高中數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)總結(jié)

函數(shù)性質(zhì)

1..函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是減函數(shù).

x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

注：如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

注：若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

注：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)xabab;兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱.22a注：若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

3.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x(3)函數(shù)yf(x)和yf1ab對(duì)稱.2m(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

5.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k6.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

"xf(0)1,limx0g(x)1.x7.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a9.根式的性質(zhì)（1）(na)a.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aa；

nnna,a0當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a|a|.

a,a0nn10.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ).

(2)(a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

rrrslogaNbabN(a0,a1,N0).

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2)loga2注：設(shè)函數(shù)f(x)logm(axbxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域?yàn)?/p>

2R,則a0，且0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a0，且0.對(duì)于a0的情形,需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

12.對(duì)數(shù)換底不等式及其推論

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11(2)(2)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga【例1】求下列各式的值：

n（3）（1）n（n1,且nN*）；（2）(xy)2.n（3）3；解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nn（3）|3|3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n2mn.2（2）(xy)2|xy|.

當(dāng)xy時(shí)，(xy)2xy；當(dāng)xy時(shí)，(xy)2yx.a3na3n【例2】已知a21，求n的值.naa3n3nnn2naa(aa)(a1a2n)12n2n解：na1a211221nnnaaaa212n

【例4】已知函數(shù)f(x)a23x(a0,且a1).

（1）求該函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）指出該函數(shù)的單調(diào)性.

2時(shí)，a23xa01.32所以，該函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)(,1).

3（2）∵u23x是減函數(shù)，

∴當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在R上是增函數(shù)；當(dāng)a1時(shí)，f(x)在R上是減函數(shù).

21【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）yax2x3；（2）y.x0.21u2解：（1）設(shè)ya,ux2x3.

解：（1）當(dāng)23x0，即x由ux22x3(x1)24知，u在(,1]上為減函數(shù)，在[1,)上為增函數(shù).根據(jù)yau的單調(diào)性，當(dāng)a1時(shí)，y關(guān)于u為增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，y關(guān)于u為減函數(shù).∴當(dāng)a1時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為[1,)，減區(qū)間為(,1]；當(dāng)0a1時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為(,1]，減區(qū)間為[1,).（2）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}.設(shè)y而根據(jù)y1,u0.2x.易知u0.2x為減函數(shù).u11的圖象可以得到，在區(qū)間(,1)與(1,)上，y關(guān)于u均為減函數(shù).u1∴在(,0)上，原函數(shù)為增函數(shù)；在(0,)上，原函數(shù)也為增函數(shù).

xx2f(x1)f(x2)【例1】若f(x)ax(a0,且a1)，則f(1.)22證

明：

x1x2f(x1)f(x2)x1x2ax1ax2ax1ax22ax1ax2(ax1ax2)220.f()a22222xx2f(x1)fx(2)∴f(1.（注：此性質(zhì)為函數(shù)的凹凸性）)22bx【例2】已知函數(shù)f(x)2(b0,a0).

ax111（1）判斷f(x)的奇偶性；（2）若f(1),log3(4ab)log24，求a，b的值.

22bx解：（1）f(x)定義域?yàn)镽，f(x)2f(x)，故f(x)是奇函數(shù).

ax1b1（2）由f(1)，則a2b10.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.

a12a2b10由得a=1，b=1.

4ab3exa【例3】（01天津卷.19）設(shè)a＞0，f(x)是R上的偶函數(shù).

aex（1）求a的值；（2）證明f(x)在(0,)上是增函數(shù)．

exa解：（1）∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(x)f(x)0.

aexexaexa111∴xx0(a)ex(a)ex0(a)(exex)0.

aeaeaaaex－e-x不可能恒為“0”，∴當(dāng)

1－a＝0時(shí)等式恒成立，∴a＝1．a(chǎn)（2）在(0,)上任取x1＜x2，

ex11111f(x1)f(x2)x1ex2x2(ex1ex2)(x1)(ex1ex2)(1x1x2)x2aeeeeee(ex1ex2)(ex1ex21)x1x2x1x2∵e＞1，x1＜x2，∴ee1，∴ee＞1，＜0，

ex1ex2∴f(x1)f(x2)0，∴f(x)是在(0,)上的增函數(shù)．

【例4】已知1992年底世界人口達(dá)到54.8億.

（1）若人口的平均增長率為1.2%，寫出經(jīng)過t年后的世界人口數(shù)y（億）與t的函數(shù)解析式；

（2）若人口的平均增長率為x%，寫出201*年底世界人口數(shù)為y（億）與x的函數(shù)解析式.如果要使201*年的人口數(shù)不超過66.8億，試求人口的年平均增長率應(yīng)控制在多少以內(nèi)？

t*解：（1）經(jīng)過t年后的世界人口數(shù)為y54..8(11.t2)54.8t1.0N12,（2）201*年底的世界人口數(shù)y與x的函數(shù)解析式為y54.8(1x)18.由y54.8(1x)1866.8，解得x100(18所以，人口的年平均增長率應(yīng)控制在1.1%以內(nèi).

66.81)1.1.54.

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué) 函數(shù)概念及其性質(zhì)知識(shí)總結(jié)

數(shù)學(xué)必修1函數(shù)概念及性質(zhì)（知識(shí)點(diǎn)總結(jié)）

（一）函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式注意：○

3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．子有意義的實(shí)數(shù)的集合；○

定義域補(bǔ)充

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

再注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥�一函�?shù)）（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁相關(guān)例2)值域補(bǔ)充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).(3).求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調(diào)性法等.3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．

C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成.(2)畫法

A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.B、圖象變換法（請(qǐng)參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。

保護(hù)原創(chuàng)權(quán)益凈化網(wǎng)絡(luò)環(huán)境

4．快去了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”

給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，①集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的；②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對(duì)于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

6．常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否○

2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；○3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定是函數(shù)圖象的依據(jù)；○

4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；○

能反映定義域的特征．

注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮�(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

sinX2

例如:y=2y=2cos(X+1)

7．函數(shù)單調(diào)性（1）．增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1（2）圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：

1任取x1，x2∈D，且x1

10．函數(shù)最大（�。┲担ǘ�義見課本p36頁）1利用二次函數(shù)的性質(zhì)2利用圖象求函數(shù)的最大3利○（配方法）求函數(shù)的最大（小）值○（�。┲怠鹩煤瘮�(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担喝绻�函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；11．解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：

一是認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；

二是要合理選取參變數(shù)，設(shè)定變?cè)�后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)模型；最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解.

函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的特點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的圖象定義域M值域N奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義圖像特點(diǎn)一般為一條連續(xù)曲線,也可能是由若干條曲線或離散點(diǎn)組成.圖像左右存在的范圍圖像上下存在的范圍圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖像關(guān)于y軸對(duì)稱在區(qū)間［a,b］內(nèi)，圖像從左到右上升CP(x,y)|yf(x),xM自變量x的取值范圍函數(shù)值y的取值范圍對(duì)任意的xM都有f(-x)=-f(x)對(duì)任意的xM都有f(-x)=f(x)對(duì)任意的x1、x2a,bM當(dāng)x1

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