力，磁場力的方向可以由左手定則判斷，這個磁場力即為驅(qū)動液態(tài)金屬流動的動力。由這個驅(qū)動力而使金屬液體沿流動方向兩側(cè)產(chǎn)生壓強(qiáng)差ΔP。故有F=BIh．Δp=F/ah，聯(lián)立解得Δp＝BI/a

【例12】如圖所示為利用電磁作用輸送非導(dǎo)電液體裝置的示意圖，一邊長為L、截面為正方形的塑料管道水平放置，其右端面上有一截面積為A的小噴口，噴口離地的高度為h.管道中有一絕緣活塞，在活塞的中部和上部分別嵌有兩根金屬棒a、b，其中棒b的兩端與一電壓表相連。整個裝置放在豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，當(dāng)棒a中通有垂直紙面向里的恒定電流I時，活塞向右勻速推動液體從噴口水平射出，液體落地點(diǎn)離噴口的水平距離為s.若液體的密度為ρ，不計(jì)所有阻力，求：

(1)活塞移動的速度；(2)該裝置的功率；

(3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；

(4）若在實(shí)際使用中發(fā)現(xiàn)電壓表的讀數(shù)變小，試分析其可能的原因．

解析:（l）設(shè)液體從噴口水平射出的速度為v0，活塞移動的速度為v.

v0sg2h,v0AvL2,vAAsgv0L2L22h(2）設(shè)裝置功率為P，Δt時間內(nèi)有△m質(zhì)量的液體從噴口射出,PΔt＝Δm(v02一v2)

342342ALASgAA2223∵Δm=LvΔtρ.∴P=Lvρ(v0一v)12v0,∴P22L4L2h2v0L4A2L4A2s2g122A22(3)∵P=F安v.∴Lvv02v0BILv,∴B332L2IL4IhL（4）∵U=BLv,∴噴口液體的流量減少，活塞移動速度減小，或磁場變小等會引起電壓表讀數(shù)變小

8

磁場對運(yùn)動電荷的作用

基礎(chǔ)知識一、洛侖茲力磁場對運(yùn)動電荷的作用力

1.洛倫茲力的公式:f=qvBsinθ，θ是V、B之間的夾角.2.當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動方向與磁場方向互相平行時，F(xiàn)＝03.當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動方向與磁場方向互相垂直時，f=qvB

4.只有運(yùn)動電荷在磁場中才有可能受到洛倫茲力作用，靜止電荷在磁場中受到的磁場對電荷的作用力一定為0．

二、洛倫茲力的方向

1.洛倫茲力F的方向既垂直于磁場B的方向，又垂直于運(yùn)動電荷的速度v的方向，即F總是垂直于B和v所在的平面．

2.使用左手定則判定洛倫茲力方向時，伸出左手，讓姆指跟四指垂直，且處于同一平面內(nèi)，讓磁感線穿過手心，四指指向正電荷運(yùn)動方向（當(dāng)是負(fù)電荷時，四指指向與電荷運(yùn)動方向相反）則姆指所指方向就是該電荷所受洛倫茲力的方向．

三、洛倫茲力與安培力的關(guān)系

1.洛倫茲力是單個運(yùn)動電荷在磁場中受到的力，而安培力是導(dǎo)體中所有定向稱動的自由電荷受到的洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)．

2.洛倫茲力一定不做功，它不改變運(yùn)動電荷的速度大小;但安培力卻可以做功．四、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

1.不計(jì)重力的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動可分三種情況：一是勻速直線運(yùn)動；二是勻速圓周運(yùn)動；三是螺旋運(yùn)動．

2.不計(jì)重力的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑r=mv/qB；其運(yùn)動周期T=2πm/qB（與速度大小無關(guān)）．

3.不計(jì)重力的帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場和垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時都做曲線運(yùn)動，但有區(qū)別：帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場，在電場中做勻變速曲線運(yùn)動（類平拋運(yùn)動）；垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，則做變加速曲線運(yùn)動（勻速圓周運(yùn)動）．

【例1】一帶電粒子以初速度V0垂直于勻強(qiáng)電場E沿兩板中線射入，不計(jì)重力，由C點(diǎn)射出時的速度為V，若在兩板間加以垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，粒子仍以V0入射，恰從C關(guān)于中線的對稱點(diǎn)D射出，如圖所示，

則粒子從D點(diǎn)射出的速度為多少?

D解析：粒子第一次飛出極板時，電場力做正功，由動能定理可得電場力做功為

V022

W1=m（V－v0）/2……①，當(dāng)兩板間加以垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場后，粒子第二次C飛出極板時，洛侖茲力對運(yùn)動電荷不做功，但是粒子從與C點(diǎn)關(guān)于中線的對稱點(diǎn)射出，洛侖茲力大于電場力，由于對稱性，粒子克服電場力做功，等于第一次電場力所做的功，由動能定理可得W2=m（V0－VD）/2……②，W1=W2。由①②③式得VD=2V02V2

22

點(diǎn)評：凡是涉及到帶電粒子的動能發(fā)生了變化，均與洛侖茲力無關(guān)，因?yàn)槁鍋銎澚�對運(yùn)動電荷永遠(yuǎn)不做功。

【例2】如圖所示，豎直兩平行板P、Q，長為L，兩板間電壓為U，垂直紙面的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電場和磁場均勻分布在兩板空間內(nèi)，今有帶電量為Q，質(zhì)量為m的帶正電的油滴，從某高度處由靜止落下，從兩板正中央進(jìn)入兩板之間，剛進(jìn)入時油滴受到的磁場力和電場力相等，此后油滴恰好從P板的下端點(diǎn)處離開兩板正對的區(qū)域，求（1）油滴原來靜止下落的位置離板上端點(diǎn)的高度h。（2）油滴離開板間時的速度大小。

解析：（1）油滴在進(jìn)入兩板前作自由落體運(yùn)動，剛進(jìn)入兩板之間時的速度為V0，受

9

到的電場力與磁場力相等，則qv0B＝qU／d，v0＝U／Bd=2gh，h=U／2gBd

（2）油滴進(jìn)入兩板之間后，速度增大，洛侖茲力在增大，故電場力小于洛侖茲力，油滴將向P板偏轉(zhuǎn)，

2

電場力做負(fù)功，重力做正功，油滴離開兩板時的速度為Vx，由動能定理mg（h＋L）－qU／2=mVx/2，

vx2ghLqU/m2gU2/2gB2d2LqU/m222

點(diǎn)評：（1）根據(jù)帶電油滴進(jìn)入兩板時的磁場力與電場力大小相等求出油滴下落時到板上端的高度；（2）油滴下落過程中的速度在增大，說明了洛侖茲力增大，油滴向P板偏轉(zhuǎn)，電場力做負(fù)功．

【例3】如圖所示，在空間有勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度的方向垂直紙面向里，大小為B，光滑絕緣空心細(xì)管MN的長度為h，管內(nèi)M端有一質(zhì)量為m、帶正電q的小球P，開始時小球P相對管靜止，管帶著小球P沿垂直于管長度方向的恒定速度u向圖中右方運(yùn)動．設(shè)重力及其它阻力均可忽略不計(jì)．（1）當(dāng)小球P相對管上升的速度為v時，小球上升的加速度多大？（2）小球P從管的另一端N離開管口后，在磁場中作圓周運(yùn)動的圓半徑R多大？（3）小球P在從管的M端到N端的過程中，管壁對小球做的功是多少？

解析：（1）設(shè)此時小球的合速度大小為v合，方向與u的夾角為θ

有v合v2u2……①cosθ=u/v合=u/v2u2………②

此時粒子受到的洛倫茲力f和管壁的彈力N如所示，由牛頓第二定律可求此時小球上升的加速度為：a=fcosθ=qv合Bcosθ/m………③

聯(lián)立①②③解得：a=quB/m

（2）由上問a知，小球上升加速度只與小球的水平速度u有關(guān)，故小球在豎直

方向上做加速運(yùn)動．設(shè)小球離開N端管口時的豎直分速度為vy，由運(yùn)動學(xué)公式得vy2ah2quBh/m

2quBhmmv1故小球運(yùn)動的半徑為R2qumBhm2u2

qBqB2此時小球的合速度vu2vyu2（3）因洛化茲力對小球做的功為零，由動能定理得管壁對小球做的功為：W=mv－mu=quBh【例4】在兩塊平行金屬板A、B中，B板的正中央有一α粒子源，可向各個方向射出速率不同的α粒子，如圖所示．若在A、B板中加上UAB＝U0的電壓后，A板就沒有α粒子射到，U0是α粒子不能到達(dá)A板的最小電壓．若撤去A、B間的電壓，為了使α粒子不射到A板，而在A、B之間加上勻強(qiáng)磁場，則勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度B必須符合什么條件（已知

－

α粒子的荷質(zhì)比m／q=2．l×108kg/C，A、B間的距離d＝10cm，電壓U0=4．2×104V）？

解析：α粒子放射源向各個方向射出速率不同的α粒子，設(shè)最大的速率為vm。則各個方向都有速率為vm的α粒子．當(dāng)A、B板加了電壓后，A、B兩板間的電壓阻礙α粒子到達(dá)A板，其方向是垂直兩板并由A板指向B板。

在無電場時，α粒子在沿B向A板運(yùn)動方向上有d=vcosθt………①，其中θ是α粒子速度與垂直兩板的直線的夾角．在①式中最容易到達(dá)A板的α粒子應(yīng)有θ＝0，v＝vm，即其速度方向由B極指向A板，

2

且速率最大的α粒子，這些α粒子若達(dá)不到A板，其余的α粒子均達(dá)不到A板．由動能定理可得qU0＝mvm／2………②；

若撤去電場，在A、B間加上勻強(qiáng)磁場，這些α粒子將做勻速圓周運(yùn)動，其半徑為R，R=mv/qB……③，由③式可知，在B一定的條件下，v越大，R越大，越容易打到A板；反之，當(dāng)v值取最大值vm后，若所有具有vm的α粒子不能達(dá)到A板，則所有的α粒子均不

10

能達(dá)到A板．在所有方向上的α粒子中，它們的軌跡剛好與A板相切的情況如圖所示．在圖中與A板相切的軌跡中最小半徑為R3，若R3是具有速率為vm的α粒子的半徑，則其它具有vm的α粒子均不能到達(dá)A板．若令R3為最小值Rmin時，即圖中Rmin=d／2是所有α粒子中軌跡與A板相切的最小半徑，將其代入③式后得d／2=mvm/qBmin……④，由②④兩式可得Bmin=22mU0/q／d=0．84T，所以，A、B兩板之間應(yīng)加上垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，且磁感強(qiáng)度B≥0．84T時，所有的α粒子均不能到達(dá)A板．

規(guī)律方法1、帶電粒子在磁場中運(yùn)動的圓心、半徑及時間的確定（1)用幾何知識確定圓心并求半徑．

因?yàn)镕方向指向圓心，根據(jù)F一定垂直v，畫出粒子運(yùn)動軌跡中任意兩點(diǎn)（大多是射入點(diǎn)和出射點(diǎn)）的F或半徑方向，其延長線的交點(diǎn)即為圓心，再用幾何知識求其半徑與弦長的關(guān)系．

(2)確定軌跡所對應(yīng)的圓心角，求運(yùn)動時間．

先利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者是四邊形內(nèi)角和等于3600（或2π）計(jì)算出圓心角θ的大小，再由公式t=θT/3600（或θT/2π）可求出運(yùn)動時間．

(3)注意圓周運(yùn)動中有關(guān)對稱的規(guī)律．

如從同一邊界射入的粒子，從同一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等；在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出．

【例5】如圖所示，一束電子（電量為e）以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，穿過磁場時速度方向與電子原來入射方向的夾角是300，則電子的質(zhì)量是，穿過磁場的時間是。

解析：電子在磁場中運(yùn)動，只受洛倫茲力作用，故其軌跡是圓弧一部分，又因?yàn)閒⊥v，故圓心在電子穿入和穿出磁場時受到洛倫茲力指向交點(diǎn)上，如圖中的O點(diǎn)，由

00

幾何知識知，AB間圓心角θ=30，OB為半徑．所以r=d/sin30=2d．

又由r=

mv得m＝2dBe／v．Be0

又因?yàn)锳B圓心角是30，所以穿過時間t=

112mdT=×=．1212Be3v【例6】如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入橫截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場，下列

判斷正確的是（）

A、電子在磁場中運(yùn)動時間越長，其軌跡線越長

B．電子在磁場中運(yùn)動時間越長。其軌跡線所對應(yīng)的圓心角越大C．在磁場中運(yùn)動時間相同的電子，其軌跡線一定重合D．電子的速率不同，它們在磁場中運(yùn)動時間一定不相同

解析：在圖中畫出了不同速率的電子在磁場中的軌跡，由前面的知識點(diǎn)可知軌

跡的半徑R=mv／qB，說明了半徑的大小與電子的速率成正比．但由于電子在磁場中運(yùn)動時間的長短僅與軌跡所對應(yīng)的圓心角大小有關(guān)，故可判斷圖中五條軌跡線所對應(yīng)的運(yùn)動時間關(guān)系有t5＝t4＝t3＞t2＞t1顯然，本題選項(xiàng)中只有B正確．

點(diǎn)評：本題所考查的是帶電粒子在矩形（包括正方形）磁場中運(yùn)動的軌跡與相應(yīng)的運(yùn)動時間的關(guān)系問題．不同速率的電子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角大小（也就是在磁場中運(yùn)動時間的長短），由知識點(diǎn)中的周期表達(dá)式看來與半徑是沒有關(guān)系的，但由于磁場區(qū)域的邊界條件的限制，由圖說明了半徑不同，帶電粒子離開磁場時速度方向變化可能不同，也可能相同．由周期關(guān)系式必須明確的一點(diǎn)是：帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間長短決定于軌跡所對應(yīng)的圓心角．

【例7】如圖所示，半徑R=10cm的圓形區(qū)域邊界跟y軸相切于坐標(biāo)系原點(diǎn)O。磁感強(qiáng)度B＝0．332T，方向垂直于紙面向里，在O處有一放射源S，可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3．2×106m/s的α粒子．已知α粒子的質(zhì)量m=6．64

－27－19

×10kg，電量q=3．2×10C．

11

（1）畫出α粒子通過磁場空間做圓周運(yùn)動的圓心的軌跡．（2）求出α粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ．（3）再以過O點(diǎn)并垂直紙面的直線為軸旋轉(zhuǎn)磁場區(qū)域，能使穿過磁場區(qū)域且偏轉(zhuǎn)角最大的α粒子射到正方向的y軸上，則圓形磁場直徑OA至少應(yīng)轉(zhuǎn)過多大的角度β．

解析：（l）α粒子的速度相同，在同一勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑相同，均由洛侖茲力提供向心力f=2

qvB=mv／r，r＝mv／Qb=20cm

所以α粒子的圓心與S（即O點(diǎn)）的距離均為r，其圓心的軌跡為以S為圓心、以20cm為半徑的一段圓弧，如圖所示．

（2）由于α粒子的軌道半徑r大于磁場區(qū)域的半徑R，α粒子最長的軌跡所對應(yīng)的弦為2R=r=20cm時，α粒子在磁場中最大的偏轉(zhuǎn)角的軌跡就是α粒子在磁場中最長的軌跡線，由于最長的軌跡線的弦長與其軌跡半徑相等，

0

所以偏轉(zhuǎn)角的最大值為θ=60

0

（3）由（2）中可知α粒子的最大偏轉(zhuǎn)角為60；且所對的弦為OA，故α

粒子在磁場軌跡的入射點(diǎn)O和出射點(diǎn)A與其軌跡圓心O1的連線和OA組成一個正三角形，也就是α粒子離

0

開磁場時與x軸正方向的夾角γ＝30，如圖所示．要使偏轉(zhuǎn)角最大的α粒子離開磁場時能打在y軸的正方

/0/0

向上，則α粒子與x軸的正方向夾角γ＞90，則OA繞過O點(diǎn)的水平軸至少要轉(zhuǎn)過β=γ一γ＝60．

點(diǎn)評：帶電粒子在磁場中的軌跡不大于半圓時，要使帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角最大，就是要求帶電粒子在磁場中的軌跡線愈長（由于半徑確定），即所對應(yīng)的弦愈長．在圓形磁場中，只有直徑作為軌跡的弦長最長．所以要求帶電粒子進(jìn)入磁場時的入射點(diǎn)、離開磁場時的出射點(diǎn)的連線為圓形磁場區(qū)域的直徑．這是本題的難點(diǎn)。若是r＞R，情況就完全變了，這時帶電粒子在磁場中的軌跡可能大于半圓或等于半圓，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期T=2πm／qB，這是一個與速度大小和半徑無關(guān)的物理量，也就是說在磁場中運(yùn)動時間長短僅與軌跡所對圓心花怒放角有關(guān)，在具體確定時還與磁場的邊界有關(guān)，矩形的邊界和圓形的邊界是不相同的．

2、洛侖茲力的多解問題

（1）帶電粒子電性不確定形成多解．

帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動軌跡不同，導(dǎo)致雙解．

（2）磁場方向不確定形成多解．若只告知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未說明磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，則應(yīng)考慮因磁場方向不確定而導(dǎo)致的多解．（3）臨界狀態(tài)不惟一形成多解．

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時，它可能穿過去，也可能偏轉(zhuǎn)1800從入射界面這邊反向飛出．另在光滑水平桌面上，一絕緣輕繩拉著一帶電小球在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，若繩突然斷后，小球可能運(yùn)動狀態(tài)也因小球帶電電性，繩中有無拉力造成多解．

（4）運(yùn)動的重復(fù)性形成多解．

如帶電粒子在部分是電場，部分是磁場空間運(yùn)動時，往往具有往復(fù)性，因而形成多解．

【例8】如圖所示，一半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的正粒子（不計(jì)重力）以速度為v從筒壁的A孔沿半徑方向進(jìn)入筒內(nèi)，設(shè)粒子和筒壁的碰撞無電荷量和能量的損失，那么要使粒子與筒壁連續(xù)碰撞，繞筒壁一周后恰好又從A孔射出，問：

(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小必須滿足什么條件？(2)粒子在筒中運(yùn)動的時間為多少？

解析:(1)粒子射入圓筒后受洛侖茲力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn),設(shè)第一次與B點(diǎn)碰撞,撞后速度方向又指向O點(diǎn),設(shè)粒子碰撞n-1次后再從A點(diǎn)射出,則其運(yùn)動軌跡是n段相等的弧長.

/

設(shè)第一段圓弧的圓心為O,半徑為r,則θ=2π/2n=π/n.,由幾何關(guān)系得

rRtann,又由r=mv/Bq,聯(lián)立得:BmvRqtann(n1.2.3)

OθAφ⌒/OB12

2tannR(2)粒子運(yùn)動的周期為:T=2πm/qB,將B代入得Tn2弧AB所對的圓心角22

22nnv

1n22Rn2RTtantan(n=3.4.5……)22nvnnvnn2R故粒子運(yùn)動的總時間為tnt/tan(n=3.4.5……)

粒子由A到B所用的時間t/vn【例9】S為電子源，它只能在如圖（l）所示紙面上的3600范圍內(nèi)發(fā)射速率相同，質(zhì)量為m，電量為e的電子，MN是一塊豎直擋板，與S的水平距離OS=L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度為B．

（l）要使S發(fā)射的電子能到達(dá)擋板，則發(fā)射電子的速度至少多大？

（2）若S發(fā)射電子的速度為eBL／m時，擋板被電子擊中范圍多大？（要求指明S在哪個范圍內(nèi)發(fā)射的電子可以擊中擋板，并在圖中畫出能擊中擋板距O上下最遠(yuǎn)的電子的運(yùn)動軌道）

2

【解析】（l）電子在磁場中所受洛侖較為提供向心力qBV=mV/r當(dāng)r=L/2時，速度v最小，由①、②可得，V=eBL／2m

///2//

（2）若S發(fā)射電子速率V=eBL／m，由eVB=mV/r可得：r=L

/

由左手定則知，電子沿SO發(fā)射時，剛好到達(dá)板上的b點(diǎn)，且OB=r=L，由SO逆

0//

時針轉(zhuǎn)180的范圍內(nèi)發(fā)射的電子均能擊中擋板，落點(diǎn)由b→O→a→b→a，其中沿SO發(fā)射的電并擊中擋板上的a點(diǎn)，且aO=

2L2L2=

3L．由上分析可知，擋板能被電子擊中

的范圍由a→b，其高度h=3L＋L=（3十l）L，擊中a、b兩點(diǎn)的電子軌跡，如圖（2）

所示．

【例10】M、N、P為很長的平行邊界面，M、N與M、P間距分別為L1、L2，其間分別有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1和B2的勻強(qiáng)磁場區(qū)，Ⅰ和Ⅱ磁場方向垂直紙面向里，B1≠B2，有一帶正電粒子的電量為q，質(zhì)量為m，以大小為v的速度垂直邊界M及磁場方向射入MN間的磁場區(qū)域，討論粒子初速度v應(yīng)滿足什么條件才可穿過兩個磁場區(qū)域（不計(jì)粒子的重力）。

解析:先討論粒子穿出B1的條件：

設(shè)粒子以某一速度v在磁場B1中運(yùn)動的圓軌跡剛好與M

qB1L1v2v相切，此時軌跡半徑剛好為L1，由得：qvB1mmL1

qBL1v1由此可得使粒子能穿出B1的條件是：。

m再討論粒子穿出B2條件：

又設(shè)粒子以某一v1qvB1的速度穿出了B1后在B2中穿過mmv1qB2mvmvLqB時其圓軌跡又剛好與P相切，如圖所示，粒子在B1中的運(yùn)動軌跡所對的圓心角為θ，那么：，粒子在sin11B2運(yùn)動的軌跡半徑為：RLqBmv11L由幾何知識得：R－Rsinθ=L2所以有：1112

qB2qB2mv1

13

解得：v1

qB1L1qB2L2qBLqB2L2，所以當(dāng)粒子的速度v111時就可以穿出B1和B2。

mm專題:帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動

基礎(chǔ)知識一、復(fù)合場的分類：

1、復(fù)合場：即電場與磁場有明顯的界線，帶電粒子分別在兩個區(qū)域內(nèi)做兩種不同的運(yùn)動，即分段運(yùn)動，該類問題運(yùn)動過程較為復(fù)雜，但對于每一段運(yùn)動又較為清晰易辨，往往這類問題的關(guān)鍵在于分段運(yùn)動的連接點(diǎn)時的速度，具有承上啟下的作用．

2、疊加場：即在同一區(qū)域內(nèi)同時有電場和磁場，些類問題看似簡單，受力不復(fù)雜，但仔細(xì)分析其運(yùn)動往往比較難以把握。

二、帶電粒子在復(fù)合場電運(yùn)動的基本分析

1.當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中所受的合外力為0時，粒子將做勻速直線運(yùn)動或靜止．2.當(dāng)帶電粒子所受的合外力與運(yùn)動方向在同一條直線上時，粒子將做變速直線運(yùn)動．3.當(dāng)帶電粒子所受的合外力充當(dāng)向心力時，粒子將做勻速圓周運(yùn)動．

4.當(dāng)帶電粒子所受的合外力的大小、方向均是不斷變化的時，粒子將做變加速運(yùn)動，這類問題一般只能用能量關(guān)系處理．

三、電場力和洛倫茲力的比較

1.在電場中的電荷，不管其運(yùn)動與否，均受到電場力的作用；而磁場僅僅對運(yùn)動著的、且速度與磁場方向不平行的電荷有洛倫茲力的作用．

2.電場力的大小F＝Eq，與電荷的運(yùn)動的速度無關(guān)；而洛倫茲力的大小f=Bqvsinα,與電荷運(yùn)動的速度大小和方向均有關(guān)．

3.電場力的方向與電場的方向或相同、或相反；而洛倫茲力的方向始終既和磁場垂直，又和速度方向垂直．

4.電場力既可以改變電荷運(yùn)動的速度大小，也可以改變電荷運(yùn)動的方向，而洛倫茲力只能改變電荷運(yùn)動的速度方向，不能改變速度大小

5.電場力可以對電荷做功，能改變電荷的動能；洛倫茲力不能對電荷做功，不能改變電荷的動能．6.勻強(qiáng)電場中在電場力的作用下，運(yùn)動電荷的偏轉(zhuǎn)軌跡為拋物線；勻強(qiáng)磁場中在洛倫茲力的作用下，垂直于磁場方向運(yùn)動的電荷的偏轉(zhuǎn)軌跡為圓弧．

四、對于重力的考慮

重力考慮與否分三種情況．（1)對于微觀粒子，如電子、質(zhì)子、離子等一般不做特殊交待就可以不計(jì)其重力，因?yàn)槠渲亓σ话闱闆r下與電場力或磁場力相比太小，可以忽略；而對于一些實(shí)際物體，如帶電小球、液滴、金屬塊等不做特殊交待時就應(yīng)當(dāng)考慮其重力．（2)在題目中有明確交待的是否要考慮重力的，這種情況比較正規(guī)，也比較簡單．（3)對未知名的帶電粒子其重力是否忽略又沒有明確時，可采用假設(shè)法判斷，假設(shè)重力計(jì)或者不計(jì)，結(jié)合題給條件得出的結(jié)論若與題意相符則假設(shè)正確，否則假設(shè)錯誤．

五、復(fù)合場中的特殊物理模型1．粒子速度選擇器

如圖所示，粒子經(jīng)加速電場后得到一定的速度v0，進(jìn)入正交的電場和磁

場，受到的電場力與洛倫茲力方向相反，若使粒子沿直線從右邊孔中出去，則有qv0B＝qE,v0=E/B，若v=v0=E/B，粒子做直線運(yùn)動，與粒子電量、電性、質(zhì)量無關(guān)

若v＜E/B，電場力大，粒子向電場力方向偏，電場力做正功，動能增加．若v＞E/B，洛倫茲力大，粒子向磁場力方向偏，電場力做負(fù)功，動能減少．

14

2.磁流體發(fā)電機(jī)

如圖所示，由燃燒室O燃燒電離成的正、負(fù)離子（等離子體）以高速。噴入偏轉(zhuǎn)磁場B中．在洛倫茲力作用下，正、負(fù)離子分別向上、下極板偏轉(zhuǎn)、積累，從而在板間形成一個向下的電場．兩板間形成一定的電勢差．當(dāng)qvB=qU/d時電勢差穩(wěn)定U＝dvB，這就相當(dāng)于一個可以對外供電的電源．

3.電磁流量計(jì)．

電磁流量計(jì)原理可解釋為：如圖所示，一圓形導(dǎo)管直徑為d，用非磁性材料制成，其中有可以導(dǎo)電的液體向左流動．導(dǎo)電液體中的自由電荷（正負(fù)離子）在洛倫茲力作用下縱向偏轉(zhuǎn)，a,b間出現(xiàn)電勢差．當(dāng)自由電荷所受電場力和洛倫茲力平衡時，a、b間的電勢差就保持穩(wěn)定．

由Bqv=Eq=Uq/d，可得v=U/Bd.流量Q=Sv=πUd/4B4.質(zhì)譜儀如圖所示

組成：離子源O，加速場U，速度選擇器（E,B），偏轉(zhuǎn)場B2，膠片．

2

原理：加速場中qU=mv選擇器中:v=E/B1

偏轉(zhuǎn)場中:d＝2r，qvB2＝mv2/r

比荷:

q2EmB1B2d質(zhì)量mB1B2dq2E作用：主要用于測量粒子的質(zhì)量、比荷、研究同位素．5.回旋加速器如圖所示

組成：兩個D形盒，大型電磁鐵，高頻振蕩交變電壓，兩縫間可形成電壓U

作用：電場用來對粒子（質(zhì)子、氛核,a粒子等）加速，磁場用來使粒子回旋從而能反復(fù)加速．高能粒子是研究微觀物理的重要手段．

要求：粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期等于交變電源的變化周期．關(guān)于回旋加速器的幾個問題：(1)回旋加速器中的D形盒，它的作用是靜電屏蔽，使帶電粒子在圓周運(yùn)動過程中只處在磁場中而不受電場的干擾，以保證粒子做勻速圓周運(yùn)動‘

(2)回旋加速器中所加交變電壓的頻率f,與帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動的頻率相等:f1qBT2m12q2B2R2(3)回旋加速器最后使粒子得到的能量，可由公式EKmv來計(jì)算，在粒子電量，、質(zhì)量m

22m和磁感應(yīng)強(qiáng)度B一定的情況下，回旋加速器的半徑R越大，粒子的能量就越大．

【注意】直線加速器的主要特征．

如圖所示，直線加速器是使粒子在一條直線裝置上被加速．規(guī)律方法1、帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動

【例1】如圖所示，在X軸上方有勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E；在X軸下方有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖，在X軸上有一點(diǎn)M，離O點(diǎn)距離為L．現(xiàn)有一帶電量為十q的粒子，使其從靜止開始釋放后能經(jīng)過M點(diǎn)．如果把此粒子放在y軸上，其坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？（重力忽略不計(jì)）

解析：由于此帶電粒子是從靜止開始釋放的，要能經(jīng)過M點(diǎn)，其起始位置只能在勻強(qiáng)電場區(qū)域．物理過程是：靜止電荷

15

位于勻強(qiáng)電場區(qū)域的y軸上，受電場力作用而加速，以速度V進(jìn)入磁場，在磁場中受洛侖茲力作用作勻速圓周運(yùn)動，向X軸偏轉(zhuǎn)．回轉(zhuǎn)半周期過X軸重新進(jìn)入電場，在電場中經(jīng)減速、加速后仍以原速率從距O點(diǎn)2R處再次超過X軸，在磁場回轉(zhuǎn)半周后又從距O點(diǎn)4R處飛越X軸如圖10一53所示（圖中電場與磁場均未畫出）故有L＝2R，L＝2×2R，L＝3×2R

即R＝L／2n，（n=1、2、3）①

設(shè)粒子靜止于y軸正半軸上，和原點(diǎn)距離為h，由能量守恒得mv2／2=qEh②對粒子在磁場中只受洛侖茲力作用而作勻速圓周運(yùn)動有：R＝mv／qB③解①②③式得：h＝B2qL2／8n2mE（n＝l、2、3）

【例2】如圖所示，在寬l的范圍內(nèi)有方向如圖的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E，一帶電粒子以速度v垂直于電場方向、也垂直于場區(qū)邊界射入電場，不計(jì)重力，射出場區(qū)時，粒子速度方向偏轉(zhuǎn)了θ角，去掉電場，改換成方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，此粒子若原樣射入磁場，它從場區(qū)的另一側(cè)射出時，也偏轉(zhuǎn)了θ角，求此磁場的磁感強(qiáng)度B．

解析：粒子在電場中運(yùn)行的時間t＝l／v；加速度a＝qE／m；它作類平拋的運(yùn)動．有tgθ=at/v=qEl/mv2①

粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動由牛頓第二定律得：qvB=mv2/r，所以r=mv/qB又：sinθ=l/r=lqB/mv②由①②兩式得：B=Ecosθ/v

【例3】初速為零的離子經(jīng)過電勢差為U的電場加速后，從離子槍T中水平射出，經(jīng)過一段路程后進(jìn)入水平放置的兩平行金屬板MN和PQ之間．離子所經(jīng)空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，如圖所示．（不考慮重力作用），離子荷質(zhì)比q/m（q、m分別是離子的電量與質(zhì)量）在什么范圍內(nèi)，離子才能打在金屬板上？

解析：離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，作出兩條邊界軌跡TP和TQ，分別作出離子在T、P、Q三點(diǎn)所受的洛倫茲力，分別延長之后相交于O1、

O2點(diǎn)，如圖所示，O1和O2分別是TP和TQ的圓心，設(shè)R1和R2分別為相應(yīng)的半徑．

離子經(jīng)電壓U加速，由動能定理得．qU＝mv2①

由洛倫茲力充當(dāng)向心力得qvB=mv2/R②由①②式得q/m=2U/B2R2由圖直角三角形O1CP和O2CQ可得R12＝d2＋（R1一d/2）2，R1＝5d/4④

R22＝（2d）2＋（R2一d/2）2，R2＝17d/4⑤

32U32Uq依題意R1≤R≤R2⑥由③④⑤⑥可解得≤≤．2222m289Bd25Bd【例4】如圖，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平

行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的半徑為r0。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的s點(diǎn)出發(fā)，初速為零。a如果該粒子經(jīng)過一段時間的運(yùn)動之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電S壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個裝置在真空中）。

bdo解析：如圖所示，帶電粒子從S出發(fā)，在兩筒之間的電場力作用下加速，沿徑向穿出a而進(jìn)入磁場區(qū)，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動。粒子再回到cS點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫d。只要穿過了d，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場區(qū)。然后，粒子將以同樣方式經(jīng)過c、d，

a再經(jīng)過a回到s點(diǎn)。

2

設(shè)粒子射入磁場區(qū)的速度為V，根據(jù)能量守恒，有mv＝qUS設(shè)粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R，由洛侖茲力公式dbo2

和牛頓定律得mv/R=qvB

16

c由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過3/4圓周。所以半徑R必定等于筒的外半徑r0，

222

則v=qBR/m=qBr0/m，U=mv/2q=qBr0/2m。

【例5】如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置，環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外．大小可調(diào)節(jié)的均勻磁場，質(zhì)量為m，電量＋q的粒子在環(huán)中作半徑為R的圓周運(yùn)動，A、B為兩塊中心開有小孔的極板，原來

電勢都為零，每當(dāng)粒子飛經(jīng)A板時，A板電勢升高為U，B板電勢仍保持為零，粒子在兩板間電場中得到加速，每當(dāng)粒子離開B板時，A板電勢又降為零，粒子在電場一次RA次加速下動能不斷增大，而繞行半徑不變．

（l）設(shè)t=0時粒子靜止在A板小孔處，在電場作用下加速，并繞行第一圈，B求粒子繞行n圈回到A板時獲得的總動能En．（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動，磁場必須周期性遞增，求粒子繞行第n圈時的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bn．

（3）求粒子繞行n圈所需的總時間tn（設(shè)極板間距遠(yuǎn)小于R）．

（4）在（2）圖中畫出A板電勢U與時間t的關(guān)系（從t＝0起畫到粒子第四次離開B板時即可）．（5）在粒子繞行的整個過程中，A板電勢是否可始終保持為＋U？為什么？解析:（1）En=nqv

（2）∵mqU=

mv2n2mvn2nqU∴vn==qUnBnBn=mvn/qR

mR以vn結(jié)果代入，Bn=

mqR2nqU1=mR2nmvq（3）繞行第n圈需時1n2R11m1m=2πR∴tn=2πR（1＋＋＋…

2qvn2qvvn32＋）

（4）如圖所示，（對圖的要求：越來越近的等幅脈沖）

（5）不可以，因?yàn)檫@樣粒子在是、B之間飛行時電場對其做功＋qv，使之加速，在是、B之外飛行時電場又對其做功－qv使之減速，粒子繞行一周，電場對其作的總功為零，能量不會增大。

2、帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動

【例6】如圖所示，從正離子源發(fā)射的正離子經(jīng)加速電壓U加速后進(jìn)入相互垂直的勻強(qiáng)電場E（方向豎直向上）和勻強(qiáng)磁場B（方向垂直于紙面向外）中，發(fā)現(xiàn)離子向上偏轉(zhuǎn)，要使此離子沿直線穿過電場?

A．增大電場強(qiáng)度E，減小磁感強(qiáng)度BB．減小加速電壓U，增大電場強(qiáng)度EC．適當(dāng)?shù)丶哟蠹铀匐妷篣D．適當(dāng)?shù)販p小電場強(qiáng)度E

解析：正離子進(jìn)入相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場的區(qū)域中，受到的電場力F＝qE，方向向上，受到的洛侖茲力f＝qVB，方向向下，離子向上偏，說明了電場力大于洛侖茲力，要使離子沿直線運(yùn)動，則只有使洛侖茲力磁大或電場力減小，增大洛侖茲力的途徑是增大加速電場的電壓U或或增大磁感強(qiáng)度B，減小電場力的途徑是減小場強(qiáng)E．對照選項(xiàng)的內(nèi)容可知C、D正確．?

點(diǎn)評：帶電粒子進(jìn)入相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場區(qū)域，則它的速度V=E／B，這個區(qū)域就是速度選擇器，且速度選擇器對進(jìn)入該區(qū)域的粒子所帶電荷的符號無關(guān)，只要是具有相同的速度的帶電粒子均能沿直線通過這一區(qū)域，但是有一點(diǎn)必須明確的是：速度選擇器的進(jìn)口與出口的位置不具有互換性。

【例7】如圖所示，靜止在負(fù)極板附近的帶負(fù)電的微粒在MN間突然加上電場時開始運(yùn)動，水平勻速地?fù)糁兴俣葹榱愕闹行晕⒘：笳澈显谝黄鹎『醚匾欢螆A弧落在N極板上，若ml

17

＝9．995×107千克，帶電量q=l08庫，電場強(qiáng)度E=103伏／米，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0．5特，求擊中m2時的高度，擊中m2前的微粒速度，m2的質(zhì)量和圓弧的半徑．

解析：由于擊中m2前微粒已達(dá)水平勻速，由勻速直線運(yùn)動條件得：

mlg＋f洛=qEmlg＋qvB＝qE。v＝（qEm1g）／qB，代入數(shù)據(jù)可算得：v＝1米／秒

m1從開始運(yùn)動到擊中m2的過程，只有重力和電場力做功．洛倫茲力不做功．由于涉及m1豎直方向的位移h，故選用動能定理分析得：qU一m1gh=m1v2一0

－

m1v2qEhm1gh=m1v，h＝

2qEm1g2

代入數(shù)據(jù)可算得h≈0．1米．又由于m1擊中m2能沿圓弧運(yùn)動，說明這時重力已與電場力平衡，只是洛侖茲力充當(dāng)向心力使它們作勻速圓周運(yùn)動，故有：m1g＋m2g＝qE得m2=

qEm1g－

，代入數(shù)據(jù)可算得m2＝5×1010千克gm1、m2粘合在一起作圓周運(yùn)動半徑為：r＝（ml十m2）v/／qB在ml擊中m2瞬間，動量守恒，即：m1vl=（m1＋m2）v/代入數(shù)據(jù)解①②兩式得：r≈200．

【例8】如圖所示，空間存在著垂直向外的水平的勻強(qiáng)磁場和豎直向上的勻強(qiáng)電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電場強(qiáng)度為E.在這個場區(qū)內(nèi)，有一帶正電的液滴a在電場力和重力作用下處于靜止．現(xiàn)從場中某點(diǎn)由靜止釋放一個帶負(fù)電的液滴b(圖中未畫出），當(dāng)它的運(yùn)動方向變?yōu)樗�平方向時恰與a相撞，撞后兩液滴合為一體，并沿水平方向做勻速直線運(yùn)動．已知液滴b的質(zhì)量是a質(zhì)量的2倍，b所帶電荷量是a所帶電荷量的4倍，且相撞前a,b間的靜電力忽略不計(jì)．E

（1)求兩液滴相撞后共同運(yùn)動的速度大��；(2)畫出液滴b在相撞前運(yùn)動的軌跡示意圖；(3)求液滴b開始下落時距液滴a的高度h.解析:液滴在勻強(qiáng)磁場、勻強(qiáng)電場中運(yùn)動．同時受到洛倫茲力、電場力和重力作用，‘a(chǎn)（1）可設(shè)a液滴質(zhì)量為m、電量為q,b液滴質(zhì)量為2m、電量為一4q.平衡時，有qE=mg……①,a、b相撞合為一體時,質(zhì)量為3m,電量為-3q,速度為，由題意知處于平衡vB狀態(tài)，重力3mg,電場力3qE均豎直向下，所以洛倫茲力必定豎直向上，滿足3qvB=3mg+3qE……②

由①、②兩式，可得撞后速度v=2E/B

b(2)對b液滴開始時重力2mg,電場力4qE均豎直向下，所以開始向

下加速，由左手定則，洛倫茲力向右,可見b液滴從初始位沿一曲線向右下方運(yùn)動，當(dāng)與a相撞前b的速度已水平向右，其軌跡示意圖如圖

h所示．

(3)對b,從開始運(yùn)動至與a相撞之前，由動能定理:we＋wG＝△EK,ba2

即(4qE＋2mg)h=（2m）v0

a,b相撞時，可看做動量守恒，有2mv0=3mv由以上幾式可得v0=3E/B

22mv0v03E再由上兩式得h4qE2mg6g2gB2【例9】湯姆生用來測定電子的比荷（電子的電

荷量與質(zhì)量之比）的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示，真空管內(nèi)加速后，穿過A"中心的小孔沿中心軸010的方向進(jìn)入到

兩塊水平正對放置的平行極板P和P/，間的區(qū)域．當(dāng)極板間不加偏轉(zhuǎn)電壓時，電子束打在熒光屏的中心0

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點(diǎn)處，形成了一個亮點(diǎn)；加上偏轉(zhuǎn)電壓U后，亮點(diǎn)偏離到0"點(diǎn)，（O"與0點(diǎn)的豎直間距為d，水平間距可忽略不計(jì)）．此時，在P和P/間的區(qū)域，再加上一個方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場．調(diào)節(jié)磁場的強(qiáng)弱，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B時，亮點(diǎn)重新回到0點(diǎn)．已知極板水平方向的長度為L1，極板間距為b，極板右端到熒光屏的距離為L2（如圖所示）．

(1)求打在熒光屏0點(diǎn)的電子速度的大小．(2）推導(dǎo)出電子的比荷的表達(dá)式

解析:(1)當(dāng)電子受到的電場力與洛倫茲力平衡時，電子做勻速直線運(yùn)動，亮點(diǎn)重新回復(fù)到中心0點(diǎn)，設(shè)電子的速度為v，則evB＝Ee,得v=E/B=U/Bb.

(2）當(dāng)極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場時，電子以速度v進(jìn)入后，豎直方向作勻加速運(yùn)動，加速度為a=eU/mb.電子在水平方向作勻速運(yùn)動，在電場內(nèi)的運(yùn)動時間為t1=L1/v這樣，電子在電場中，豎直向上偏轉(zhuǎn)

2U12eL1的距離為d1at1222mvb離開電場時豎直向上的分速度為vat1eLU1mvbL2v電子離開電場后做勻速直線運(yùn)動，經(jīng)t2時間到達(dá)熒光屏t2t2時間內(nèi)向上運(yùn)動的距離為:d2vt2eUL1L2mv2beULL1L2122mvb這樣，電子向上的總偏轉(zhuǎn)距離為d=d1＋d2=可解得

eUdmB2bLLL1122

例6設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，已知電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是相同的，電場強(qiáng)度的大小E=4.0V/m，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.15T．今有一個帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以v=20m/s的速度在的區(qū)域內(nèi)沿垂直場強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動，求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量之比q/m以及磁場的所有可能方向（角度可用反三角函數(shù)表示）．

分析：帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)在同時具有勻強(qiáng)電場、勻強(qiáng)磁場和重力場中做勻速直線運(yùn)動，表明帶電質(zhì)點(diǎn)受重力mg、電場力qE和洛侖茲力qvB的作用處于平衡狀態(tài)．因重力方向豎直向下，3個力合力為零，要求這3個力同在一豎直平面內(nèi)，且電場力和洛侖茲力的合力方向應(yīng)豎直向上．

由此推知，帶電質(zhì)點(diǎn)的受力圖，如圖所示；再運(yùn)用力學(xué)知識就可求解．

解：帶電質(zhì)點(diǎn)受3個力（重力、電場力、洛侖茲力）作用．根據(jù)題意及平衡條件可得質(zhì)點(diǎn)受力圖，如圖

qm所示

g（

質(zhì)點(diǎn)的

9.8速度垂直紙面向外）

mg2EqqvB22所以

vB2E2200.1524.021.96c/kg

由質(zhì)點(diǎn)受力圖可得tanθ=qvB/qE,所以arctanvB200.15arctanarctan0.75370E4.0即磁場是沿著與重力方向夾角θ=37，且斜向下方的一切方向．

答：帶電質(zhì)點(diǎn)的荷質(zhì)比q/m等于1.96C/kg，磁場的所有可能方向是與重力方向夾角θ=37的斜向下方的一切方向．

3、磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)的應(yīng)用

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【例10】電視機(jī)顯像管中電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的，電子束經(jīng)電壓為U的加速電場加速后，進(jìn)入一圓形磁場區(qū)，如圖所示，磁場方向垂直圓面，磁場區(qū)的中心為O，半徑為r，當(dāng)不加磁場時，電子束將通過O點(diǎn)而打到屏幕中心M點(diǎn)，為了使電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度θ，此時磁場的磁

P

電子束OUθM

感應(yīng)強(qiáng)度B為多大？

解析:電子在磁場中沿圓弧ab運(yùn)動如圖所示，圓心為C，半徑為R，以v表示電子進(jìn)入電場的速度，m、e分別表示電子質(zhì)量和電量，則：eU=mv2

evB=mv2/R,又有tan(θ/2)=r/R,

12mv聯(lián)立解得Btan

re2Cbvaθ

【例11】核聚變反應(yīng)需幾百萬攝氏度高溫，為了把高溫條件下高速運(yùn)動粒子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核聚變），可采用磁約束的方法．如圖所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域內(nèi)的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣，設(shè)環(huán)形磁場的內(nèi)半徑R1＝0.5m，外半徑R2＝1m，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.1T，若被約束的帶電粒子的比荷q/m=4×107C/kg,中空區(qū)域內(nèi)的帶電粒子具有各個方向大小不同的速度，問（1)粒子沿環(huán)狀半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度；（2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度．

解析根據(jù)Bqv＝mv2/r得r=mv/Bq，由于B、q/m一定，所以v越大，r越大，且最大半徑對應(yīng)最大速度，多作幾個沿環(huán)半徑方向但大小不同的速度所對應(yīng)的磁場中運(yùn)動圓軌跡，如圖（b)所示，很容易得出當(dāng)圓軌跡與環(huán)形磁場外邊界內(nèi)切時，對應(yīng)的半徑是粒子射不出磁場的最大半徑，對應(yīng)的速度就是不能穿越磁場的最大速度，由幾何知識得v1max＝1.5×107m/s,（2)由（1）可知沿某一方向射不出磁場的最大速度對應(yīng)的圓軌跡與磁場外邊界內(nèi)切，再作出粒子斜向左上方和豎直方向射入磁場對應(yīng)的和磁場外邊界內(nèi)切的圓軌跡．如圖（C)所示，從而得出沿各個方向射不出磁場的最大速度不同，通過比較發(fā)現(xiàn)，粒子垂直環(huán)半徑方向射入磁場時不能穿越磁場的最大速度v1max是最小的，所以若要求所有粒子均不能穿越磁場，則所有粒子的最大速度不能超過v1max，由數(shù)學(xué)知識可得v1max＝1.0×107m/s.

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