導數(shù)知識點總結

導數(shù)

考試內容：導數(shù)的背影．導數(shù)的概念．

多項式函數(shù)的導數(shù)．

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導數(shù)概念的某些實際背景．（2）理解導數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

知識要點

導數(shù)的概念導數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導數(shù)導數(shù)導數(shù)的運算導數(shù)的運算法則函數(shù)的單調性函數(shù)的極值函數(shù)的最值

導數(shù)的應用

一、導數(shù)的概念1．平均變化率

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfxxx2x1x注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負，可零。2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2.導數(shù)的概念

函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是，limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x

我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即

f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

x

3.平均變化率的幾何意義

平均變化率的幾何意義是割線的斜率；4.導數(shù)的幾何意義

函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是f"(x0)，

"切線方程為yy0f(x)(xx0).

5.導數(shù)的背景

（1）切線的斜率（2）瞬時速度（3）邊際成本

6.導函數(shù)

當x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導函數(shù).yf(x)的導函數(shù)有時也記作y,即

f(x)limx0f(xx)f(x)

x

二.導數(shù)的計算

1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:

1）若f(x)c(c為常數(shù))，則f(x)0；

12）若f(x)x,則f(x)x;

3）若f(x)sinx,則f(x)cosx4）若f(x)cosx,則f(x)sinx;

xx5）若f(x)a,則f(x)alna

6）若f(x)e,則f(x)e

xx1xlna18）若f(x)lnx,則f(x)

xx7）若f(x)loga,則f(x)2.導數(shù)的運算法則

1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3）[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]23.復合函數(shù)求導

yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù),即yf(g(x))為一個復合函數(shù)yf(g(x))g(x)

三、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1.函數(shù)的單調性與導數(shù)

一般地，函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間(a,b)內，

如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調遞減.2.函數(shù)的極值與導數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.求函數(shù)yf(x)的極值的方法是:

(1)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極小值;3.函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)

極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.

求函數(shù)yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟（1）求函數(shù)yf(x)在(a,b)內的極值；

（2）將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.四、生活中的優(yōu)化問題

利用導數(shù)的知識，求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題

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導數(shù)

考試內容：導數(shù)的背影．導數(shù)的概念．

多項式函數(shù)的導數(shù)．

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導數(shù)概念的某些實際背景．（2）理解導數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

知識要點

導數(shù)的概念導數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導數(shù)導數(shù)導數(shù)的運算導數(shù)的運算法則函數(shù)的單調性導數(shù)的應用函數(shù)的極值函數(shù)的最值限limf"(x0)=lim1.導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）的定義：設x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點，如果自變量

x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點x0處可導，并把這個極limx0xx0x限叫做yf(x)在x0處的導數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

-1-

注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負，但不為零.②以知函數(shù)yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：

⑴函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點x0處可導，那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上，令xx0x，則xx0相當于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么yf(x)在點x0處可導，是不成立的.例：f(x)|x|在點x00處連續(xù)，但在點x00處不可導，因為時，

yyy不存在.1；當x＜0時，1，故limx0xxxy|x|，當x＞0xx注：①可導的奇函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為偶函數(shù).

②可導的偶函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為奇函數(shù).3.導數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).4.求導數(shù)的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它

們的和、差、積、商不一定不可導.

例如：設f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導，但它們和

2x2x

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導.

5.復合函數(shù)的求導法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復合函數(shù)的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數(shù)單調性：

⑴函數(shù)單調性的判定方法：設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f"(x)＞0，則

yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數(shù)異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點附近的點不同）.注①：若點x0是可導函數(shù)f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數(shù)，其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導，則導數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x0是函數(shù)的極小值點.8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.

注：函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導數(shù)：

n)"coxs(arcxs)i"nI.C"0（C為常數(shù)）(six11x2

"x)os(xn)"nxn1（nR）s"sinx(arcc(cox)11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex

(arcoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求導的常見方法：①常用結論：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，

y"1對兩邊求導可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx(xa1)(xa2)...(xan)兩邊同取自然對數(shù)，可轉

(xb1)(xb2)...(xbn)1x

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