暑假補課期間高二年級生物教學計劃

暑假補課期間高二年級生物教學計劃

高一年級生物備課組邵天會

暑假期間預計上完高中生物必修二的第六章和第七章，如有必修三教材，則繼續(xù)上必修三的第一章，如沒有，剛復習必修二全冊的內(nèi)容，具體到天的計劃如下：201*-7-11201*-7-12講期末統(tǒng)考試卷

第六章第一節(jié)雜交育種與誘變育種新課201*-7-13201*-7-14201*-7-15201*-7-16201*-7-17201*-7-18201*-7-19201*-7-20201*-7-21201*-7-22201*-7-23201*-7-24201*-7-25201*-7-26201*-7-27201*-7-28201*-7-29201*-7-30201*-7-31

201*-8-1201*-8-9201*-8-10201*-8-11201*-8-12第六章第一節(jié)雜交育種與誘變育種第六章第二節(jié)基因工程及應用第六章第二節(jié)基因工程及應用第六章第一節(jié)第二節(jié)周考周考周考題目處理

第七章第一節(jié)現(xiàn)代生物進化理論的由來第七章第一節(jié)現(xiàn)代生物進化理論的由來第七章第二節(jié)一種群基因頻率的改變與生物進化第七章第二節(jié)一種群基因頻率的改變與生物進化周考周考周考試題處理

第七章第二節(jié)二隔離與物種的形成第七章第二節(jié)二隔離與物種的形成第七章第二節(jié)三共同進化與生物多樣性的形成第七章第二節(jié)三共同進化與生物多樣性的形成周考

周考

講解周考考試試卷

第七章第一二三節(jié)第七章第一二三節(jié)第七章單元檢測題課時練新課課時練習題處理新課課時練新課課時練新課課時練新課課時練習題講解習題講解訓練

201*-8-13第七章單元檢測題講解201*-8-14周考201*-8-15周考201*-8-16周考題目處理

201*-8-17必修三第一章第一節(jié)細胞生活的環(huán)境新課201*-8-18必修三第一章第一節(jié)細胞生活的環(huán)境課時練201*-8-19必修三第一章第二節(jié)內(nèi)環(huán)境穩(wěn)態(tài)的重要性新課201*-8-20必修三第一章第二節(jié)內(nèi)環(huán)境穩(wěn)態(tài)的重要性課時練201*-8-21周考201*-8-22周考201*-8-23周考題目處理

201*-8-24必修三第一章第一二節(jié)習題講解201*-8-25必修三第二章第一節(jié)通過神經(jīng)系統(tǒng)的調節(jié)新課201*-8-26必修三第二章第一節(jié)通過神經(jīng)系統(tǒng)的調節(jié)課時練201*-8-27必修三第二章第二節(jié)通過激素的調節(jié)新課201*-8-28周考201*-8-29周考

以上計劃若遇特殊情況，可往后順延，希望本組老師能盡量按本計劃實施教學，以確保教學的進度和質量。

擴展閱讀：暑期高一補課計劃課時安排教案

課題: 1．1．1正弦定理

授課類型：新授課

●教學目標知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一�！窠虒W重點

正弦定理的探索和證明及其基本應用�！窠虒W難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)�！窠虒W過程Ⅰ.課題導入

如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉動。A思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？CBⅡ.講授新課

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

abcsinA，sinB，又sinC1,cccabc則cbcsinAsinBsinCabc從而在直角三角形ABC中，CaBsinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinBbsinA,則同理可得從而

asinAbsinB，CcsinCbsinB，baAcB

sinAsinBsinC(圖1．1-3)

1

abc

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作jAC，C由向量的加法可得ABACCB

則jABj(ACCB)AB∴jABjACjCBj

0jABcos90A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

acsinAsinCbc同理，過點C作jBC，可得sinBsinC從而

sinAsinBsinC類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abcasinAbsinBcsinC

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使aksinA，bksinB，cksinC；（2）

asinAsinBsinC從而知正弦定理的基本作用為：

bc等價于

asinAbsinB，

csinCbsinB，

asinAcsinC

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如absinA；sinB②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。[例題分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

abC1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根據(jù)正弦定理，

asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；

sinAsin32.00根據(jù)正弦定理，

asinC42.9sin66.20c74.1(cm).

sinAsin32.00評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，

bsinA28sin400sinB0.8999.

a20因為00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴當B640時，

C1800(AB)1800(400640)760，

asinC20sin760c30(cm).0sinAsin40⑵當B1160時，

C1800(AB)1800(4001160)240，

asinC20sin240c13(cm).

sinAsin400評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

Ⅲ.課堂練習

第5頁練習第1（1）、2（1）題。

[補充練習]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）

Ⅳ.課時小結（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：

asinAsinBsinC或aksinA，bksinB，cksinC(k0)（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。Ⅴ.課后作業(yè)

第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題�！癜鍟�設計●授后記

3

bcabckk0；

sinAsinBsinC

課題: 1.1.2余弦定理

授課類型：新授課

●教學目標知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。●教學重點

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；●教學難點

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用�！窠虒W過程Ⅰ.課題導入

C如圖1．1-4，在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和C，求邊cba

AcB

(圖1．1-4)

Ⅱ.講授新課[探索研究]

聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A

如圖1．1-5，設CBa，CAb，ABc，那么cab，則bc

cccabababb2abCaB2a2ab2ab2從而c2a2b22abcosC(圖1．1-5)

同理可證a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2c2a2cosA2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ba[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若ABC中，C=900，則cosC0，這時c2a","p":{"h

（見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）解：由余弦定理的推論得：

b2c2a2cosA

2bc

87.82161.72134.62287.8161.70.5543,A56020；c2a2b2cosB

2ca

134.62161.7287.822134.6161.70.8398,B32053；

C1800(AB)1800(5602032053)Ⅲ.課堂練習

第8頁練習第1（1）、2（1）題。

[補充練習]在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）

Ⅳ.課時小結

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。Ⅴ.課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第9頁[探究與發(fā)現(xiàn)]

②課時作業(yè)：第11頁[習題1.1]A組第3（1），4（1）題�！癜鍟�設計●授后記

課題: 1．1．3解三角形的進一步討論

授課類型：新授課

●教學目標知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。

過程與方法：通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關性質求解三角形問題。

情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數(shù)的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系�！窠虒W重點

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用�！窠虒W難點

正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用�！窠虒W過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情景]

思考：在ABC中，已知a22cm，b25cm，A1330，解三角形。

（由學生閱讀課本第9頁解答過程）

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。Ⅱ.講授新課[探索研究]

b,A，討論三角形解的情況例1．在ABC中，已知a,分析：先由sinB則C1800(AB)從而cbsinA可進一步求出B；aasinCA1．當A為鈍角或直角時，必須ab才能有且只有一解；否則無解。2．當A為銳角時，

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若absinA，則有兩解；（2）若absinA，則只有一解；（3）若absinA，則無解。

（以上解答過程詳見課本第910頁）

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且bsinAab時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。[隨堂練習1]

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若a1，c1，C400，則符合題意的b的值有_____個。2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）2x22）

例2．在ABC中，已知a7，b5，c3，判斷ABC的類型。分析：由余弦定理可知

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形a2b2c2A是鈍角ABC是鈍角三角形a2b2c2A是銳角ABC是銳角三角形（注意：A是銳角ABC是銳角三角形）

解：725232，即a2b2c2，∴ABC是鈍角三角形。

[隨堂練習2]

（1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判斷ABC的類型。（2）已知ABC滿足條件acosAbcosB，判斷ABC的類型。

（答案：（1）ABC是鈍角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3．在ABC中，A600，b1，面積為

abc3，求的值

sinAsinBsinC2111分析：可利用三角形面積定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理

222asinAbsinBcsinCabc

sinAsinBsinC3得c2，2解：由SbcsinA12則a2b2c22bccosA=3，即a3，

從而

abca2

sinAsinBsinCsinAⅢ.課堂練習

（1）在ABC中，若a55，b16，且此三角形的面積S2203，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積S（答案：（1）600或1200；（2）450）

Ⅳ.課時小結

（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；

8

a2b2c24，求角C

（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應用。

Ⅴ.課后作業(yè)

（1）在ABC中，已知b4，c10，B300，試判斷此三角形的解的情況。（2）設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。（3）在ABC中，A600，a1，bc2，判斷ABC的形狀。

（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程5x27x60的根，求這個三角形的面積�！癜鍟�設計●授后記

9

課題: 2.2解三角形應用舉例

第一課時

授課類型：新授課

●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語

過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結合學生的實際情況，采用“提出問題引發(fā)思考探索猜想總結規(guī)律反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力●教學重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解●教學難點

根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖●教學過程Ⅰ.課題導入1、[復習舊知]

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、[設置情境]

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解

[例題講解]

(2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)

啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得

AB=ACsinACBsinABCAB=ACsinACB

sinABC=55sinACB

sinABC=

55sin75

sin(1805175)=55sin75

sin54≈65.7(m)

答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。解略：2akm

例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=，

ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，應用正弦定理得

AC=BC=

asin()=asin()

sin[180()]sin()asinasin=sin[180()]sin()計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離AB=AC2BC22ACBCcos

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，

BDA=60

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些

過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。

學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。Ⅲ.課堂練習

課本第14頁練習第1、2題Ⅳ.課時小結

解斜三角形應用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解Ⅴ.課后作業(yè)

課本第22頁第1、2、3題●板書設計●授后記

課題: 2.2解三角形應用舉例

第二課時

授課類型：新授課

●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題

過程與方法：本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導討論歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間

情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力

●教學重點

結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題●教學難點

能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件●教學過程Ⅰ.課題導入

提問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶�？今天我們就來共同探討這方面的問題Ⅱ.講授新課[范例講解]

例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB長的關鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。

解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD=a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得

AC=

asinsin()

AB=AE+h=ACsin+h

=

asinsin+hsin()例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=5440，在塔底C處測得A處的俯角=501。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)

師:根據(jù)已知條件,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在ABD中求CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。

解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根據(jù)正弦定理,

BCAB=

sin()sin(90)BCsin(90)BCcos所以AB==

sin()sin()解RtABD中,得BD=ABsinBAD=將測量數(shù)據(jù)代入上式,得

BCcossin

sin()27.3cos501sin5440BD=

sin(5440501)27.3cos501sin5440=

sin439

≈177(m)

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)

答:山的高度約為150米.

例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.

師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？生：在BCD中

師：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長？生：BC邊

解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根據(jù)正弦定理,

BCAB=,sinAsinCABsinA5sin15BC==sin10sinC≈7.4524(km)

CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)

答:山的高度約為1047米

Ⅲ.課堂練習：課本第17頁練習第1、2、3題Ⅳ.課時小結：利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕�。�?課后作業(yè)：1，課本第23頁練習第6、7、8題

為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，則塔AB的高度為多少m？

203(m)3●板書設計●授后記

答案：20+

課題: 2.2解三角形應用舉例

第三課時

授課類型：新授課

●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關內(nèi)容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應通過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強調知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。●教學重點

能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系●教學難點

靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題●教學過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情境]提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。

Ⅱ.講授新課[范例講解]

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01nmile)

學生看圖思考并講述解題思路

教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。

解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根據(jù)余弦定理，

AC=AB2BC22ABBCcosABC=67.5254.02267.554.0cos137≈113.15根據(jù)正弦定理,

BC=ACsinCABsinABCACsinCAB=BCsinABC

54.0sin137=

113.15≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0

答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15nmile

例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進103m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。

師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。生：上臺板演方位圖（上圖）

教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，

ADC=180-4，103=

sin230。

sin(1804)因為sin4=2sin2cos2

cos2=

3,得2=302=15，

在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設方程來求解）設DE=x，AE=h在RtACE中,(103+x)2+h2=302在RtADE中,x2+h2=(103)2兩式相減，得x=53,h=15

在RtACE中,tan2=2=30,=15

h103x=

33答：所求角為15，建筑物高度為15m

解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8，由題意，得

BAC=，CAD=2，

AC=BC=30m,AD=CD=103m在RtACE中，sin2=在RtADE中，sin4=

x---------①304103,---------②

②①得cos2=

3,2=30,=15，AE=ADsin60=152答：所求角為15，建筑物高度為15m

例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？

師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型

分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ACB=75+45=120

(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120化簡得32x2-30x-27=0，即x=

39,或x=-(舍去)216所以BC=10x=15,AB=14x=21,

BCsin1201*353又因為sinBAC===AB21421BAC=3813,或BAC=14147（鈍角不合題意，舍去），3813+45=8313

答：巡邏艇應該沿北偏東8313方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.

評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關現(xiàn)實生活的

應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解Ⅲ.課堂練習

課本第18頁練習Ⅳ.課時小結

解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。Ⅴ.課后作業(yè)

1、課本第23頁練習第9、10、11題

2、我艦在敵島A南偏西50相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示）●板書設計●授后記

課題: 2.2解三角形應用舉例

授課類型：新授課

●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題,掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用

過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗●教學重點

推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目●教學難點

利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題●教學過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情境]

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在

ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、hb、hc，那么它們?nèi)绾斡靡阎�邊和角�?/p>

示？

生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinChc=asinB=bsinaA

1ah,應用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推導出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？

211生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB

22師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解Ⅱ.講授新課[范例講解]

師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S=

例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;

（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應用S=S=

1acsinB，得2114.823.5sin148.5≈90.9(cm2)2b=c

sinCsinBsinB(2)根據(jù)正弦定理，

c=bsinC

S=

11bcsinA=b2sinCsinA22sinBA=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5

sin65.8sin51.512S=3.16≈4.0(cm2)2sin62.7(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2a2b2cosB=

2ca38.7241.4227.32=

238.741.4≈0.7697

sinB=1cos2B≈10.76972≈0.6384應用S=S≈

1acsinB，得2141.438.70.6384≈511.4(cm2)2例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm2）？

師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？

生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，

c2a2b2cosB=

2ca1272682882=≈0.7532

212768sinB=10.753220.6578

1acsinB21S≈681270.6578≈2840.38(m2)

2應用S=

答：這個區(qū)域的面積是2840.38m2。例3、在ABC中，求證：

a2b2sin2Asin2B;（1）

c2sin2C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設

a=b=c=k

sinAsinBsinC顯然k0，所以

a2b2k2sin2Ak2sin2B左邊=c2k2sin2Csin2Asin2B==右邊2sinC（2）根據(jù)余弦定理的推論，

b2c2a2a2b2c2c2a2b2右邊=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求a及ABC的面積S提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

變式練習2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，（1）acosA=bcosB（2）sinC=

sinAsinB

cosAcosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（1）師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。

生1：（余弦定理）得

b2c2a2c2a2b2a=b

2bc2cac2(a2b2)a4b4=(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2

根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B,2A=2B,A=B

根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？

生：第一位同學的正確。第二位同學遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補，即2A+2B=180，A+B=90

(2)（解略）直角三角形

Ⅲ.課堂練習

課本第21頁練習第1、2題Ⅳ.課時小結

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。Ⅴ.課后作業(yè)

課本第23頁練習第12、14、15題●板書設計●授后記

⒈數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.

注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；

⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).⒉數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，，第n項，.

例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“9”是這個數(shù)列中的第6項.

⒊數(shù)列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或簡記為an，其中an是數(shù)列的第n項結合上述例子，幫助學生理解數(shù)列及項的定義.②中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，“

1”是這個數(shù)列的第“3”項，等等3下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：

1111項1

2345↓↓↓↓↓

序號12345

這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：an1來表示其對應關系n即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應的各項結合上述其他例子，練習找其對應關系

⒋數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.

注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列④；

⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，它的通項公式

n11(1)n1|.可以是an，也可以是an|cos22⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項.

數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．5.數(shù)列與函數(shù)的關系

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N（或它的有限子集{1，2，3，，n}）為定義域的函數(shù)anf(n)，

*

當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。

反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6．數(shù)列的分類：

1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：

有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項的大小分：

遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。

擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列[補充練習]：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：

(1)3,5,9,17,33,；(2)

426810,,,,,；315356399(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；

2n1(1)n解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；

(2n1)(2n1)2(4)將數(shù)列變形為1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,,

1(1)n∴an＝n＋；

21、通項公式法

如果數(shù)列an的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。如數(shù)列

的通項公式為

；；；

的通項公式為

的通項公式為

2、圖象法

啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項數(shù)為橫坐標，相應的項

為縱坐標，即以

為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列

為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫

坐標為正整數(shù)，所以這些點都在

軸的右側，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可

以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．3、遞推公式法

知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題．觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型．模型一：自上而下：

第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3

第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3

若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且ann3(1≤n≤7）

運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關系

自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。

即a14；a2541a11；a3651a21依此類推：anan11（2≤n≤7）

對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an1（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。

如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：a13,a25,anan1an2(3n8)

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用示第一項，用4、列表法

．簡記為

[范例講解]

．

表示第一項，，用

表示第項，依次寫出成為

表

a11例3設數(shù)列an滿足寫出這個數(shù)列的前五項。1a1(n1).nan1解：分析：題中已給出an的第1項即a11，遞推公式：an11an1

解：據(jù)題意可知：a11,a21[補充例題]

158112,a52,a31，a41a335a1a23例4已知a12，an12an寫出前5項，并猜想an．

法一：a12a22222a322223，觀察可得an2n法二：由an12an∴an2an1即

an2an1∴

anan1an2a22n1an1an2an3a1∴ana12n12n

[補充練習]

1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式(1)a1＝0,an1＝an＋(2n－1)(n∈N)；(2)a1＝1,an1＝

2an

(n∈N)；

an2

(3)a1＝3,an1＝3an－2(n∈N).

解：(1)a1＝0,a2＝1,a3＝4,a4＝9,a5＝16,∴an＝(n－1);(2)a1＝1,a2＝

21212222,a3＝,a4＝,a5＝,∴an＝;352436n1012(3)a1＝3＝1+23,a2＝7＝1+23,a3＝19＝1+23,

a4＝55＝1+233,a5＝163＝1+234,∴an＝1＋23n1;

1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，

這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵．對于數(shù)列{an},若an－an1=d(與n無關的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差。

2．等差數(shù)列的通項公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得若一等差數(shù)列an的首項是a1，公

差是d，則據(jù)其定義可得：

a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12da4a3d即：a4a3da13d

由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：ana1(n1)d

∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項an。由上述關系還可得：ama1(m1)d即：a1am(m1)d

則：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d即等差數(shù)列的第二通項公式anam(nm)d∴d=

aman

mn[范例講解]

例1⑴求等差數(shù)列8，5，2的第20項

⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13的項？如果是，是第幾項？

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49⑵由a15,d9(5)4得數(shù)列通項公式為：an54(n1)由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項

例3已知數(shù)列{an}的通項公式anpnq，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？

分析：由等差數(shù)列的定義，要判定an是不是等差數(shù)列，只要看anan1（n≥2）是不是一個與n無關的常數(shù)。

解：當n≥2時,（取數(shù)列an中的任意相鄰兩項an1與an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p為常數(shù)

∴{an}是等差數(shù)列，首項a1pq，公差為p。

注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，

②若p≠0,則{an}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點均在一次函數(shù)

y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.

③數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3

通項公式。

④判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足3個通項公式中的一個。

[補充練習]

1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，的第4項與第10項.

分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項.

a1=3,d=7－3=4.∴該數(shù)列的通項公式為：解：根據(jù)題意可知：（n－1）×4,即an=4nan=3+

－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15,a10=4×10－1=39.

評述：關鍵是求出通項公式.

（2）求等差數(shù)列10，8，6，的第20項.解：根據(jù)題意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴該數(shù)列的通項公式為：（n－1）×（－2）,即：an=10+an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.

評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.

（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.

分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得an等于這一數(shù).

解：根據(jù)題意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此數(shù)列通項公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數(shù)列的第15項.

（4）－20是不是等差數(shù)列0，－3說明理由.

1，－7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，2177∴此數(shù)列的通項公式為：an=－n+,222777747令－n+=－20,解得n=因為－n+=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這

22227個數(shù)列的項.

3．有幾種方法可以計算公差d

解：由題意可知：a1=0,d=－3①d=an－an1②d=

ana1aam③d=nn1nm問題：如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應滿足什么

條件？

由定義得A-a=b-A，即：Aab229

ab，則A-a=b-A2aba,b,成等差數(shù)列由此可可得：A2反之，若A[補充例題]

例在等差數(shù)列{an}中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.

分析：要求一個數(shù)列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式入手解：∵{an}是等差數(shù)列

∴a1+a6=a4+a3=9a3=9－a4=9－7=2

∴d=a4－a3=7－2=5

∴a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列

∴a3=2,a9=32

（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？為什么？（2）2anan1an1(n1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結論？（3）2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么結論？結論：（性質）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，amanapaq即m+n=p+qamanapaq(m,n,p,q∈N)

但通常①由amanapaq推不出m+n=p+q，②amanamnⅢ.課堂練習

1.在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，求首項a1與公差d2.在等差數(shù)列an中,若a56a815求a141．等差數(shù)列的前n項和公式1：Snn(a1an)2證明：Sna1a2a3an1an①

Snanan1an2a2a1②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)∵a1ana2an1a3an2∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)2從而我們可以驗證高斯十歲時計算上述問題的正確性2．等差數(shù)列的前n項和公式2：Snna1n(n1)d2用上述公式要求Sn必須具備三個條件：n,a1,an但ana1(n1)d代入公式1即得：Snna1n(n1)d2此公式要求Sn必須已知三個條件：n,a1,d（有時比較有用）由例3得與an之間的關系：

由Sn的定義可知，當n=1時，S1=a1；當n≥2時，an=Sn-Sn1，即an=S1(n1).

SnSn1(n2)n(a1an)2n(n1)d21.等差數(shù)列的前n項和公式1：Sn2.等差數(shù)列的前n項和公式2：Snna1結論：一般地，如果一個數(shù)列an,的前n項和為Snpn2qnr，其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？由Snpn2qnr，得S1a1pqr

當n2時anSnSn1=(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]=2pn(pq)

22danan1[2pn(pq)][2p(n1)(pq)]=2p

對等差數(shù)列的前n項和公式2：Snna1n(n1)d可化成式子：2Snd2dn(a1)n，當d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式2231

對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:（1）利用an:

當an>0，d0，d

“an≠0”是數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列的必要非充分條件．3q=1時，{an}為常數(shù)。

2.等比數(shù)列的通項公式1:ana1qn1(a1q0)由等比數(shù)列的定義，有：

a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q2；a4a3q(a1q2)qa1q3；

anan1qa1qn1(a1q0)3.等比數(shù)列的通項公式2:anamqm1(a1q0)4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列

探究：課本P56頁的探究活動等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系：

等比數(shù)列｛an｝的通項公式ana1qn1(a1q0),它的圖象是分布在曲線y（q>0）上的一些孤立的點。

當a10，q>1時，等比數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列；當a10，0q1，等比數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列；當a10，0q1時，等比數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列；當a10，q>1時，等比數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列；

當q0時，等比數(shù)列｛an｝是擺動數(shù)列；當q1時，等比數(shù)列｛an｝是常數(shù)列。[補充練習]

2.（1）一個等比數(shù)列的第9項是

a1xqq41，公比是－，求它的第1項（答案：a1=2916）93（2）一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項（答案：a1=

a2=5,qa4=a3q=40）

1．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)

G為a與b的等比中項.即G=±ab（a,b同號）

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則

GbG2abGab，aG反之，若G=ab,則≠0）

例題證明：設數(shù)列an的首項是a1，公比為q1;bn的首項為b1，公比為q2，那么數(shù)列anbn的第n項與第n+1項分別為：

2Gb2即a,G,b成等比數(shù)列�！郺,G,b成等比數(shù)列G=ab（ab，

aGa1q1n1b1q2與a1q1b1q2即為a1b1(q1q2)n1與a1b1(q1q2)nn1nnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2.

anbna1b1(q1q2)n1它是一個與n無關的常數(shù)，所以anbn是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列拓展探究：

對于例題中的等比數(shù)列{an}與{bn}，數(shù)列{

an}也一定是等比數(shù)列嗎？bnana，則cn1n1bnbn1探究：設數(shù)列{an}與{bn}的公比分別為q1和q2，令cnacn1bn1abq(n1)(n1)1，所以，數(shù)列{n}也一定是等比數(shù)列。

anbncnanbnq2bnan122已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，（1）a5a3a7是否成立？a5a1a9成立嗎？為什么？

2（2）anan1an1(n1)是否成立？你據(jù)此能得到什么結論？

2anankank(nk0)是否成立？你又能得到什么結論？

結論：2．等比數(shù)列的性質：若m+n=p+k，則amanapak在等比數(shù)列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么關系呢？由定義得：ama1qm1ana1qn1apa1q2p1aka1qk1

amana1qmn2，apaka1qpk2則amanapak

1、等比數(shù)列的前n項和公式：

2

aanqa1(1qn)當q1時，Sn①或Sn1②

1q1q當q=1時，Snna1

當已知a1,q,n時用公式①；當已知a1,q,an時，用公式②.

公式的推導方法一：

一般地，設等比數(shù)列a1,a2a3,an它的前n項和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3an由n1aaq1n2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)∴當q1時，Sn①或Sn1②

1q1q當q=1時，Snna1

公式的推導方法二：

有等比數(shù)列的定義，

aa2a3nqa1a2an1a2a3anSa1nq

a1a2an1Snan根據(jù)等比的性質，有

即

Sna1q(1q)Sna1anq（結論同上）

Snan圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導出了公式．公式的推導方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（結論同上）

Ⅱ.講授新課

1、等比數(shù)列前n項，前2n項，前3n項的和分別是Sn，S2n，S3n，

2求證：S2nS2nSn(S2nS3n)

2、設a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a，3a，，na，的前n項和；（1）a=0時，Sn=0

（2）a≠0時，若a=1，則Sn=1+2+3++n=

n-1

n

23n

1n(n1)2若a≠1，Sn-aSn=a（1+a++a-na），Sn=

ann1[1(n1)ana]2(1a)

1、數(shù)列

[數(shù)列的通項公式]ana1S1(n1)[數(shù)列的前n項和]Sna1a2a3an

SS(n2)n1n

2、等差數(shù)列

[等差數(shù)列的概念]

[定義]如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。[等差數(shù)列的判定方法]

1．定義法：對于數(shù)列an，若an1and(常數(shù))，則數(shù)列an是等差數(shù)列。2．等差中項：對于數(shù)列an，若2an1anan2，則數(shù)列an是等差數(shù)列。[等差數(shù)列的通項公式]

如果等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則等差數(shù)列的通項為ana1(n1)d。[說明]該公式整理后是關于n的一次函數(shù)。

n(a1an)n(n1)d[等差數(shù)列的前n項和]1．Sn2.Snna122[說明]對于公式2整理后是關于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。[等差中項]

如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。即：Aab或2Aab2[說明]：在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。[等差數(shù)列的性質]

1．等差數(shù)列任意兩項間的關系：如果an是等差數(shù)列的第n項，am是等差數(shù)列的第m項，且mn，公差為d，則有anam(nm)d

2．對于等差數(shù)列an，若nmpq，則anamapaq。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

，如圖所示：1a2an1*也就是：a1ana2an1a3an23．若數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差數(shù)列。如下圖所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3kSk

S2kSk36

S3kS2k

3、等比數(shù)列

[等比數(shù)列的概念]

[定義]如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中項]

如果在a與b之間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。

Gb2，即Gab。aGa[等比數(shù)列的判定方法]定義法：對于數(shù)列an，若n1q(q0)，則數(shù)列an是等比數(shù)列。

an也就是，如果是的等比中項，那么

22．等比中項：對于數(shù)列an，若anan2anan是等比數(shù)列。1，則數(shù)列[等比數(shù)列的通項公式]

如果等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則等比數(shù)列的通項為ana1qn1。[等比數(shù)列的前n項和]

a1(1qn)a1anqS(q1)123當q1時，Snna1S○n○n1q(q1)○1q[等比數(shù)列的性質]

1．等比數(shù)列任意兩項間的關系：如果an是等比數(shù)列的第n項，am是等差數(shù)列的第m項，且mn，公比為q，則有anamqnm

3．對于等比數(shù)列an，若nmuv，則anamauav

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

。如圖所示：1a2an1也就是：a1ana2an1a3an24．若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成

等比數(shù)列。如下圖所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3kSkS2kSkS3kS2k4、數(shù)列前n項和（1）重要公式：

（3）等比數(shù)列中，

123nn(n1)；2n(n1)(2n1)；

6SmnSnqnSmSmqmSn

（4）裂項求和：

122232n2111；

n(n1)nn111323n3[n(n1)]22（nn!(n1)!n!）

（2）等差數(shù)列中，SmnSmSnmnd

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