基礎(chǔ)會(huì)計(jì)精品課程建設(shè)總結(jié)材料

精品課程建設(shè)總結(jié)材料

院系：許昌職業(yè)技術(shù)學(xué)院財(cái)貿(mào)經(jīng)濟(jì)系教研室：會(huì)計(jì)電算化教研室

課程：基礎(chǔ)會(huì)計(jì)

二O一零年六月

《基礎(chǔ)會(huì)計(jì)》自被學(xué)院評(píng)為院級(jí)精品課程以來，在學(xué)院及院領(lǐng)導(dǎo)的高度重視和關(guān)懷下，課程組全體教師共同努力，立足于本課程在學(xué)科中的基礎(chǔ)和決定性地位，嚴(yán)格對(duì)照精品課程評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的指標(biāo)內(nèi)涵，以達(dá)到院級(jí)優(yōu)秀課程并向省級(jí)重點(diǎn)課程邁進(jìn)和靠攏為目標(biāo)，從多方面入手對(duì)該課程開展了建設(shè)性工作�，F(xiàn)對(duì)201*年的課程建設(shè)目標(biāo)進(jìn)行總結(jié)。

一、狠抓課程基本建設(shè)，加大課程建設(shè)力度1.注重教材建設(shè)

在教材的選用方面，采用國(guó)內(nèi)公認(rèn)的、高水平的面向21世紀(jì)課程教材，同時(shí)以國(guó)家級(jí)重點(diǎn)教材及國(guó)外的優(yōu)秀教材為擴(kuò)充性資料，并配套有實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書。

2.更新教學(xué)手段，加強(qiáng)各教學(xué)環(huán)節(jié)

在教學(xué)方法改革方面，本課程進(jìn)行了討論式、研究式和演講式等多種形式的教學(xué)方法改革，采用教師講授、學(xué)生自學(xué)、課堂討論與學(xué)生串講等多種教學(xué)方法相結(jié)合的方式，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，取得了良好的教學(xué)效果。由于本課程的許多內(nèi)容貼近實(shí)際，課程組教師在授課過程中，能夠因勢(shì)利導(dǎo)，注重理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合，并安排學(xué)生根據(jù)課程內(nèi)容撰寫論文，既培養(yǎng)了學(xué)生查找文獻(xiàn)資料的能力，又使學(xué)生了解了相關(guān)內(nèi)容在國(guó)內(nèi)外學(xué)科發(fā)展的動(dòng)態(tài)。

為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率和效果，授課中，本課程充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)，積極制作課件，利用多媒體手段，使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)獲得更多的信息。另外，課程組還實(shí)施了課程資源上網(wǎng)計(jì)劃，目前已經(jīng)上網(wǎng)的資源包括：基礎(chǔ)會(huì)計(jì)課程簡(jiǎn)介；基礎(chǔ)會(huì)計(jì)課程教學(xué)大綱和實(shí)驗(yàn)教學(xué)大綱；課堂教學(xué)錄像；基礎(chǔ)會(huì)計(jì)課程電子教案；基礎(chǔ)會(huì)計(jì)課件；基礎(chǔ)會(huì)計(jì)試題庫(kù)等。

課程組在考試方法改革方面也進(jìn)行了多種試點(diǎn)，其中包括考試內(nèi)容改革（例如，增加綜合應(yīng)用題和開放性試題的比例），考試方式的改革（例如，開卷與閉卷相結(jié)合的方式、閉卷與撰寫小論文或總結(jié)相結(jié)合的方式等）以及采用了將平時(shí)成績(jī)、考試成績(jī)與實(shí)驗(yàn)課成績(jī)相結(jié)合的綜合評(píng)分方式。

3.完善實(shí)驗(yàn)實(shí)踐教學(xué)體系

在全面推進(jìn)素質(zhì)教育的今天，為提高學(xué)生的動(dòng)手操作技能，優(yōu)化學(xué)

生綜合素質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生的職業(yè)性、技術(shù)性和創(chuàng)新性，實(shí)驗(yàn)實(shí)踐教學(xué)的地位愈來愈受重視�！痘�礎(chǔ)會(huì)計(jì)》課程作為一門實(shí)踐性較強(qiáng)的課程，實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)極為重要。本門課程的實(shí)驗(yàn)實(shí)踐性教學(xué)建設(shè)體現(xiàn)在以下幾方面：

（1）重視對(duì)會(huì)計(jì)的感性認(rèn)識(shí)。在本課程理論教學(xué)開始前進(jìn)行認(rèn)識(shí)實(shí)習(xí)，使學(xué)生對(duì)各類企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)過程、工藝和設(shè)備等有一感性認(rèn)識(shí)；

（2）加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革。本課程實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)包括兩部分：一是認(rèn)識(shí)實(shí)踐環(huán)節(jié)。自去年開始，我系與河南眾品、許昌城市信用社建立起了校企“聯(lián)姻”，他們既是學(xué)生未來的就業(yè)崗位，又是學(xué)生在校學(xué)習(xí)階段的實(shí)習(xí)實(shí)驗(yàn)基地。通過組織學(xué)生參觀實(shí)習(xí)的方式，請(qǐng)有關(guān)單位會(huì)計(jì)人員對(duì)具體會(huì)計(jì)管理工作內(nèi)容、會(huì)計(jì)業(yè)務(wù)操作內(nèi)容的介紹，使學(xué)生初步了解所學(xué)課程在實(shí)際應(yīng)用中的基本情況，以便有效的學(xué)習(xí)和掌握本課程理論知識(shí)。二是課程實(shí)踐環(huán)節(jié)，我系建有會(huì)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)室、會(huì)計(jì)電算化實(shí)驗(yàn)室、納稅申報(bào)中心、金融業(yè)務(wù)中心、工商行政審批中心等校內(nèi)實(shí)驗(yàn)中心。通過仿真模擬實(shí)驗(yàn)，達(dá)到提高學(xué)生實(shí)踐能力和動(dòng)手能力，并通過實(shí)踐加深對(duì)理論教學(xué)內(nèi)容的理解和認(rèn)識(shí)的目的，從我們多年實(shí)踐教學(xué)看，學(xué)生的動(dòng)手能力有了明顯的提高，學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的積極性較為高漲，達(dá)到了較好的教學(xué)效果。

在教學(xué)手段上，本課程主要擬通過多媒體進(jìn)行教學(xué)，在模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)方面，通過實(shí)物投影儀，展示會(huì)計(jì)憑證、賬簿、報(bào)表，教師通過實(shí)物投影儀進(jìn)行教學(xué)演示，與傳統(tǒng)的教學(xué)方式相比，會(huì)起到較好的實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果。目前，會(huì)計(jì)教研室已準(zhǔn)備自己制作本課程的多媒體課件，我們有系統(tǒng)的教學(xué)大綱、課程教學(xué)計(jì)劃、習(xí)題集、實(shí)驗(yàn)大綱、實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)等教學(xué)資料。這些資料如果能上網(wǎng)，將為學(xué)生課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、鞏固，參與課程討論等提供極大的方便。加深了學(xué)生對(duì)于會(huì)計(jì)理論的理解，培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手與創(chuàng)新能力。

（3）加強(qiáng)生產(chǎn)實(shí)踐訓(xùn)練。讓學(xué)生進(jìn)入各類企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)實(shí)習(xí)，親自參與生產(chǎn)的全過程，使其認(rèn)識(shí)到理論知識(shí)的重要性，特別是通過對(duì)具體工藝和主要生產(chǎn)設(shè)備比較詳細(xì)地了解，使學(xué)生掌握工藝流程、主要操作要點(diǎn)，熟悉主要設(shè)備的構(gòu)造、作用原理，并使學(xué)生認(rèn)識(shí)到工藝和設(shè)備是不可分的，既加強(qiáng)了對(duì)理論知識(shí)的理解和掌握，又鍛煉了學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力，使其畢業(yè)后能夠很快適應(yīng)企業(yè)的工作。

（4）畢業(yè)論文改革。針對(duì)我院學(xué)科特點(diǎn)，結(jié)合大三學(xué)生實(shí)際情況，我院對(duì)學(xué)生畢業(yè)論文進(jìn)行了改革，本課程組也積極參與，具體表現(xiàn)在以下幾方面：

①提前選題：以前畢業(yè)論文選題工作是在第二學(xué)期的3月份進(jìn)行，通過改革提前到第一學(xué)期的11月份，這樣使學(xué)生能夠有充分的時(shí)間查閱資料、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)等，解決了以往畢業(yè)生找工作和實(shí)施畢業(yè)論文相沖突的矛盾。

②雙向選擇：以往是學(xué)生選教師，通過改革實(shí)行了教師和學(xué)生雙向選擇，即教師提供論文題目，學(xué)生根據(jù)自己的愛好進(jìn)行選題，避免了以前教師定題而學(xué)生缺乏主動(dòng)性的問題。

③過程管理：以往都是教師將任務(wù)下達(dá)給學(xué)生，然后再在學(xué)生做論文期間進(jìn)行指導(dǎo)，通過改革，課程組指導(dǎo)教師督促學(xué)生進(jìn)行論文實(shí)施的各項(xiàng)環(huán)節(jié)，最大限度保證論文質(zhì)量。

④規(guī)范文件：針對(duì)學(xué)院今年進(jìn)行的畢業(yè)論文改革，課程組對(duì)相應(yīng)課程文件及時(shí)進(jìn)行調(diào)整、完善，為后續(xù)建設(shè)奠定良好基礎(chǔ)。

通過上述實(shí)踐性環(huán)節(jié)的實(shí)施，學(xué)生能夠較好地掌握會(huì)計(jì)的基本原理和方法，深刻地理解會(huì)計(jì)理論，強(qiáng)化了學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

二、組織專題講座，加強(qiáng)學(xué)術(shù)交流，提高學(xué)術(shù)氛圍

本年度共組織專題講座2次，學(xué)術(shù)交流3次。在營(yíng)造良好學(xué)術(shù)氛圍的同時(shí)也大大拓寬了課程組教師的知識(shí)面。

三、強(qiáng)化制度建設(shè)，切實(shí)保障教學(xué)

為保證教學(xué)管理嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致，并使其逐步走上正�；�、制度化軌道，本課程組制訂了集體聽課制度、青年教師試講制度，建立教案檢查、教學(xué)進(jìn)度檢查、教學(xué)日志與實(shí)驗(yàn)日志檢查、教學(xué)環(huán)節(jié)檢查、學(xué)生作業(yè)批改檢查以及考勤檢查等各項(xiàng)教學(xué)檢查制度，以保證教學(xué)工作的中心地位。此外，課程組還通過不定期召開學(xué)生座談會(huì)、個(gè)別學(xué)生訪談及填寫課堂評(píng)教表等方式開展學(xué)生評(píng)教活動(dòng)，將學(xué)生提出的意見和建議進(jìn)行歸納總結(jié)，用于教學(xué)；同時(shí)，聘請(qǐng)督導(dǎo)組專家對(duì)青年教師的授課進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，在充分肯定成績(jī)的同時(shí)，通過面對(duì)面的誠(chéng)懇交流，使青年教師認(rèn)識(shí)自身的不足所在，從而不斷改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。

四、圍繞教學(xué)開展教研活動(dòng)和科研活動(dòng)

教學(xué)研究活動(dòng)是交流教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、解決教學(xué)問題、促進(jìn)課程建設(shè)和發(fā)展的一項(xiàng)有力措施。經(jīng)常開展教研活動(dòng)對(duì)不斷提高教學(xué)質(zhì)量大有裨益，為此，課程組圍繞課程建設(shè)規(guī)劃與方案、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、實(shí)驗(yàn)課改革、實(shí)驗(yàn)室發(fā)展規(guī)劃、學(xué)術(shù)交流總結(jié)等有關(guān)主題多次開展教學(xué)討論，促進(jìn)了教師間的學(xué)術(shù)與教學(xué)交流，同時(shí)，指定專人擔(dān)任課程組秘書，負(fù)責(zé)課程組文件與檔案的管理、完善。本年度共撰寫教學(xué)研究論文2篇。

作為教學(xué)科研型單位，在教學(xué)的同時(shí)，課程組積極鼓勵(lì)教師申請(qǐng)各類科研課題，在課題的申報(bào)及研究中，注重全體課程組成員的參與，在課題研究中各成員之間既分工明確，又密切合作，形成了一支團(tuán)結(jié)協(xié)作、奮進(jìn)創(chuàng)新的精銳團(tuán)隊(duì)。今年公開發(fā)表學(xué)術(shù)論文8篇，其中核心期刊5篇。五、教書育人、為人師表

課程組教師在教學(xué)過程中注重教書育人，關(guān)心學(xué)生的成長(zhǎng)，注意運(yùn)用多種方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行教育和引導(dǎo)，幫助學(xué)生克服思想問題，端正學(xué)習(xí)態(tài)度，鞏固專業(yè)思想，樹立學(xué)習(xí)信心，真正做到教書育人，為人師表的作用。課程組教師有高度的責(zé)任感和敬業(yè)精神，工作兢兢業(yè)業(yè)，一絲不茍，教學(xué)成績(jī)顯著。由于教師的孜孜以求、不斷進(jìn)取，課程組有1位教師獲得院青年優(yōu)質(zhì)課大賽獎(jiǎng)，2位教師被院里評(píng)為骨干教師。

總之，《基礎(chǔ)會(huì)計(jì)》精品課程經(jīng)過一年的建設(shè)歷程，基本完成了任務(wù)書中的目標(biāo)，但也還有許多不足之處亟待完善、提高。相信在學(xué)院的大力支持、重視下，在課程組成員的共同努力下，課程組會(huì)在明年的工作中取得更多、更好的成績(jī)。

《基礎(chǔ)會(huì)計(jì)》課程組

201*年6月9日

擴(kuò)展閱讀：課程總結(jié)_材料成型CADCAE基礎(chǔ)

材料成型CAE基礎(chǔ)——計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

一、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的硬件系統(tǒng)（圖形設(shè)備、系統(tǒng)和應(yīng)用）圖形輸入設(shè)備：鼠標(biāo)、光筆、數(shù)字化儀、掃描儀、觸摸屏等

圖形輸出設(shè)備：陰極射線管、CRT、LCD、等離子顯示器、噴墨打印機(jī)、激光打

印機(jī)、繪圖儀

計(jì)算機(jī)圖形工作站的配置特點(diǎn)：(核心:計(jì)算機(jī)圖形工作站是一個(gè)三頭六臂的人)

二、計(jì)算機(jī)圖形生成算法直線段的點(diǎn)生成算法

二維圖形變換

第一節(jié)用戶坐標(biāo)到屏幕坐標(biāo)變換1.窗口到視口的變換2.實(shí)型值到整型值的變換3.y坐標(biāo)值方向變換4.長(zhǎng)寬比例變換第二節(jié)二維幾何變換一、基本變換1、比例變換2.對(duì)稱變換3.錯(cuò)切變換4.旋轉(zhuǎn)變換5.平移變換二、復(fù)合變換1.復(fù)合平移2.復(fù)合比例3.復(fù)合旋轉(zhuǎn)

4.相對(duì)點(diǎn)(xo,yo)的比例變換5.相對(duì)點(diǎn)(xo,yo)的旋轉(zhuǎn)變換

從這一部分開始，進(jìn)入了圖形編程的比較煩瑣的部分，要真正對(duì)圖形編程有所了解，這一部分的內(nèi)容是必須要掌握的。

在計(jì)算機(jī)繪圖過程中，經(jīng)常需要進(jìn)行繪圖變換，主要包括二維圖形變換和三維圖形變換。這一部分討論二維圖形變換，其內(nèi)容有用戶坐標(biāo)到屏幕坐標(biāo)的變換、圖形的比例變換、對(duì)稱變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換和復(fù)合變換等。后面講到了二維剪裁，即線段裁剪與多邊形裁剪。

第一節(jié)用戶坐標(biāo)到屏幕坐標(biāo)變換

假設(shè)紙上有一個(gè)圖形，要用計(jì)算機(jī)把它在屏幕上畫出來。那么首先遇到的問題是，紙上的圖形采用的坐標(biāo)是實(shí)數(shù)域域中的直角坐標(biāo)系或是極坐標(biāo)系，統(tǒng)稱為用戶坐標(biāo)系。而屏幕上采用的坐標(biāo)系是整數(shù)域中直角坐標(biāo)系，這類坐標(biāo)系統(tǒng)稱為設(shè)備坐標(biāo)系。因此用戶坐標(biāo)系中圖形需要經(jīng)過變換才能繪制在屏幕上，顯然這個(gè)變換的內(nèi)容包括：1)將用戶坐標(biāo)系中任意范圍區(qū)域轉(zhuǎn)換到屏幕某個(gè)范圍區(qū)域，從而用戶坐標(biāo)系此范圍區(qū)域內(nèi)的圖形也轉(zhuǎn)換到屏幕上該范圍區(qū)域內(nèi)。2)用戶坐標(biāo)系此區(qū)域內(nèi)圖形上的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換到屏幕上該范圍區(qū)域內(nèi)后不一定是整數(shù)，取整后才成為該范圍區(qū)域內(nèi)的屏幕坐標(biāo)值。3)用戶坐標(biāo)右手系到屏幕坐標(biāo)左手系的坐標(biāo)軸方向變換。4)當(dāng)屏幕坐標(biāo)系水平方向與垂直方向刻度不等(即像素間距不等)時(shí)，為保持圖形不走樣，還要進(jìn)行比例變換。下面介紹這些內(nèi)容的具體計(jì)算問題。

1.窗口到視口的變換

更確切地說，是實(shí)際圖形到屏幕圖形的轉(zhuǎn)換。有時(shí)也稱為數(shù)據(jù)規(guī)格化。在用戶坐標(biāo)系中，指定一矩形域以確定要顯示(或繪制)的圖形部分，這個(gè)矩形區(qū)域稱為窗口。在屏幕上可任選一矩形域以顯示(或繪制)窗口內(nèi)的圖形，該域稱為視口。如圖2-1所示。

一般視窗口的四條邊界分別為：

左邊界x=x1、右邊界x=x2.下邊界y=y1,上邊界y=y2。視口的四條邊界分別為：

左邊界sx=sx1,右邊界sx=sx2,上邊界sy=sy1,下邊界sy=sy2。經(jīng)變換后應(yīng)有，窗口的上邊界線段(或下邊界線段)長(zhǎng)x2-x1變換成視口上邊界線段(或下邊界線段)長(zhǎng)sx2-sx1。設(shè)其比例變換因子為k1，則可得k1*(x2-x1)=sx2-sx1k1=(sx2-sx1)/(x2-x1)

對(duì)窗口內(nèi)任一x坐標(biāo)(x1sx=k1*x+asy=k2*y+b這里

a=sx1-k1*x1b-sy1-k2*y1

k1=(sx2-sx1)/(x2-x1)k2=(sy2-sy1)/(y2-y1)

2.實(shí)型值到整型值的變換

上面對(duì)窗口內(nèi)圖形上任一點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)變換到屏幕上視口內(nèi)成為(sx,sy)，sx=k1*x+a

sy=k2*y+bk1,k2,a,b同上

這樣計(jì)算出來的sx,sy一般是實(shí)型值，而屏幕上視口內(nèi)屏幕坐標(biāo)是整型值，因此要將sx,sy實(shí)型值轉(zhuǎn)換成屏幕坐標(biāo)系的整型值。這可以通過四舍五入的方法將實(shí)型值的絕對(duì)值圓整化。由于C語言中已經(jīng)替我們想到了這點(diǎn)，它提供的函數(shù)可以自動(dòng)取整，因此用戶在調(diào)用標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)在屏幕上繪圖時(shí)一般不需要考慮這個(gè)問題。當(dāng)然也可以用賦值的類型轉(zhuǎn)換規(guī)則來實(shí)現(xiàn)實(shí)型值到整型值的變換。

3.y坐標(biāo)值方向變換

一般屏幕坐標(biāo)系是直角左手系，y軸方向向下為正，原點(diǎn)在屏幕的左上角，如圖2-2所示。

窗口內(nèi)圖形上任一點(diǎn)(x,y)變換到視口內(nèi)成為(sx,xy)，而(x,y)是相對(duì)用戶坐標(biāo)系(直角右手系)的。(sx,sy)是相對(duì)屏幕坐標(biāo)系(直角左手系)的，因此y軸方向相反。為使窗口內(nèi)圖形變換到視口上圖形其形狀一致，需將視口上圖形y軸方向變換成窗口內(nèi)圖形y軸方向。這只要將求得的視口內(nèi)各點(diǎn)的sy整型坐標(biāo)均用sy2去減，即sy2-sy(整型)代替sy(整型)即可，經(jīng)這樣的坐標(biāo)軸方向變換后得到的視口內(nèi)圖形與窗口內(nèi)圖形一致。

4.長(zhǎng)寬比例變換

屏幕坐標(biāo)系x方向與y方向上的刻度可能不一樣，這取決于水平方向像素間距與垂直方向偈素間距大小是否一致。如果兩個(gè)方向的刻度不相等，那么用戶坐標(biāo)系下一個(gè)正方形將顯示(或繪制)成為一個(gè)長(zhǎng)方形有，一個(gè)圓將成為一個(gè)橢圓。為保持原圖形的長(zhǎng)寬比。使圖形顯示(或繪制)后不走樣，需求出屏幕上兩侍標(biāo)軸刻度的比值(即縱橫比)�？梢杂煤瘮�(shù)getaspectratio()(見前文所述)返回x方向和y方向的比例數(shù)，從而求得這個(gè)比值。再瘵原圖形y方向坐標(biāo)乘以該比值，這樣顯示(或繪制)出來的圖形應(yīng)不走樣。若不考慮圖形的走樣，就不必作這個(gè)變換。

第二節(jié)二維幾何變換

圖形的幾何變換一般是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過變換后產(chǎn)生新的圖形，圖形幾何變換既可以看作是坐標(biāo)系不動(dòng)而圖形變動(dòng)，變動(dòng)后的圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值發(fā)生變化；出可以看作圖形不動(dòng)而坐標(biāo)系變動(dòng)，變動(dòng)后的圖形在新坐標(biāo)系下具有新的坐標(biāo)值。這兩種情況本質(zhì)上都是一樣的，都是圖形由新的坐標(biāo)值表示，因此是新產(chǎn)生的圖形。圖形幾何變換包括比例變換、對(duì)稱變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換及其復(fù)合變換。圖形上所有的點(diǎn)在幾何變換前后的坐標(biāo)關(guān)系一般用解析幾何方法可以求得，但這些幾何關(guān)系用矩陣方法表示，運(yùn)算更為方便。

一、基本變換

圖形基本幾何變換是指比例變換、對(duì)稱變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換和平移變換等。除平移變換外，這里其它四種幾何變換都可以用組成圖形的點(diǎn)向量(或稱1×2階矩陣)和2×2階變換矩陣相乘表示，而平移變換需引入新方法來實(shí)現(xiàn)。1、比例變換

設(shè)圖形上一點(diǎn)P(x,y)，經(jīng)比例變換后成為新的菜上一點(diǎn)P"(x",y")，即有x"=a*xy"=d*y式中a,d為比例因子將此比例變換式寫成矩陣式得a0[x"y"]=[xy]=[xy]*T0da0這里T=叫做比例變換矩陣。若a=d，則x,y坐標(biāo)按同一比例變換。0d當(dāng)a=d>1時(shí)，圖形放大；當(dāng)0

30a[12]=[32]a"01

30b[22]=[62]b"01

30c[23]=[63]c"01

2.對(duì)稱變換

圖形上一點(diǎn)P(x,y)經(jīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱變換后成為新圖形上一點(diǎn)P"(x",y")，則x"=-xy"=-y寫成矩陣形式成為

-10[x"y"]=[xy]=[xy]*T0--10這里T=為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱變換矩陣。0-1若關(guān)于x軸對(duì)稱，則對(duì)稱變換的矩陣表示為10[x"y"]=[xy]=[xy]*T0-110于是關(guān)于x軸對(duì)稱變換矩陣T=0-1若關(guān)于y軸對(duì)稱，則對(duì)稱變換的矩陣表示為-10[x"y"]=[xy]=[xy]*T01-10于是關(guān)于y軸對(duì)稱變換矩陣T=01

若關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，則對(duì)稱變換矩陣表示為0-1[x"y"]=[xy]=[xy]*T-1

01于是關(guān)于直線y=x對(duì)稱變換矩陣T=10各種對(duì)稱變換的圖形均可由實(shí)例程序繪出，參見實(shí)例程序圖形。

3.錯(cuò)切變換

對(duì)圖形的任一點(diǎn)P(x,y)，作線性變換如下x"=x+byy"=y+dx

式中b,d為不全為零的常數(shù)，點(diǎn)P"(x",y")為新圖形上相應(yīng)的點(diǎn)，這個(gè)變換稱為圖形的錯(cuò)切變換。錯(cuò)切變換的矩陣表示為

1d[x"y"]=[xy]=[xy]*Tb11dT=叫做錯(cuò)切變換矩陣(b,d不全為零)。b1①當(dāng)d=0時(shí)，x"=x+by,y"=y，這時(shí)圖形的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)值隨(x,y)及系數(shù)b作線性變化。若b>0時(shí)，圖形沿x軸作錯(cuò)切位移；若b②當(dāng)b=0時(shí)，x"=x,y"=dx+y，此時(shí)圖形的x坐標(biāo)不變y坐標(biāo)隨(x,y)及系數(shù)d作線性變化。如d>0，圖形沿y軸正向作錯(cuò)切位移；如d

12b[10]=[12]b"01

12c[11]=[13]c"01

12d[01]=[01]d"01

4.旋轉(zhuǎn)變換

設(shè)圖形上一點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角后成為新的圖形上一點(diǎn)P"(x",y")，則由解析幾何方法可得x"=xcosθ+ysinθy"=-xsinθ+ycosθ用矩陣表示為

cosθ-sinθ[x"y"]=[xy]=[xy]*Tsinθcosθcosθ-sinθ這里T=為繞原點(diǎn)逆時(shí)針變換矩陣。若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，sinθcosθθ角為負(fù)值。

5.平移變換

若圖形上一點(diǎn)P(x,y)沿x軸平移l距離，沿y軸平移m距離后成為新的圖形上一點(diǎn)P"(x",y")，則有x"=x+ly"=y+m

式中l(wèi),m不全為零，這稱為平移變換。但此變換無法用組成圖形的點(diǎn)向量和2×2階變換矩陣相乘來實(shí)現(xiàn)。

用二維點(diǎn)向量和2×2階矩陣相乘不能表示圖形的平移變換，那么自然會(huì)想到用三維點(diǎn)向量和3×3階矩陣相乘來實(shí)現(xiàn)圖形的平移變換。因此對(duì)圖形上二個(gè)坐標(biāo)的點(diǎn)向量需要添加一個(gè)坐標(biāo)，使之成為三維點(diǎn)向量以便與三階矩陣相乘，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)用矩陣表示平移變換。實(shí)際上就是對(duì)上面的二個(gè)坐標(biāo)變換式添加第三個(gè)坐標(biāo)變換式，即成為x"=x+ly"=y+mk=k

這第三個(gè)坐標(biāo)變換式(即k=k)必須是恒等式，因?yàn)椴恍枳髯儞Q，本質(zhì)上是為了進(jìn)行矩陣運(yùn)算而引入的。將此三個(gè)變換式(仍然是圖形的平移變換，不妨將k=k取成1=1)寫成矩陣得

100[x"y"l]=[xyl]010=[xy1]*Tlm1

100顯然T=010為圖形的平移變換矩陣。lm1這里通過對(duì)原圖形上二維點(diǎn)向量引進(jìn)第三個(gè)坐標(biāo)成為三維點(diǎn)向量，從而使原圖形的平移變換能用矩陣表示。同樣其它基本變換也可以如此用矩陣表示。因此圖形的基本變換都可以在這樣的三維點(diǎn)向量下統(tǒng)一、整齊用矩陣表示。這樣的三維點(diǎn)向量稱為齊次點(diǎn)向量，也叫三維齊次坐標(biāo)點(diǎn)，簡(jiǎn)稱三維齊次坐標(biāo)。只有在三維齊次坐標(biāo)下，二維幾何變換才都可以用矩陣表示。下面再進(jìn)一步討論一下齊次坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)。

引用齊次坐標(biāo)后，可將上面各種基本變換矩陣統(tǒng)一在一個(gè)三階矩陣中。即

ab0T=cd0lm

式中左上角二階矩陣實(shí)現(xiàn)比例、對(duì)稱、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等變換，左下角1×2階矩陣實(shí)現(xiàn)平移變換，其中a,b,c,d,l,m只要賦以相應(yīng)的值，并建立圖形上點(diǎn)的齊次坐標(biāo)(即在圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)后引入第三個(gè)坐標(biāo)1)，這樣就可以用圖形上點(diǎn)的三維齊次坐標(biāo)與此三階矩陣相乘來表示三維圖形的基本幾何變換了。而變換后，不用考慮第三個(gè)坐標(biāo)1，前面兩個(gè)坐標(biāo)就反映了圖形的整個(gè)變換情況。

用齊次坐標(biāo)表示一個(gè)圖形上的點(diǎn)，可以有多種表示，如(6,8，1)、(12,16,2)、(30,40,5)等均表示圖形上同一個(gè)點(diǎn)(6,8)。這樣，齊次坐標(biāo)可以表示計(jì)算機(jī)無法容納的數(shù)。例如當(dāng)計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)為16位時(shí)，它能表示的最大整數(shù)為216-1=32767。若點(diǎn)坐標(biāo)為(80000,40000)，則計(jì)算機(jī)無法表示。但用齊次坐標(biāo)可表示為(201*0,10000,1/4)，經(jīng)過處理后再用第三個(gè)坐標(biāo)支除前面兩個(gè)坐標(biāo)，從而得到原來通常的坐標(biāo)。

齊次坐標(biāo)優(yōu)點(diǎn)很多，在計(jì)算機(jī)繪圖中都采用這種表示來處理圖形。下面介紹的圖形復(fù)合幾何變換就是如此。

二、復(fù)合變換

圖形的復(fù)合幾何變換是指圖形作一次以上的基本幾何變換，變換結(jié)果是每次基本變換矩陣的乘積。圖殂的復(fù)合幾何變換簡(jiǎn)稱復(fù)合變換。

1.復(fù)合平移

若對(duì)圖形首先作平移變換T1，然后再作平移變換T2，相應(yīng)的平移變換矩陣分別為100T1=010l1m11

100T2=010l2m21則變換結(jié)果為復(fù)合平移變換T，其復(fù)合平移變換矩陣為T=T1*T2

100100=010*010l1m11l2m21

100=010l1+l2m1+m21

2.復(fù)合比例

設(shè)比例變換T1矩陣為

a100T1=0d10001

比例變換T2矩陣為

a200T2=0d201*1則復(fù)合比例變換T矩陣為T=T1*T2=a1*a201*d1*d201*1

3.復(fù)合旋轉(zhuǎn)

設(shè)旋轉(zhuǎn)變換T1矩陣為

cosθ1-sinθ1T1=sinθ1cosθ10010

cosθ2-sinθ20T2=sinθ2cosθ201*1則復(fù)合旋轉(zhuǎn)變換T矩陣為T=T1*T2

cos(θ1+θ2)-sin(θ1+θ2)0=sin(θ1+θ2)cos(θ1+θ2)0001旋轉(zhuǎn)變換和比例變換翥與參考點(diǎn)有關(guān)，上面的旋轉(zhuǎn)變換和比例變換均是相對(duì)原點(diǎn)的。如果相對(duì)某一參考點(diǎn)(xo,yo)作比例、旋轉(zhuǎn)變換，則其變換過程是先把坐標(biāo)系原點(diǎn)平移至(xo,yo)，再在新的坐標(biāo)系下作比例、旋轉(zhuǎn)變換，然后將坐標(biāo)原點(diǎn)平移回去，這實(shí)際上是復(fù)合變換。

4.相對(duì)點(diǎn)(xo,yo)的比例變換

100a00100T=0100d0010-xo-yo1001xoyoa00=0d0(1-a)*xo(1-d)*yo1

5.相對(duì)點(diǎn)(xo,yo)的旋轉(zhuǎn)變換T=

100cosθ-sinθ0100010sinθcosθ0010-xo-yo1001xoyo1=

cosθ-sinθ0sinθcosθ0(1-cosθ)*xo+yo*sinθ(1-cosθ)*yo+xo*sinθ1

解決復(fù)合變換問題，關(guān)鍵是將其分解為一定順序的基本變換，然后逐一進(jìn)行這些基本變換，從而復(fù)合變換問題得到解決；或者求出這些基本變換矩陣連乘積，即得復(fù)合變換矩陣，進(jìn)而由矩陣作復(fù)合變換使得問題被解決。

例3：設(shè)三角形abc其頂點(diǎn)坐標(biāo)a=(6,4),b=(9,4),c=(6,6),繞點(diǎn)(5,3)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，試求變換后的圖形。

解：此變換可分解成下面順序的基本變換來實(shí)現(xiàn)：

1)將三角形abc連同點(diǎn)(5,3)與原點(diǎn)重合，即沿x軸平移-5，沿y軸平移-3；2)平移后的三解形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度；3)再將旋轉(zhuǎn)后的三角形連同原點(diǎn)平移回點(diǎn)(5,3)。這三步具體變換過程計(jì)算如下：

由前面復(fù)合變換中的計(jì)算公式并代入cosθ=cos60o=0.5,sinθ=sin60o=0.866便得

材料成型CAE基礎(chǔ)——熱量傳輸原理

一、基本概念

熱量的傳遞和交換主要有三種基本方式：熱傳導(dǎo)、對(duì)流換熱和熱輻射。工程技術(shù)上的換

熱問題非常復(fù)雜，通常是上述三種基本方式的復(fù)合。

熱傳導(dǎo)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)熱，它是指發(fā)生在物體內(nèi)部和彼此直接接觸的物體之間的熱量傳遞現(xiàn)象。它是靠物質(zhì)的分子、原子或自由電子的熱運(yùn)動(dòng)來傳遞能量，在固體、液體和氣體中都可以產(chǎn)生導(dǎo)熱現(xiàn)象，但單純的導(dǎo)熱只能在密實(shí)的固體中發(fā)生，因?yàn)楫?dāng)液體和氣體中存在溫差時(shí)就會(huì)產(chǎn)生對(duì)流，因此無法維持單純的導(dǎo)熱。

對(duì)流換熱在流體各部位之間發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，熱量由一處傳到另一處的現(xiàn)象稱為對(duì)流，所謂對(duì)流換熱是指流體與物體表面直接接觸而又具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的熱量傳遞過程。對(duì)流換熱只能發(fā)生在流體中，對(duì)流換熱的強(qiáng)度與流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)密切相關(guān)；但對(duì)流換熱時(shí)總同時(shí)伴有導(dǎo)熱作用的存在。

輻射換熱物體以電磁波方式向外傳遞熱量的過程稱為熱輻射，被傳遞的熱量稱為輻射熱。固體、液體和氣體都能以電磁波的方式輻射出熱量，也能借助吸收電磁波而獲得輻射熱。所謂輻射換熱即互不接觸的物體表面之間或物體表面與周圍氣體之間通過熱輻射進(jìn)行能量交換的現(xiàn)象。熱輻射不僅有能量轉(zhuǎn)移過程，而且還伴隨有能量在形式上的轉(zhuǎn)換過程。

溫度場(chǎng)在所研究的物體空間中，某一瞬刻空間一切點(diǎn)的溫度分布。（不穩(wěn)定溫度場(chǎng)、穩(wěn)定溫度場(chǎng)）

等溫面我們可以設(shè)想在物體中有這樣的一些面，即在某一定時(shí)刻對(duì)它們之中每個(gè)面進(jìn)行觀察時(shí)，面上每一點(diǎn)都具有相同的溫度。

溫度梯度對(duì)于空間的溫度分布，沿等溫面法線方向的溫度變化率最大，稱之為溫度梯度，溫度梯度是矢量。

二、一維穩(wěn)定導(dǎo)熱

三、傅立葉導(dǎo)熱定律及導(dǎo)熱微分方程1、傅立葉導(dǎo)熱定律

2、導(dǎo)熱微分方程

四、不穩(wěn)定導(dǎo)熱

五、對(duì)流換熱

相似理論部分的主要概念和定理速度邊界層熱邊界層同類現(xiàn)象相似現(xiàn)象相似正定理相似逆定理相似∏定理

六、輻射換熱

基本概念：吸收率、反射率、透過率、黑體、絕對(duì)白體、透明體、灰體、黑度基本定律：普朗克定律、維恩定理、斯蒂芬－玻耳茲曼定律、克�；舴蚨�律

維恩定理：

maxT2.9103

基爾霍夫定律：

輻射換熱的計(jì)算公式

材料成型CAD、CAE基礎(chǔ)凝固過程數(shù)值模擬

1-1凝固過程的傳熱特點(diǎn)

凝固過程的傳熱特點(diǎn)可以簡(jiǎn)明的歸結(jié)為：“一熱、二遷、三傳”。所謂“一熱”，即在凝固過程中熱量的傳輸是第一重要的，它是凝固過程能否進(jìn)行的驅(qū)動(dòng)力。凝固過程首先是從液體金屬傳出熱量開始的。高溫的液體金屬澆人溫度較低的鑄型時(shí)，金屬所含的熱量通過液體金屬、已凝固的固體金屬、金屬一鑄型的界面和鑄型的熱阻而傳出。凝固是一個(gè)有熱源的非穩(wěn)態(tài)傳熱過程，可用式（1-1）的導(dǎo)熱微分方程來描述：

TTTTc()()()qxxyyzzt式中：

(11)導(dǎo)熱系數(shù)；T熱力學(xué)溫度；

單位體積物體單位時(shí)間內(nèi)釋放的熱；qc比熱容；密度；t時(shí)間。

方程（1-1）是均質(zhì)、各向同性體的熱傳導(dǎo)微分方程，它反映了熱傳導(dǎo)過程的能量守恒原理。事實(shí)上，方程左側(cè)括弧內(nèi)各項(xiàng)，是熱流密度（單位時(shí)間、單位面積上通過的熱量）在

x、y和z坐標(biāo)上的分量，如qxT/x，因此，方程前三項(xiàng)即是熱流密度在x、y和z軸單位長(zhǎng)度上的增量，綜合這三項(xiàng)就是單位體積上的熱流密度的增量，而方程的右端項(xiàng)，則是單位體積的物體在單位時(shí)間內(nèi)增加的內(nèi)能。根據(jù)這樣的考察，可知方程（1=1）描述的是：通過熱傳導(dǎo)增加的熱量加上本身釋放的熱量等于內(nèi)能的增加。方程各項(xiàng)單位皆為

J/(m3s)。導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時(shí)，方程（1-1）變?yōu)椋?/p>

2T2T2TTqcx2y2z2t(12)

所謂”二遷”,指的是在金屬凝固時(shí)存在著兩個(gè)界面，即固相液相間界面和金屬鑄型

間界面，而這些界面隨著凝固進(jìn)程而發(fā)生動(dòng)態(tài)遷移，并使得界面上的傳熱現(xiàn)象變得極為復(fù)雜的。圖1-1是純金屬澆入鑄型后發(fā)生的傳熱模型示意圖，由圖可見在凝固過程中隨著固相液相間界面向液相區(qū)域遷移,液態(tài)金屬逐步變?yōu)楣滔�，并在凝固前沿釋放出凝固潛熱，值得注意的是潛熱的釋放不是在金屬全域上同時(shí)釋放，而只是在凝固前沿釋放，并隨著凝固進(jìn)程而非線性地變化。在金屬凝固過程中，由于金屬的凝固收縮和鑄型的膨脹，在金屬和鑄型間形成金屬和鑄型間的界面，由于它們的接觸通常不是完全的，所以它們之間存在接觸熱阻或稱界面熱阻。它們的接觸情況也不斷地在變化，在一定的條件下，它們之間會(huì)形成一個(gè)間隙（也稱氣隙），所以，在這里的傳熱也不只是一種簡(jiǎn)單的傳導(dǎo)，而同時(shí)存在微觀的對(duì)流和輻射傳熱，如圖1-2所示。對(duì)于圖1-2a所示的界面，引進(jìn)下面的界面換熱系數(shù)計(jì)算傳熱量，

qhiTisTim(13)

hi并不是物性值，它只是一個(gè)如圖1-2b所示的宏觀的平均參數(shù)，其單位為

J/(m2sC)。

圖1-1純金屬在鑄型中凝固時(shí)的傳熱模型K－導(dǎo)熱，C－對(duì)流，R－輻射，N－牛頓界面換熱圖1-２金屬－鑄型界面模型a）微觀的界面?zhèn)鳠崮Ｐ�，b）簡(jiǎn)化的宏觀界面?zhèn)鳠崮Ｐ�；Ti－界面溫度［由式（1-29）計(jì)算］Tis、Tim－界面兩側(cè)金屬和鑄型溫度所謂“三傳”，即金屬的凝固過程是一個(gè)同時(shí)包含動(dòng)量傳輸、質(zhì)量傳輸和熱量傳輸?shù)娜齻黢詈系娜�維傳熱的物理過程，即使在熱量傳輸過程中也同時(shí)存在有導(dǎo)熱、對(duì)流、和輻射換熱三種傳熱方式。一個(gè)從宏觀上看是一維傳熱的單相凝固的金屬，由于凝固過程中的界面現(xiàn)象使傳熱過程在微觀變得非常復(fù)雜。當(dāng)固/液界面是凹凸不平的或生長(zhǎng)為枝晶狀時(shí)，在這個(gè)凝固前沿上，熱總是沿垂直于這些界面的不同方位從液相傳人固相，因而發(fā)生微觀的三維傳熱現(xiàn)象。如圖1-2所示，在金屬和鑄型界面上的傳熱也不只是一種簡(jiǎn)單的傳導(dǎo)，而同時(shí)存在微觀的對(duì)流和輻射傳熱。

如何根據(jù)上述的凝固傳熱特點(diǎn)比較準(zhǔn)確的求解金屬凝固過程的傳熱，并進(jìn)一步得到金屬的凝固進(jìn)程，人們已開展了大量卓有成效的研究。解決的途徑主要有解析法和非解析法。其中解析法常受這樣的限制：即使是二維傳熱的簡(jiǎn)單鑄件，只要涉及凝固過程，就必須作一系列假定才能求解，而且計(jì)算過程也過于繁雜，至于形狀復(fù)雜的鑄件，根本無法計(jì)算。但是，解析法所得到的解，是將溫度或凝固層厚度作為時(shí)間的函數(shù)形式給出，較清晰地揭示凝固過程的規(guī)律，因而仍有研究的理論價(jià)值。非解析法有圖解法、電模擬法和數(shù)值模擬法等。自從電子計(jì)算機(jī)問世以來，數(shù)值模擬法得到了迅速的發(fā)展。數(shù)值模擬法是一種近似的方法，但它能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的條件，因而幾乎代替了所有其它的非解析方法。

在鑄件凝固過程中，如果不計(jì)液體金屬的熱阻，金屬的凝固速度主要受如下三種熱阻的控制，

在鑄件凝固過程中，如果不計(jì)液體金屬的熱阻，金屬的凝固速度主要受如下三種熱阻

Rsss(14)RmImm1hi(15)

Ri式中：

(16)

Rs、Rm、Ri為已凝固的固體金屬層、鑄型和界面熱阻；

s、Im為凝固層厚度和鑄型厚度。

在金屬型鑄造、壓鑄或連續(xù)鑄造中，通常Ri值遠(yuǎn)大于Rs和Rm值，因此采用準(zhǔn)確的hi值，是取得準(zhǔn)確結(jié)果的關(guān)鍵。嚴(yán)格地說，hi值是隨凝固時(shí)間而變化的，但是其值只是在澆注初期有較大幅度的變化，此后較為平穩(wěn)，所以常以常數(shù)處理。表1-1為幾種不同凝固條件下的

hi值。

在砂型鑄造中，鑄型的熱阻Rm遠(yuǎn)大于Rs和Ri，因此金屬的凝固速度主要取決于Rm。

表1-1不同凝固條件下的界面換熱系數(shù)

hi凝固條件凝固條件hiJ(m2sC)1水冷型，涂層壓鑄①快速凝固0.48X1020.29X102(0.57~5.73)X104J(m2sC)1金屬型，打磨金屬型，機(jī)械加工金屬型，涂層水冷型，打磨

2.29X1020.90X1020.45X1020.29X102①快速凝固系指液體金屬噴射到高速旋轉(zhuǎn)的輥輪上，制取金屬薄帶時(shí)的凝固條件。

1-2非金屬型鑄造的凝固傳熱

非金屬型的特點(diǎn)是，與澆注于其中的金屬相比具有非常小的導(dǎo)熱系數(shù)，因此，金屬的凝固速度主要決定于鑄型的傳熱性能，而很少受金屬傳熱性能的影響。由于鑄型的導(dǎo)熱能力差，在金屬凝固的全過程中，鑄型外表面的溫度變化不大，所以可以把鑄型看成是半無限厚的。下面分析一個(gè)無限大平板在這種鑄型中凝固的情況。澆注的金屬假定為純金屬，澆注溫度取為其熔點(diǎn)，即金屬無過熱度，這時(shí)，金屬-鑄型系統(tǒng)的溫度分布如圖1-3所示。圖中Tm為金屬熔點(diǎn)，To為室溫。鑄型的導(dǎo)熱能力差，所以在澆注結(jié)束的瞬間t0時(shí)，鑄型內(nèi)表面溫度立刻升至Tm；另外，因金屬斷面上的溫差比鑄型斷面上的溫差小很多，故在分析中忽略。于是，求溫度場(chǎng)的問題簡(jiǎn)化成了求一維偏微分方程的問題，求解如下：

T2Tam2tx式中：

（1－7）

角注m表示鑄型，am一熱擴(kuò)散率，

am/c。

方程（1-7）的通解為：

TABerf(x)（1－8）

2amt圖1-3無過熱純金屬在砂型中凝固時(shí)的近似溫度分布式中：A、B－積分常數(shù)；erf(y)誤差函數(shù)，由下式定義：

erf(y)2ed0y2（1－9）

誤差函數(shù)的性質(zhì)：

①y從0至∞時(shí),erf(y)的值:y:

0

0.50.5205

11.50.9660

2.00.9950

∞１

erf(y):00.8427

②誤差函數(shù)為偶函數(shù)：

erf(-y)=erf(y)③誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

d2y2erf(y)edy④余誤差函數(shù)定義為：

erfc(y)=1-erf(y)現(xiàn)在根據(jù)邊界條件確定A和B，由圖1-3知：

當(dāng)x0時(shí)，TTM，以此代入式(1-８)，得ATM。

，得BTMTo。A和B帶入通解中To，同樣代入式（1-8）

當(dāng)x時(shí)，T得：

TTM(TMT0)erf(x)2amt(110)

式（1-10）即鑄型斷面上的溫度分布方程。下面計(jì)算凝固層厚度s與時(shí)間t的關(guān)系。通過金屬－鑄型界面的熱流密度：

qx0m(T)x0x對(duì)式（1-10）求導(dǎo)：

(TTTx)x0(TMT0)[(erf)]x0M0xx2amtamt代入上式得：

qx0mcmm(T0TM)t(111)

另一方面，因液體和固體金屬的溫度都為Tm，所以傳入鑄型的熱量?jī)H來自于金屬凝固時(shí)釋放的潛熱，于是，

qx0Ls式中：

st(112)

s－凝固層厚度；

，腳注s代表固體金屬。L－熔化熱（凝固潛熱）

根據(jù)式（1-11）和（1-12）有：

s0Lsds(TMT)mcmm/0t0dtt(113)

s2TMT0()mcmmtLs(114)

由式（1-14）可知，金屬和鑄型的熱物性結(jié)合起來決定凝固速度：在金屬方面，熔點(diǎn)高而熔化熱和密度小的金屬有利于較快凝固；在鑄型方面，固。

mcmm大的鑄型有利于較快凝

mcmm反映鑄型的吸熱能力，稱為鑄型的蓄熱系數(shù)。

由式（1-14）還可以看出，金屬凝固層厚度與凝固時(shí)間的平方根成正比，這說明金屬的

凝固速度開始時(shí)快，爾后隨鑄型的溫度升高而逐漸變慢。

對(duì)一個(gè)體積為V、表面積為A的實(shí)際鑄件來說，在非金屬鑄型中凝固時(shí)，也可以得到一個(gè)求凝固時(shí)間的公式。實(shí)際上，如果式（1-13）兩邊乘鑄件表面積A，對(duì)整個(gè)鑄件求積，即可得到：

V0LsdVA(TMT)mcmm/0tf0dttV2TMT0()mcmmtfAsL

或簡(jiǎn)寫為：

MCtf式中：

(115)

tf鑄件完全凝固所需要的時(shí)間；

M鑄件等效凝固厚度，MVA；C一凝固常數(shù)。

在這里，我們是在默認(rèn)無限大平板凝固時(shí)所作的假定仍適用于實(shí)際鑄件的前提下才推導(dǎo)出式（1-15）的，但實(shí)際上，這一公式早在30年代未就由捷克斯洛伐克著名工程師Chvorinov通過實(shí)驗(yàn)首先得出，因而稱Chvorinov公式。

推導(dǎo)式（1-15）時(shí)所作的一維傳熱和在整個(gè)凝固階段鑄件的溫度一直保持凝固點(diǎn)不變的假定，與實(shí)際鑄件的凝固條件不符�？墒荂hvorinov通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得的凝固時(shí)間卻較好地符合式（1-15）所表示的關(guān)系。

這一似乎矛盾的現(xiàn)象，可以

從圖1-4和1-5中得到解釋。圖

1-4是鑄件表面附近的熱流線，

其中左側(cè)為實(shí)際情況，右側(cè)為推

導(dǎo)式（1-15）時(shí)所作的假定，即

在鑄件的所有的表面上進(jìn)行垂

直于該面的一維傳熱。很明顯，

這就忽略了棱角效應(yīng)，這時(shí)圖中

A處即為熱的真空，也就是用式

（1-15）計(jì)算時(shí)，相當(dāng)于少算了

使熱傳入A處的傳熱面；因此，

計(jì)算的凝固時(shí)間要比實(shí)際的凝

圖1-4鑄件表面附近的熱流線圖1-5鑄件凝固結(jié)束時(shí)

固時(shí)間長(zhǎng)。

刻的溫度分布

再看圖（1-5），該圖是鑄件

斷面上的溫度分布，左側(cè)表示實(shí)際的情況，右側(cè)表示假定的情況。實(shí)際鑄件凝國(guó)時(shí)，凝固層中的溫度不可能始終保持tf不變，而是不斷下降為在其斷面上形成拋物形的溫度分布，如圖中T曲線所示。在用式（1-15）計(jì)算凝固時(shí)，相當(dāng)于少算了圖中斜線部分代表的物理熱，因此，計(jì)算的凝固時(shí)間要比實(shí)際的凝固時(shí)間短。這兩者互相抵消的結(jié)果，使實(shí)測(cè)結(jié)果符合了公式所表示的關(guān)系。

對(duì)于大多數(shù)形狀復(fù)雜的鑄件，這樣的抵消并不是總能達(dá)到，所以Chvorinov公式只是一個(gè)近似式。

在砂型中鑄造的黑色金屬，凝固常數(shù)C約為0.07～0.1cm

s12。

1-3金屬型鑄造的凝固傳熱

由于金屬型具有很高的導(dǎo)熱性能，所以在鑄件凝固過程中，熱流的限制環(huán)節(jié)通常不在鑄型，而在鑄件與鑄型之間的界面。當(dāng)鑄件凝固收縮和鑄型受熱膨脹而在鑄件、鑄型間形成氣隙時(shí)，界面熱阻的作用將變得更為突出。

圖1-6a表示鑄件在鑄型中凝固時(shí)鑄件和鑄型斷面的溫度分布，圖中

Tis和Tim分別為鑄件和鑄型在界面

兩側(cè)的溫度。由于存在界面熱阻，它們之間形成了溫度降(TisTim)。

為解析具有這種界面溫度降的傳熱問題，這里引進(jìn)虛擬凝固層厚度和虛擬鑄型厚度的概念。即將圖1-6a分解為圖1-6b和c使后兩者的組合等效于前者。這種方法將界面熱阻轉(zhuǎn)化成了鑄件和鑄型上虛擬加厚的凝固層和鑄型厚度，即圖中s0和-E0上的熱阻，同時(shí)令這兩個(gè)熱阻上的溫度降之和恰好等于界面上的溫度降，這樣，就把一個(gè)具有界面熱阻的復(fù)雜的

傳熱問題，轉(zhuǎn)變成了在界面上理想接觸因而具有共同的界面溫度Ti的純導(dǎo)熱問題。圖1-6凝固過程鑄件、鑄型溫度分布為筒化求解過程，作如下假定：

（1）問題局限于一維熱傳導(dǎo)，金屬型為半無限大；

（2）將原問題的界面熱阻視為常數(shù)，即界面換熱系數(shù)hi是常數(shù)；（3）金屬平面晶前沿在固定的凝固點(diǎn)Tf下凝固；

（4）忽略液體金屬的過熱度和對(duì)流；（5）鑄件和鑄型的物性值視為常數(shù)。

圖1-6b和c中的虛線，表示虛擬的坐標(biāo)系。實(shí)際系統(tǒng)和虛擬系統(tǒng)的參數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：在鑄件一側(cè)：

xsox(116)ssos(117)ttot(118)

在鑄型一側(cè)：

xxEo(119)于是，問題歸結(jié)為在虛擬系統(tǒng)中解如下微分方程的問題：

T2Ta2(120)t"x"其通解為：

TABerf(x")(121)2at"

下面根據(jù)邊界條件，確定凝固時(shí)間、溫度場(chǎng)、界面熱阻等諸項(xiàng)內(nèi)容。一、凝固時(shí)間因?yàn)楫?dāng)xs時(shí)，TTf，根據(jù)式（1-21）得：

TfABerf(s"2a)st"因A、B和Tf皆為常數(shù)，所以有：

s"2a常數(shù)st"稱凝固系數(shù)。改寫上式：

t"s"24a2s因?yàn)楫?dāng)xso時(shí)tto，所以

ts201*a2s將式（1-17）和式（1-18）代入式（1-24）得：

tt(s0s)204a2s再將式（1-25）代人上式得：

ts2s0s4a22a2ss

二、溫度分布鑄件一側(cè)：因?yàn)閤s時(shí)，TTf，x0時(shí)TTi所以根據(jù)式（1-21）得

(122)

(123)

(124)(125)(126a)TsTiTfTisxerf(0)(127)

erf()s0s鑄型一側(cè)：因?yàn)楫?dāng)x時(shí)TTo，x0時(shí)TTi，所以

xE0)(128)TmTi(TiT0)erf(Ns0s式中：Nas/am

三、界面溫度Ti

在鑄件和鑄型的界面上有：

s(Tsx")Tx"0m(mx")x"0分別對(duì)式（1-27）和（1-28）求導(dǎo)并代入上式得：

TfTiserf()mN(TiT0)整理后得：

T(TfT0)MiT0Merf()式中

Msscs/mmcm

四、凝固系數(shù)

根據(jù)固、液界面上的熱平衡關(guān)系，有：

Ls"t")Ts(s(sx")0微分式（1-24）和（1-27）并代入上式得：

erf()exp(2)cs(TfTi)L將式（1-29a）代人（1-31）得：

exp(2)[Merf()]cs(TfT0)L(129)(129a)(129b)(130)(131)

(132)

對(duì)于具體給定的鑄件和鑄型，用疊代法很容易求得φ值。

五、虛擬凝固層厚度so

當(dāng)xsso，即凝固剛開始時(shí)，界面上的熱平衡關(guān)系可表示為

hi(TfT0)sL(s")(133)t"s0但是，根據(jù)式（1-24）有，

2as2s"()s0t"s0所以

2s2L1(134)s0cs(TfT0)hi用類似的方法也可以求得虛擬鑄型厚度Eo。由式（1-34）可知，虛擬凝固層厚度so與熱阻現(xiàn)在，我們把式（l-26a）改寫為：

1hi成正比。

ts2s(126b)

其中：s01;4as22as2從式（1-34）和（1-26b）可知，只有當(dāng)界面熱阻等于零，或hi時(shí)，式（1-26b）的

線性項(xiàng)才等于零，即凝固時(shí)間與凝固層厚度的平方成正比。這正是在上一節(jié)中分析的砂型鑄

造的情況。

換熱系數(shù)hi值，一般通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。將式（1-34）代入β的表達(dá)式中，便得到：

hisL(TfT0)

(135)

把式（1-26b）寫成：

tss由此式可知，只要實(shí)測(cè)凝固層厚度與時(shí)間的關(guān)系，繪制t的截距便是值，將它代入式（1-35）中即可求得hi值。

s與s的坐標(biāo)圖，其ts軸上

1-4凝固過程的電子計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬

在上兩節(jié)中看到，即使是一維傳熱的簡(jiǎn)單鑄件，用解析法計(jì)算溫度場(chǎng)或凝固時(shí)間，就已經(jīng)顯得相當(dāng)繁雜，而實(shí)際鑄件絕大多數(shù)都是具有二維或三維傳熱的形體，要用解析法求解就遇到很大的因難，于是產(chǎn)生了數(shù)值計(jì)算的方法，常用的數(shù)值計(jì)算方法有三種：有限差分法，有限元法和邊界元法。本節(jié)只介紹較易掌握的有限差分法。這種方法將計(jì)算對(duì)象鑄件和鑄型系統(tǒng)剖分為許許多多有限小尺寸的單元體。假定每個(gè)單元體之間的溫度梯度為常數(shù)，在每個(gè)單元體上建立代數(shù)方程來代替以無限小單元體為基礎(chǔ)建立的微分方程，形成以與單元體數(shù)相等的方程組成的代數(shù)方程組，最后用計(jì)算機(jī)解這一通常是十分龐大的方程組。

在凝固過程中，除傳熱現(xiàn)象以外，還伴隨許多物理現(xiàn)象，如凝固潛熱的釋放、液體金屬內(nèi)對(duì)流、金屬的收縮等，因此，計(jì)算中必須同時(shí)考慮這些因素。采用的方法是，根據(jù)這些物理現(xiàn)象發(fā)生的條件，不斷模擬這些現(xiàn)象而變換計(jì)算過程。因此，凝固問題的數(shù)值方法，通常稱為數(shù)值模擬法。

用有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬，按如下四個(gè)步驟進(jìn)行：?jiǎn)卧�剖分，建立�?shù)學(xué)模型，編制程序和計(jì)算，下面著重介紹前兩個(gè)步驟。

一、單元剖分

在有限差分法計(jì)算中，通常是將一般的鑄件和鑄型系統(tǒng)剖分為許多六面體單元，對(duì)可以用平面二維方法處理的鑄件，則是將鑄件和鑄型系統(tǒng)的某一斷面劃分為許多四邊形單元，如圖1-7所示。為便于計(jì)算，圖1-7

中采用了均勻網(wǎng)絡(luò)，即令xy。

另外，上下邊界單元的高度和左右邊界單元的寬度各取內(nèi)部單元相應(yīng)尺寸的一半。圖中各單元中的點(diǎn)表示該單元的溫度參考點(diǎn)，即用這些點(diǎn)的溫度來表示各點(diǎn)所在單元的溫度，由圖可以看出，當(dāng)以圖中的虛線方式將斷面劃分為邊界和內(nèi)部相等的均勻網(wǎng)格時(shí)，其交點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）即是溫度的參圖1-7平面二維單元剖分考點(diǎn)。因此，也可以將各單元理解為

以這些結(jié)點(diǎn)為中心等距離劃分?jǐn)嗝鎱^(qū)域所形成的各小區(qū)域。圖中假定鑄件是對(duì)稱的，這時(shí)只計(jì)算鑄件的一半即可，所以只畫出了鑄件鑄型系統(tǒng)的一半，圖中斜線包圍的部分即是鑄件斷面的一半，右邊界單元表示的是砂箱。圖中：i和j分別表示x向和y向的單元序號(hào)，如i,j表示第i列第j行單元的溫度。

在實(shí)際計(jì)算中，經(jīng)常采用疏密不均勻網(wǎng)格。在需要仔細(xì)計(jì)算的部位和溫度梯度較大的部位，網(wǎng)格劃分的比其他部位密一些，一般是在鑄件鑄型界面附近采用密網(wǎng)格，而遠(yuǎn)離界面處采用疏網(wǎng)格。二、數(shù)學(xué)模型的建立

1．微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)椴罘址匠?/p>

需要轉(zhuǎn)變的主導(dǎo)方程（1-2）的二維形式為：

2T2TTc(136)(22)qtxy即是金屬凝固時(shí)釋放的潛熱。它只是在凝固溫度區(qū)間內(nèi)正在凝固的金屬才在凝固問題中，q0，即方程（1-36）變?yōu)椋横尫�，因此，�?duì)于在凝固溫度區(qū)間以外的金屬和在鑄型中，q2T2TT(22)c(137)

txy我們先把這一方程轉(zhuǎn)變?yōu)椴罘址匠�，然后再研究凝固潛熱問題。

用差分來代替微分，即可將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)椴罘址匠�。微分和差分的關(guān)系是：

(TTdT)ii1i(138)dxxTTdT)iii1(139)dxxTTdT)ii1i1(140)dx2x

圖1-8

或

(或

(式（1-38）、（1-39）和（1-40）的右邊項(xiàng)分別稱T關(guān)于x的向前、向后和中心差分。由圖1-8可知：差分就是用函數(shù)曲線上一個(gè)或兩個(gè)單元間的割線代替曲線上的切線，因此差分是一個(gè)近似表達(dá)式。由圖還可以看出，中心差分的準(zhǔn)確度高于其它兩種形式的差分。

在二維問題中，采用中心差分時(shí)有：

T()i,jx故

T1i,j2Tx1i,j2

xi附近的微分近似

(T)i,jx22T1T1i2,ji2,jxxTT)1()1xi2,jxi2,j(141)

xTi1,jTi,jTi,jTi1,jT2Ti,jTi1,jxxi1,jxx2(同理

Ti,j12Ti,jTi,j12T(142)(2)i,j2yy溫度對(duì)時(shí)間的微分也轉(zhuǎn)變成差分，我們采用如下形式的向前差分：

p1pTpTi,jTi,j()i,j(143)tt式中：

t－差分計(jì)算中的時(shí)間單元，稱時(shí)間步長(zhǎng)或時(shí)段；p時(shí)段序號(hào)。

式（1-41）和（1-42）是在固定的某個(gè)時(shí)段推出的，因此在每個(gè)溫度上也應(yīng)注明時(shí)段序號(hào)p。于是，根據(jù)式（1-41）、（1-42）和（1-43），微分方程（1-7）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(Tip1,j2Ti,pjTip1,jx2Ti,pj12Ti,pjTi,pj1y2Ti,pj1Ti,pj)c()(144)

t整理后得：

ppppTi,pj1(14E)Ti,pjE(Ti)1,jTi1,jTi1,jTi1,j)(145式中：

ETx2；

p=0，1，2；tpt；

i=1，2，3；xix；j=1，2，3；yjy。

式（1-45）表明，只要已知某一時(shí)刻（tpt）的溫度場(chǎng)，便可直接算出t時(shí)間后

tp1t的溫度場(chǎng)。因此，只要知道澆注溫度和澆注當(dāng)時(shí)的鑄型溫度，便可以此溫度

為初始溫度，算出任意時(shí)刻的溫度場(chǎng)。這種形式的方程稱顯式格式的差分方程。如果溫度對(duì)時(shí)間取向后差分：

pp1TpTi,jTi,j()i,j(146)tt則差分方程變?yōu)椋?/p>

(Tip1,j2Ti,pjTip1,jx2Ti,pj12Ti,pjTi,pj1y2Ti,pjTi,pj1)c()(147)

tp1由式（1-47）看出，采用這種方程時(shí)，即使已知某一時(shí)刻的溫度Ti,j，也不能直接算出t時(shí)間后的溫度Ti,j，因?yàn)樵诜匠讨信c單元ei,j相鄰的四個(gè)單元ei1,j、ei1,j、ei,j1、ei,j1溫度也都以一個(gè)時(shí)段后的溫度即以未知量的形式出現(xiàn)。如果把鑄件鑄型剖分為n個(gè)單元，那么式（1-47）便是n階線性代數(shù)方程組，每求解一次這個(gè)方程組，便得到n個(gè)第p時(shí)段上的溫度。這種形式的方程稱隱式格式的差分方程。

2．凝固潛熱

p項(xiàng)，是單位體積的金屬在單位時(shí)間內(nèi)釋放的潛熱，因在凝固問題中，方程（1-36）的q而可表示為：

Lq式中：

fs(148)tfs單位體積中的固相率；

金屬的密度；

L金屬的熔化熱。

這里假定了固相和液相的密度相等，如沒有這一假定，上式中的密度應(yīng)為固相的密度

s。

將式（-48）代入式（1-36）并經(jīng)整理得：

fT2T2T(22)(cLs)(149)

Ttxy如果采用符號(hào)c代替上式等號(hào)右邊括弧內(nèi)的表達(dá)式：

c"cLfs(150)t則方程（1-49）的形式則完全與方程（1-37）相同，因此與之相對(duì)應(yīng)的差方方程完全與方程（1-44）或（1-47）相同。因此得出了模擬釋放潛熱過程的方法：當(dāng)某個(gè)金屬單元的溫度在

TsTi,jTL時(shí)，用c代替方程（1-44）或（1-47）中的c，仍用這些方程計(jì)算溫度。TL與

Ts分別為液相和固相線溫度．這樣問題就只剩下了求解c值。

圖１-９是合金狀態(tài)圖的一角，我們知道：

k0cs(151)cl

mfs式中：

TLT(152)

cLc0cLc0(153)

cLcsko－平衡分配系數(shù)；

圖1-9具有凝固溫度范圍

的合金狀態(tài)圖

m－液相線斜率。

由式（1-51）和（1-52）解出cL和cs代入式（1-53）得：

fsTTL(154)

(1k0)(mc0TTL)fs對(duì)T求導(dǎo)后代入式（1-50）得：

mc0L(155)c"c(1k0)(mc0TTL)2式（1-55）中的Ｔ當(dāng)采用顯式差分格式時(shí)為Ti,j，采用隱式格式時(shí)為Ti,j。

以上是具有凝固溫度范圍的合金模擬釋放潛熱過程的方法。對(duì)于純金屬或共晶合金等在一定溫度下凝固的金屬，則采用所謂溫度補(bǔ)償法模擬釋放潛熱的過程。

這種金屬的凝固特點(diǎn)是具有一定凝固平臺(tái)。這一現(xiàn)象可以理解為釋放的潛熱補(bǔ)償了由傳熱造成的溫度的下降，維持了凝固溫度Tf。對(duì)單位質(zhì)量的金屬，為維持平臺(tái)溫度需補(bǔ)償?shù)臒崃�，就是金屬的熔化熱（凝固潛熱）。在我們的�?jì)算中，始終以溫度作為對(duì)象，所以也將需補(bǔ)償?shù)臒崃繐Q算為溫度值。其方法如下：

體積為V的液體金屬凝固時(shí)釋放的潛熱：

pp1QLV

此熱用來提高自身的溫度，升溫：

TQcV由以上二式得：

L(156)c也就是對(duì)于體積為V的金屬單元，在凝固階段需補(bǔ)償?shù)臏囟戎禐門。

T數(shù)值模擬釋放潛熱的過程，即溫度補(bǔ)償過程，按圖

1-10的虛線所表示的方式進(jìn)行。

如某金屬L16.747Jg，c0.373JgK，

則

16.747T44.9K

0.373

計(jì)算機(jī)對(duì)一系列時(shí)段進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，每解一次方程，

單元溫度就下降一些。設(shè)從某一時(shí)段開始，第ei,j單元

圖1-10溫度補(bǔ)償法示意圖

溫度降到凝固點(diǎn)以下，如1153K，那末計(jì)算機(jī)將自動(dòng)補(bǔ)償10度，使該單元溫度保持凝固溫度Tf1163K；同時(shí)計(jì)算機(jī)還必須記住已補(bǔ)償?shù)臏囟戎�，在下一輪�?jì)算中以凝固點(diǎn)溫度作

為該單元的起始溫度，再計(jì)算下一個(gè)時(shí)段的溫度。如這次降為1148K，則應(yīng)補(bǔ)償15K，使之保持凝固溫度。同時(shí)要記住已補(bǔ)償?shù)臏囟壤奂訑?shù)：10K+15K=25K。一直進(jìn)行同樣過程，溫度累加數(shù)達(dá)44.9K時(shí)停止溫度補(bǔ)償過程。在一般情況下最后一次累加時(shí)會(huì)超過44.9K，而不易恰好達(dá)到44.9K，這時(shí)把補(bǔ)償溫度的超過部分從1163K中減掉即可。

有時(shí)處理凝固潛熱還常用到另一種方法－熱焓法。凝固相變時(shí)物質(zhì)的比熱焓h為：

hh0cdT(1fs)L(157)

T0T式中：

ho－基準(zhǔn)溫度To時(shí)的比熱焓。

對(duì)上式求導(dǎo)得：

fhcLsTT將上式代入式（1-49）得：

2T2ThT(158)(22)Ttxy在用熱焓法處理凝固潛熱時(shí)，通常事先已經(jīng)知道指定條件下的熱焓與溫度的關(guān)系，將上述關(guān)

系式代入式（1-58）即可實(shí)現(xiàn)凝固潛熱的處理。

采用熱焓法處理凝固潛熱具有如下的優(yōu)點(diǎn)：無論是具有凝固溫度范圍的合金，還是對(duì)于純金屬或共晶合金等在一定溫度下凝固的金屬，都可以采用熱焓法進(jìn)行統(tǒng)一的處理；并且在模擬計(jì)算種可以根據(jù)式（1-57）比較容易的計(jì)算出固相率的值。但在采用該方法時(shí)，必須事先得到熱焓與溫度的關(guān)系，由于金屬的種類很多，如果無法得到熱焓與溫度的關(guān)系，則不能采用該方法處理潛熱。

3．鑄件一鑄型界面模型

圖1-2所示的界面模型，可進(jìn)一步具體化為用于數(shù)值模擬的單元圖中，如圖1-11所示。圖中左右兩側(cè)四邊形分別代表鑄件和鑄型單元，它們之間存在因鑄件和鑄型的接觸不理想而造成的間隙，現(xiàn)在求熱從點(diǎn)１流至點(diǎn)4時(shí)，鑄件間隙禱型的復(fù)合熱阻。

圖1-11界面單元復(fù)合熱阻模型由點(diǎn)３傳至點(diǎn)4的熱量：

在t時(shí)間內(nèi)，

由點(diǎn)１傳至點(diǎn)2的熱量：

Q11At(T1T2)x12

(159a)

由點(diǎn)2傳至點(diǎn)3的熱量：

Q2hiAt(T2T3)(159b)

Q32At(T3T4)x22

(159c)

式中：

A鑄件和鑄型單元間的接觸面面積。

改變式（1-59a）、（1-5b）和（1-59c）的形式：

T1T2x1Q(160)

21At1T2T3T3T41Q2(161)hiAtx2Q(162)

22At3假定熱的流動(dòng)是穩(wěn)定的，則有Q1Q2Q3Q，分別相加三個(gè)等式的左右兩端，得：

T1T4(x11x2Q)(163)21hi22At當(dāng)我們忽略間隙的寬度時(shí)，由點(diǎn)1傳至點(diǎn)4的熱量可寫成：

QAt(T1T4)x1x222

(164)

或

T1T4x1x2Q(165)

2At比較式（1-63）和（1-65）可得：

x1x2x11x2(166)

221hi式（1-66）的左右兩邊分別是由點(diǎn)１至點(diǎn)４的總熱阻，右邊是鑄件和鑄型各個(gè)單元寬度上的熱阻和間隙熱阻（接觸熱阻）之和。推導(dǎo)這一公式時(shí)雖然做了穩(wěn)定熱流的假定，但從式（1-66）可以看出，它與熱流無關(guān)，因此對(duì)于不穩(wěn)定的熱流，這一公式仍然成立。用另一種形式寫出式（1-66）：

12()x1x21hi21x1x2

(167)

對(duì)于均勻網(wǎng)格，x1x2x，故有：

1121212xhi(168)

在砂型鑄造中，砂型的導(dǎo)熱系數(shù)一般為10J/(cms℃）數(shù)量級(jí)，而界面換熱系數(shù)為10～1021

3J/(cm2s℃）數(shù)量級(jí)。因此式（1-58）中分母的第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)，在

計(jì)算中可以忽略不計(jì)。于是在砂型鑄造中：

212(169)

12在前面，用解析法處理砂型鑄造的凝固問題時(shí)，我們?cè)�忽略了界面中的接觸熱阻,在這里找到了其根據(jù)。

4．邊界條件

熱傳導(dǎo)問題的邊界條件常以如下三種形式給出，分別稱第一、第二和第三類邊界條件。第一類邊界條件：邊界上的溫度為已知。用式表達(dá)為：

TT(S,t)(170)

式中，S為邊界上的動(dòng)點(diǎn)。鑄造問題中邊界上的溫度T作為常數(shù)處理的情況是常有的，鑄型底面和對(duì)于吃砂量較大因而鑄件凝固過程中鑄型表面升溫不大的情況，可把鑄型表面溫度視為常數(shù)。實(shí)測(cè)鑄型邊界各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的變化，構(gòu)成式（1-70）形式的函數(shù)關(guān)系；或直接將此數(shù)據(jù)用于數(shù)值計(jì)算，在模擬的準(zhǔn)確度要求較高時(shí)也可采用。但這種方法的缺點(diǎn)是只有在鑄件澆注并實(shí)測(cè)了邊界溫度后才能進(jìn)行模擬計(jì)算，而不能在澆注前進(jìn)行預(yù)測(cè)性模擬計(jì)算。

第二類邊界條件：邊界上的熱流量為已知。這個(gè)問題常以熱流密度為已知的形式表達(dá)：

式中：

Tq(S,t)(171)nn邊界上的外法線。

鑄造問題中，鑄型某些部分的造型材料采用絕熱材料時(shí)，鑄件表面可視為絕熱邊界，相當(dāng)于（1-71）式中q0，即：T0n有時(shí)為減少計(jì)算量，把鑄件從其熱對(duì)稱面分割為若干部分來計(jì)算，這時(shí)可將這些對(duì)稱面作為絕熱邊界條件來處理。由于熱流密度的測(cè)定比較麻煩，除了在絕熱條件和連鑄結(jié)晶器上的冷卻之外，很少采用第二類邊界條件。

第三類邊界條件：邊界上進(jìn)行自由熱交換。用式表示為：

式中：

Th(TT)(172)th邊界上的換熱系數(shù)；

T、T－分別為邊界單元和環(huán)境溫度。

在鑄件凝固過程中，冒口頂部的熾熱金屬經(jīng)常顯露在鑄型表面，這種情況也應(yīng)按第三類邊界條件計(jì)算，但這時(shí)熱交換量以輻射熱交換式來計(jì)算：

式中：

T4F(T4T)(173)t8（6.7810J/(m2s℃）；斯蒂芬一玻爾茲曼常數(shù)，

。F輻射系數(shù)（≤1）

由于式（1-73）是關(guān)于T的四次方程，不能采用一般的線性方程組的解法，所以常采用

實(shí)測(cè)方法或簡(jiǎn)化為式（１-72）的形式求解，不過在采用后者的情況下，h值不再是一般的放熱系數(shù)，而是計(jì)算得來的當(dāng)量放熱系數(shù)或稱輻射放熱系數(shù)hr。它的求法如下：

4設(shè)F(T4T)h(TT)

于是有

2hrF(T2T)(TT)(174)

在鑄件凝固過程中，冒口表面溫度T通常大大超過車間空氣溫度T，故可將上式簡(jiǎn)化為：

hrFT3

在數(shù)值計(jì)算中，用前一個(gè)時(shí)段的冒口表面溫度計(jì)算hr值，再用hr值來計(jì)算下一個(gè)時(shí)段的冒口表面溫度。至于F值，在冒口頂面這樣的自由表面，可采用冒口頂部的黑度（輻射率）來代替。

邊界條件式（1-71）和（1-72）仍然是微分方程，為直接用于數(shù)值計(jì)算，也需要轉(zhuǎn)變?yōu)椴罘址匠�。這時(shí)通常采用如下方法：在邊界單元外側(cè)虛設(shè)一個(gè)單元，如圖1-12中的ei1,j單元，令該單元與邊界

圖1-12邊界外虛設(shè)單元ei1,j

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