高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識總結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點梳理

1..函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).

注：如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．

注：若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

注：對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)xabab;兩個函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對稱.22a注：若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(,0)對稱;若

2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

3.多項式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對稱f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x(3)函數(shù)yf(x)和yf1ab對稱.2m(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.

5.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y1[fk1(x)b],并不是

y[f1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y6.幾個常見的函數(shù)方程

1[f(x)b]的反函數(shù).k(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x7.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a9.根式的性質(zhì)（1）(na)na.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，nana；a,a0當(dāng)n為偶數(shù)時，a|a|.

a,a0nn10.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)

(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.對數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.對數(shù)的四則運算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga注：設(shè)函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b4ac.若f(x)的定義域為

2R,則a0，且0;若f(x)的值域為R,則a0，且0.對于a0的情形,需要

單獨檢驗.

12.對數(shù)換底不等式及其推論

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當(dāng)ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函數(shù).

aa11(2)(2)當(dāng)ab時,在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.

擴展閱讀：高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié)實用版[1]

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：360k902.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧長公式：l2||r.扇形面積公式：s扇形lr||r

12124、三角函數(shù)：設(shè)是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則siny；rya的終邊P（x,y)ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

16.幾個重要結(jié)論:(1)y6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o

7.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、誘導(dǎo)公式：

把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：2“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式組三公式組四公式組五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562

4

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RR[1,1]RA,A當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k2k2(A),12(A)2奇函數(shù)22偶函數(shù)[2k1,2k]奇函數(shù)k,k22奇函數(shù)[22k,；k,k1上為減函數(shù)（kZ）22k]上為增函數(shù)；[2k,232k]2上為增函數(shù)[2k,2k1]上為減函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)；2k上為減函數(shù)（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數(shù)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(2y.

Oxxytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2x)的對稱軸方程是xk④ysin(2(cs（kZ），對稱中心（k,0）；yox)的

對稱軸方程是xk（kZ），對稱中心（k1,0）；yant(2（x)的對稱中心

k.,0）2ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤當(dāng)tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),而y(x)是偶函數(shù)，則

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).（×）[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域，

ytanx為增函數(shù)，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關(guān)于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(x)f(x)，奇函數(shù)：f(x)f(x)）

1奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數(shù)，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關(guān)于原點對稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質(zhì)）

▲⑨ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；y▲yx1/2x高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

y=cos|x|圖象y=|cos2x+1/2|圖象；ycosx為周期函數(shù)（T）；ycosx是周期函數(shù)（如圖）

ycos2x1的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

2yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函數(shù)圖象的作法：１）、幾何法：

b有a2b2y.a２）、描點法及其特例五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，頻率f1||，相位x;初相||T2（即當(dāng)x＝0時的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx

替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數(shù)：函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作x2，2y＝arcsinx，它的定義域是［－1，

1］，值域是－，．

22函數(shù)y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數(shù)y＝tanx，記作的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，x2，222y＝arctanx，它的定義域是（－

∞，＋∞），值域是，．

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)函數(shù)y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.競賽知識要點

一、反三角函數(shù).

1.反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)yarcsinx是奇函數(shù)，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定義域，若x,，沒有x與y一一對應(yīng)，故ysinx無反函數(shù)）注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函數(shù)yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函數(shù)，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx為奇函數(shù).反正切函數(shù)：yarctanx，定義域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

22,），ynatcrax是奇函數(shù)，

注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函數(shù)：yarccotx，定義域(,)，值域（arotc，yc,）

22x是非奇非偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互為奇函數(shù)，yarctanx同理為奇而yarccosx與yarccotx②yarcsinx與yarcsin(非奇非偶但滿足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].

正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：

a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1=1x|x2karcsai,nkZ＜1x|xk1karcsina,kZ

aa＞1

a=1x|x2karccosa,kZ

aa＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③coxta的解集：x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.

sin2n1組一ncoscos2cos4...cos2n12sin

組二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)

sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)

sindtan()tantantantantantan

1tantantantantantan組三三角函數(shù)不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是減函數(shù)x若ABC，則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

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