例談歸納總結(jié)法提高學(xué)生解題能力

例談歸納總結(jié)法提高學(xué)生解題能力

鄱陽(yáng)縣教師進(jìn)修學(xué)校附中婁彩虹

在教學(xué)中我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生只會(huì)做書(shū)本上現(xiàn)成的數(shù)學(xué)題，不會(huì)從一個(gè)數(shù)學(xué)題想到一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，也不會(huì)歸納出這一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題規(guī)律。學(xué)生為什么會(huì)產(chǎn)生這種現(xiàn)象？原來(lái)我們老師在平時(shí)教學(xué)中只注重教學(xué)生解答現(xiàn)成的數(shù)學(xué)題及其答案的準(zhǔn)確性，而忽視知識(shí)本身的發(fā)生過(guò)程及與之相關(guān)的問(wèn)題。若我們平時(shí)能的有意識(shí)地重視這一點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納總結(jié)以及解題的能力上定能起到事半功倍的效果。下面筆者就幾個(gè)問(wèn)題談?wù)勛约旱淖鞣ㄅc體會(huì)：一、“牛喝水”問(wèn)題

例1、如圖1，小明在草地上放牛，他想先牽牛到河邊飲水，然后再回家，卻不知牽牛到河邊的哪一點(diǎn)飲水，才使行走的路程最短？

解：作A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連結(jié)A′B與l相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的位置為所求。

通過(guò)這一例子，我們可以把這個(gè)問(wèn)題拓展，而出示一些與之有關(guān)的習(xí)題，讓學(xué)生在練習(xí)中思考，在思考中歸納，而形成解這一類(lèi)問(wèn)題的能力。并告知學(xué)生這一類(lèi)問(wèn)題我們都可稱(chēng)為“牛喝水”問(wèn)題。1、如圖2，要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋�(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供

氣，泵站修在管道的什么地方可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？

2、點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）在X軸上找

一點(diǎn)C，使AC+BC最小，求C點(diǎn)的坐標(biāo)。（答案：C（-5/3，0））3、如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，

MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值是多少

4、如圖，在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，

點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長(zhǎng)的

最小值為

5、在RT△ABC中,已知角B=90°,AB=6,BC=8,D,E,F,分別是AB,BC,CA三邊上的點(diǎn),則DE+EF+FD的最小值。（答案9.6）二、“握手”問(wèn)題

例2，參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉找淮问郑�所有人共握�?5次，有多少人參加聚會(huì)？解：設(shè)有n人參加聚會(huì)依題意得：

n（n-1）/2=45

解方程的n1=10,n2=-9(舍去)答：一共有10個(gè)人參加聚會(huì)。

通過(guò)這一例子，可以把下面一些問(wèn)題向?qū)W生提出，讓學(xué)生自己去解答，從而歸納總結(jié)出解決這一類(lèi)問(wèn)題的方法。并啟發(fā)學(xué)生這一類(lèi)問(wèn)題都可稱(chēng)為“握手”問(wèn)題。

1、

元旦前夕,老師讓九（5）班同學(xué)互相寫(xiě)新年祝福詞,已知共寫(xiě)祝福詞1540條,這個(gè)班共有多少名學(xué)生？（答案56名）2、

3個(gè)球隊(duì)參加足球比賽,兩兩各賽一場(chǎng),共賽__場(chǎng);4個(gè)球隊(duì)參加足球比賽,兩兩各賽一場(chǎng),共賽__場(chǎng);n個(gè)球隊(duì)參加足球比賽,兩兩各賽一場(chǎng),共賽__場(chǎng).

3、同一線(xiàn)上有n個(gè)點(diǎn),共有__條線(xiàn)段.

4、同一頂點(diǎn)出發(fā)的射線(xiàn)有n條,共構(gòu)成__個(gè)角.5、同一平面內(nèi),n條直線(xiàn)兩兩相交,共有__個(gè)交點(diǎn).三、“塔高”問(wèn)題

例3，周末，身高都為1.6米的小芳、小麗來(lái)到溪江公園，準(zhǔn)備用她們所學(xué)的知識(shí)測(cè)算南塔的高度。如圖5小芳站A處測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋菫?5°，小麗站B處測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋菫?0°，她們又測(cè)出AB兩地的距離為30米。假設(shè)她們眼睛離頭頂?shù)亩紴?0厘米，求南塔的高度？

解：已知小芳站在A處測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋铅翞?5°，小麗站在B處（A、B與塔的軸心共線(xiàn)）測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋铅聻?0°，A、B兩點(diǎn)的距離為30米．假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm，所以設(shè)塔高為x米則得：

x1.60.1=tan30°

x1.60.130解得：x≈42.48

這是一個(gè)典型的解直角三角形求塔高問(wèn)題，也是考試中常遇到的一個(gè)問(wèn)題，我們也可把下面一些習(xí)題集中起來(lái)讓學(xué)生去練習(xí)和思考，讓他們自己歸納總結(jié)，從而得到解決這一類(lèi)問(wèn)題的方法。

1、海中有一小島A，它的周?chē)?海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島在北偏東30°方向上。如果漁船不變航線(xiàn)繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？

2、某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在開(kāi)展“保護(hù)環(huán)境，愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的活動(dòng)中，利用課外時(shí)間測(cè)量一棵古樹(shù)的高，由于樹(shù)的周?chē)�有水池，同學(xué)們?cè)诘陀跇?shù)基3.3米的一平壩內(nèi)（如圖），測(cè)得樹(shù)頂A的仰角∠ACB=60°，沿直線(xiàn)BC后退6米到點(diǎn)D，又測(cè)得樹(shù)頂A的仰角∠ADB=45°，若測(cè)角儀DE高1.3米，求這棵樹(shù)的高AM．（結(jié)果保留兩位小數(shù)，≈1.732）

3、如圖，李明同學(xué)在東西方向的濱海路A處，測(cè)得海中燈塔P在北偏東60°方向上，他向東走400米至B處，測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，求燈塔P到濱海路的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）

總之，教師如果在教學(xué)中多注重讓學(xué)生自己去歸納總結(jié)，尋求解決問(wèn)題的規(guī)律性，學(xué)生就能舉一反三，大大提高學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生輕松而愉快地把數(shù)學(xué)學(xué)好。

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淺談如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

寧波市第二技師學(xué)院數(shù)學(xué)組聶德升

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家G"波利亞說(shuō)過(guò)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題。”但數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，無(wú)窮無(wú)盡，“題�！泵Ｃ�。要使學(xué)生身臨題海而得心應(yīng)手，身居考室而處之泰然，就必須培養(yǎng)他們的解題應(yīng)變能力。有了較強(qiáng)的應(yīng)變能力，在漫游“題�！睍r(shí)，才能隨機(jī)應(yīng)變。教師在教學(xué)中如何更好地引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是一件不容易的事，它是一項(xiàng)長(zhǎng)期性的工作。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的核心，學(xué)數(shù)學(xué)就意味著解題。顯然，解題能力標(biāo)志著一個(gè)人的數(shù)學(xué)水平。那么做為數(shù)學(xué)教師，能否培養(yǎng)并提高學(xué)生的解題能力，不僅直接關(guān)系到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成功與否，而且也是該教師數(shù)學(xué)教學(xué)業(yè)務(wù)水平高低的重要標(biāo)尺之一，尤其是以問(wèn)題的解決為重心的職業(yè)高中里的專(zhuān)業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)。教給方法，培養(yǎng)能力，是什么原因造成了學(xué)生“解題技能”和“解題智能”發(fā)展不均衡？這恐怕要涉及“教”、“學(xué)”、“思”三方面的原因。任教以來(lái)，在培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力方面，我進(jìn)行了一些初步的探索。那就是古人所謂的“授之以漁”。那么如何培養(yǎng)學(xué)生的解題應(yīng)變能力呢？我在這方面做過(guò)一點(diǎn)嘗試，在此淺談，以其引玉。

一、就“教”而言

我認(rèn)為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，教師應(yīng)重視如下幾個(gè)方面

w.21cn1、在平時(shí)的課堂教學(xué)中重視對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能的訓(xùn)練。

對(duì)教學(xué)大綱中要求掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，不能粗枝大葉，蜻蜓點(diǎn)水。因?yàn)椋瑪?shù)

學(xué)中的許多問(wèn)題都是基礎(chǔ)知識(shí)的綜合，數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理是進(jìn)行推理、判斷、演算、解題的依據(jù)，因此，對(duì)數(shù)學(xué)中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等，教師在教學(xué)時(shí)要注意它們的形成過(guò)程和推理依據(jù)，并引導(dǎo)學(xué)生注意知識(shí)之間的銜接，讓學(xué)生隨著學(xué)習(xí)的深入，對(duì)它們的認(rèn)識(shí)和理解不斷深化。

例如：在教學(xué)絕對(duì)值的概念時(shí)，要重點(diǎn)分析“當(dāng)a0時(shí)，a＝a；當(dāng)a0時(shí)，a＝－a”的深刻含義，并在學(xué)生理解絕對(duì)值概念之后，可以給出以下習(xí)題加以鞏固。1、如果x＝－2，則x＝______________2、如果x2＝2，則x＝_________________3、化簡(jiǎn)：a2＝____________；

aa＝______________

4、已知x3+y12＝0，求3x2y＝_____________________

5、有理數(shù)a、試比較大�。海�1）a與b；（2）ab與ba。b在數(shù)軸上的位置如下圖，

a－10b1

通過(guò)這些習(xí)題的訓(xùn)練，讓學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的概念有了更深刻的認(rèn)識(shí)和理解。

另外，在基本技能的訓(xùn)練中，學(xué)生運(yùn)算能力的提高也是十分關(guān)鍵。因?yàn)檫\(yùn)算是解題的根本，只有運(yùn)算準(zhǔn)確，才能使綜合訓(xùn)練得以順利進(jìn)行，但是，許多學(xué)生的運(yùn)算能力比較差是一直存在的老問(wèn)題。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是多方面的，其中最重要的是許多學(xué)生在解題時(shí)往往是動(dòng)腦不動(dòng)手，動(dòng)嘴不動(dòng)筆，往往容易造成計(jì)算的錯(cuò)誤。因此，只有讓學(xué)生在思想上真正認(rèn)識(shí)到提高運(yùn)算能力的重要性，并在平時(shí)解題過(guò)程中克服粗心的毛病，才能逐漸提高學(xué)生的運(yùn)算能力。解題教學(xué)的本質(zhì)是“思維過(guò)程”，受年齡等因素的限制，學(xué)生思維發(fā)展有其特定的規(guī)律，這需要解題教學(xué)遵循學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)置最近發(fā)展區(qū)，進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練。

2、在平時(shí)的教學(xué)練中讓學(xué)生熟練地掌握基本的數(shù)學(xué)思維方法和常用的數(shù)學(xué)方法。

數(shù)學(xué)中的思維方法是在整體上指導(dǎo)我們分析和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般原則，巧妙地運(yùn)用

數(shù)學(xué)方法是我們解答數(shù)學(xué)題的有效途徑。作為教師在平時(shí)的教學(xué)中，一方面要善于引導(dǎo)學(xué)生一些基本的思維方法，另一方面又要重視指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法與掌握聯(lián)想、類(lèi)比、猜想、歸納等研究問(wèn)題的方法。解答綜合題的基本方法是分析綜合，這種思維方法就是：由“已知”猜想“可知”，由“未知”猜想“需知”。若能夠?qū)ⅰ翱芍�”與“需知”聯(lián)系起來(lái)，解題的途徑就會(huì)水到渠成。p在平時(shí)的課堂教學(xué)中，我非常重視例題的典范作用。因?yàn)楝F(xiàn)在學(xué)生的解題仍較依賴(lài)

com]m例題的解題模式、思路和步驟，從而實(shí)現(xiàn)解題的類(lèi)化。記得在《梯形》這部分內(nèi)容的一節(jié)復(fù)習(xí)課中，我只講了一道例題：

2wh8v2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;s如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，2wh8vj2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：以AD、AC為邊作平行四邊形ACED，DCBOO2wh8vj2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[2育EAC（網(wǎng)：延長(zhǎng)DC交EB于F，求證：EF=FB。AB2wh8vj2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]通過(guò)分析、討論，進(jìn)行一題多解，總共概括了8種解法，這8種證明方法將梯形問(wèn)題中重要輔助線(xiàn)添法、中位線(xiàn)的知識(shí)等都囊括其中。2wh8v2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;s可見(jiàn)，一道好例題的教學(xué)，對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和解題能力的提高有著積極的促進(jìn)作用。2wh8v2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;s而且在講解例題的過(guò)程中，我也堅(jiān)持不懈地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，并注意與實(shí)際聯(lián)系，收到了較好的效果。比如像函數(shù)部分有這么一道題：已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，則a+b+c的值（）A、等于0B、等于1C、等于-1D、不能確定此題若從數(shù)上考慮，可得b2a=2，9a+3b+c=0，用含a的代數(shù)式表示b、c后，代xD入求解。但若利用函數(shù)圖象，非常容易發(fā)現(xiàn)（3，0）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（1，0），代入函數(shù)解析式，即得a+b+c=0。13可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想是一種重要數(shù)學(xué)思想，不僅達(dá)到事半功倍的效果，還可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中最重要的方法之一，人們一般把代數(shù)稱(chēng)為“數(shù)”，把幾何稱(chēng)為“形”。數(shù)與形看上去是兩個(gè)相互對(duì)立的概念，其實(shí)它們?cè)谝欢�條件下可以相互轉(zhuǎn)化。代數(shù)方法容易操作，若不配以“形”，許多問(wèn)題過(guò)于抽象，理解困難；幾何圖形比較直觀，但證明幾何問(wèn)題常需添加輔助線(xiàn)，又使人感到難以捉摸，這就要借助“數(shù)”的方法去揭示其內(nèi)在規(guī)律。數(shù)量問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，反過(guò)來(lái)圖形問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題，而數(shù)形結(jié)合就是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的有效途徑。

例如：在學(xué)習(xí)“不等式”這一章時(shí)，特別要注意介紹“數(shù)形結(jié)合”的思想方法；在學(xué)習(xí)“函數(shù)及其圖像”時(shí)又要善于從圖像運(yùn)動(dòng)的變換這一特性去尋找規(guī)律。

解題中的數(shù)學(xué)思維源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解，所以習(xí)題的訓(xùn)練要回歸課本中所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)�？荚囶}往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，所以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力應(yīng)加強(qiáng)綜合能力的培養(yǎng)�？荚囶}對(duì)考生的能力要求，尤其對(duì)思維能力的要求越來(lái)越高，因此在平時(shí)的試題訓(xùn)練中，應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生從不同層次、不同角度、不同方向?qū)��?wèn)題進(jìn)行分析，以活躍思維。

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)重要而艱巨的任務(wù)，但不能急于求成，了不能盲目地搞題海戰(zhàn)術(shù)，習(xí)題的訓(xùn)練要有針對(duì)性，講求質(zhì)量，講求效益。在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，逐步使學(xué)生的思維能力由單向性發(fā)展為多向性。讓學(xué)生在解題過(guò)程中獲得樂(lè)趣，產(chǎn)生靈感、悟出解題的正確思路和方法。現(xiàn)實(shí)生活中，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，常說(shuō)的一句話(huà)：多動(dòng)腦筋，用較少的錢(qián)做更多的事，不正是這個(gè)思想的真實(shí)寫(xiě)照嗎？

當(dāng)然，在分析、講題的過(guò)程中，我也不忘暴露自己在解題過(guò)程中的思維過(guò)程�！盀槭裁匆�這樣做”、”怎么想到的?”，這些問(wèn)題是學(xué)生最感困難的。所以我就盡可能地將自身或者前人是如何看待問(wèn)題、又是如何找出解決問(wèn)題的辦法這一思維進(jìn)程展示給學(xué)生，幫助他們認(rèn)識(shí)和理解知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關(guān)系，從中領(lǐng)悟到分析、思考和解決問(wèn)題的思想方法和步驟，而且在適當(dāng)時(shí)機(jī)，我也會(huì)展示自己思維受阻、失敗的探索過(guò)程，分析其原因，從反面襯托正確思路的必要性與合理性，給學(xué)生以啟示。

3、在平時(shí)的教學(xué)中，注重讓學(xué)生對(duì)解題后的“反思”，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，受諸多條件和因素的影響。長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)表明，不少的同學(xué)在完成作業(yè)或進(jìn)行解題訓(xùn)練的過(guò)程中，普遍欠缺一個(gè)提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，就是解題后的“反思”。一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過(guò)反復(fù)思考，苦思冥想解出答案之后，就心滿(mǎn)意足了，而不再去思考、探索：這道題考查了我們哪些方面的概念、知識(shí)和能力？解答的每一步推理是否合理？這道題有沒(méi)有其他的解法？多種方法中哪一種比較簡(jiǎn)單一點(diǎn)？把這道題的條件或結(jié)論進(jìn)一步推廣又會(huì)如何？等等。

為了幫助學(xué)生養(yǎng)成解題后的“反思”這種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高解題技巧，在教學(xué)時(shí)，可選擇一些多種解題的習(xí)題，給學(xué)生訓(xùn)練。例如：已知：如圖，AB切⊙O于點(diǎn)C。求證：∠CBD＝∠ABD。

這道題可以引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線(xiàn)，有四種證法，如圖（證明過(guò)程從略）

EOｖ

CDAOCDAEB（1）EDECA

B（2）

證法一：如圖（1），延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，并連結(jié)EB，則∠ABD＝∠DEB，∠DBE＝900。

證法二：如圖（2），過(guò)D作⊙O的切線(xiàn)DE交AB于E，則DE⊥AO，∠ABD＝∠BDE。證法三：如圖（3），延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)E，并連結(jié)ED，則∠ABD＝∠DEB，又由垂徑定理可得∠CBD＝∠DEB。

證法四：如圖（4），連結(jié)BO并延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則∠ABD＝∠DEB＝∠EDO，∠EDB＝90。

0二、就“學(xué)”而言

2wh8vj2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;s學(xué)生提高解題能力的兩條主渠道：一是聽(tīng)課學(xué)習(xí)、二是解題實(shí)踐

學(xué)生在聽(tīng)課的過(guò)程中，確有一部分同學(xué)重“結(jié)論”勝于“過(guò)程”，重“程序”勝于“意義”，對(duì)老師精心設(shè)計(jì)的“知識(shí)生長(zhǎng)過(guò)程”、“結(jié)論發(fā)生過(guò)程”袖手旁觀，絲毫沒(méi)有投身其間、勇于探索的熱情，眼巴巴地等待“結(jié)論”的出現(xiàn)、“程序”的發(fā)生，久而久之，勢(shì)必造成數(shù)學(xué)思維的程序化，喪失鉆研問(wèn)題與解決問(wèn)題的思維銳氣，最后只有對(duì)見(jiàn)過(guò)的題型可以“照貓畫(huà)虎”，對(duì)不熟悉的題型則一籌莫展，消極地等待“外援”。

在解題時(shí)，學(xué)生多數(shù)為完成作業(yè)而“疲于奔命”，缺乏解題前的深刻理解題意和解題后的檢驗(yàn)回顧，這種急功近利式的解題方式，造成了數(shù)學(xué)作業(yè)量雖大但效益低下。更有甚者，有的學(xué)生迫于教師必收作業(yè)的壓力，盲目抄襲、對(duì)答案，老師改后也不改錯(cuò)，形成數(shù)學(xué)作業(yè)“一多”、“二假”、“三無(wú)效”(學(xué)生解題和老師批閱均為無(wú)效勞動(dòng))。針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中存在的問(wèn)題，老師可以在平時(shí)的教學(xué)中從以下幾方面加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練：

1、培養(yǎng)學(xué)生善于進(jìn)行總結(jié)歸納的習(xí)慣！

解題后，可以從解題方法、解題規(guī)律、解題策略等方面進(jìn)行多角度、多側(cè)面的總結(jié)。這樣才能舉一反三，觸類(lèi)旁通，提高解題能力。

例如，（高二代數(shù)）已知a，b，c，d都是正數(shù)，且a+b=1，c+d=1，求證：ac+bd≤1。證法一：由已知條件，得a+b+c+d=2。

22222222

根據(jù)算術(shù)平均與幾何平均不等式，有2(ac+bd)≤a+b+c+d=2，∴ac+bd≤1。

這樣從已知條件出發(fā)，借助基本不等式直接證得結(jié)論，顯得簡(jiǎn)捷明了。證法二：由已知條件可知a≤1，b≤1，c≤1，d≤1。于是設(shè)a=sinα,c=sinβ,則b=cosα,d=cosβ。

∴ac+bd=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α－β),∴ac+bd≤1。

這一證法，使用問(wèn)題轉(zhuǎn)化的策略，將代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，使證法顯得更為簡(jiǎn)明。當(dāng)然，無(wú)論哪種解法，都應(yīng)將解題方法及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，以促進(jìn)解題能力的提高。

2222

2、善于進(jìn)行引伸

解完一道題之后，要善于把它“改頭換面”。變成為多個(gè)與原題內(nèi)容或形式不同，但解法類(lèi)似或相似的題目，這樣可以擴(kuò)大視野，深化知識(shí)，從而提高解題能力。

例如：（初中平面幾何）邊長(zhǎng)為4的正方形CDEF，截去一角成五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=1，P是AB上一點(diǎn)，AP:PB=2（如圖示），求矩形PNDM的面積。

解：延長(zhǎng)NP交EF于K，延長(zhǎng)MP交CF于G，得PG=AF=

3123EAKFMGPB，

DNCPK=BF=

3223，

23∴矩形PNDM的面積=MP×NP=（4－）（4－

23）=11。

91解完這道題后可以作如下引伸：去掉條件“AP:PB=2”。于是矩形PNDM的面積因P點(diǎn)在AB上的不同位置而變化，可引伸為如下的題目：

邊長(zhǎng)為4的正方形CDEF，截去一角成五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=1，若P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并將矩形PNDM的面積記為S，求S的變化范圍。

若條件不變又可引伸為：①S的最大值、最小值分別是多少？②P點(diǎn)在怎樣的位置時(shí)S的值為10？

這樣從不同角度引伸，有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。3、善于進(jìn)行推廣

當(dāng)一道數(shù)學(xué)題解完之后，如果將命題中的特殊條件一般化，從而推得更為普

遍的結(jié)論，這就是數(shù)學(xué)命題的推廣。善于進(jìn)行推廣所獲得的就不只是一道題的解法，而是一組題、一類(lèi)題的解法。這有利于培養(yǎng)學(xué)生深入鉆研的良好習(xí)慣，激發(fā)他們的創(chuàng)造精神。

例如：求“2549>49！”推廣為“求證(n12；三角形中的余弦定)n>n！(n∈N)”

理是直角三角形的勾股定理的實(shí)質(zhì)推廣。

又如，求222之值。

解完這道題后，可以引導(dǎo)學(xué)生作如下推廣：①求aaa之值（a>0）；②求n2n2n2之值（n>1,n∈N）；③求nanana之值（n>1,n∈N。a>0）；④求。aa2a3之值（a>0）

這種推廣對(duì)活躍思路，開(kāi)闊視野，培養(yǎng)解題能力是大有裨益的。

培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，對(duì)發(fā)展學(xué)生的辯證唯物主義數(shù)學(xué)觀，有重要的教育意義。在解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中演練，感知，體會(huì)解題的思想方法，逐步形成一系列行之有效的解題策略，如，化繁為簡(jiǎn)，化生為熟，化整為零，化曲為直，以形論數(shù)，以數(shù)論形，等等。在遇到新的問(wèn)題情景時(shí)，能以有效的思維策略，去探索轉(zhuǎn)化的途徑。

為了抵制學(xué)生重“結(jié)論”的學(xué)習(xí)傾向，徹底走出數(shù)學(xué)作業(yè)“一多”、“二假”、“三無(wú)效”的誤區(qū)？醞釀再三，我對(duì)學(xué)生提出了如下兩條教學(xué)策略：

一是精選數(shù)學(xué)作業(yè)題，使學(xué)生脫離“題�！保涸谧鳂I(yè)方面，我能減則減，以學(xué)生通過(guò)精當(dāng)?shù)木毩?xí)，實(shí)現(xiàn)教師所期望的發(fā)展為度，而且對(duì)于不同層次的學(xué)生我還采取了分層作業(yè)，服從學(xué)生“解題技能”和“解題智能”的均衡發(fā)展的需要，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題“算法型”和“思辨型”的合理搭配。

二是建立“我能行”數(shù)學(xué)檔案袋，彌補(bǔ)課堂教學(xué)的不足

在課堂教學(xué)中，由于時(shí)間有限，不可能每道題都由學(xué)生講解、分析，這就少了很多給學(xué)生鍛煉的機(jī)會(huì)。因而，課后我讓學(xué)生精選自己認(rèn)為的好題進(jìn)行分析，重點(diǎn)寫(xiě)出分析過(guò)程、解決這一問(wèn)題時(shí)用到的知識(shí)、掌握的技能及最大收獲等。通過(guò)這一策略，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，對(duì)所用技能、方法的鞏固，是提升解題能力的點(diǎn)睛之筆。

三、就“思”而言

2wh8vj2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;s解數(shù)學(xué)題決不能解一題丟一題，這樣做無(wú)助于解題能力的提高。解題后的反思是提高解題能力的一個(gè)重要途徑。一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過(guò)一番艱辛，苦思冥想解出答案之后，必須要認(rèn)真進(jìn)行解題反思：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識(shí)和能力？驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無(wú)其他解法一題多解？眾多解法中哪一種最簡(jiǎn)捷？把本題的解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論舉一反三，多題一解？但許多同學(xué)在完成作業(yè)方面，因?yàn)閷W(xué)習(xí)態(tài)度和心理狀態(tài)的不同，或者老師缺少必要的指導(dǎo)和訓(xùn)練，大部分都缺少這一重要環(huán)節(jié)，未能形成良好的解題習(xí)慣，解題能力和思維品質(zhì)未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也就只能登堂未能入室。為了提高學(xué)生的解題能力，我經(jīng)常倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行有效的解題反思：鼓勵(lì)學(xué)生從解題方法、解題規(guī)律、解題策略等方面進(jìn)行多角度、多側(cè)面的總結(jié)。想想以前有沒(méi)有做過(guò)與原題內(nèi)容或形式不同，但解法類(lèi)似或相似的題目。如果將題目的特殊條件一般化，能否推得更為普遍的結(jié)論，這樣所獲得的就不只是一道題的解法，而是一組題、一類(lèi)題的解法。2wh8vj2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;s就拿以下一題來(lái)說(shuō)，已知如圖：ＡＢ和ＤＥ是直立在地面上的兩根石柱，ＡＢ＝５cm，某一時(shí)刻ＡＢ在陽(yáng)光下的投影ＢＣ＝３cm。⑴請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出此時(shí)ＤＥ在陽(yáng)光下的投影；⑵在測(cè)量ＡＢ的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)出ＤＥ在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為６cm，請(qǐng)你計(jì)算ＤＥ的長(zhǎng)。D2wh8vj2&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;&[21世紀(jì)教育網(wǎng)：]mp;sA這道題主要是利用相似三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際。在分析這一題時(shí)，我先做好題前反思，預(yù)見(jiàn)學(xué)生在解題過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)BCE誤，先讓學(xué)生來(lái)判斷這些做法是否正確，誤區(qū)一：默認(rèn)△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ；誤區(qū)二：默認(rèn)∠Ａ＝∠Ｄ；誤區(qū)三：由ＡＢ∥ＤＥ推△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ。對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤加以評(píng)述，讓學(xué)生在解題中增強(qiáng)識(shí)別、改正錯(cuò)誤的能力。然后再讓學(xué)生歸納、總結(jié)此題所用到的知識(shí)點(diǎn)，以及所用到的數(shù)學(xué)方法。再進(jìn)行延伸，是否做過(guò)同類(lèi)型的題，學(xué)生很容易就想到測(cè)量樹(shù)高等問(wèn)題，進(jìn)而引申到如何測(cè)量樹(shù)高，可有哪些方法？學(xué)生想到的比較多，利用物高與影長(zhǎng)成比例或是利用光學(xué)原理進(jìn)行解決。由此學(xué)生所得到的就不止是一道題的解法，而是一組題、一類(lèi)題的解法。解題后的反思是指解題后對(duì)審題過(guò)程和解題方法及解題所用知

識(shí)的回顧節(jié)思考，只有這樣，才能有效的深化對(duì)知識(shí)的理解，提高思維能力。有時(shí)多次受阻而后“靈感”突來(lái)。不論哪種情況，思維都有很強(qiáng)的直覺(jué)性，若在解題后及時(shí)重現(xiàn)一下這個(gè)思維過(guò)程，追溯“靈感”是怎樣產(chǎn)生的，多次受阻的原因何在，總結(jié)審題過(guò)程中的思維技巧，這對(duì)發(fā)現(xiàn)審題過(guò)程中的錯(cuò)誤，提高分析問(wèn)題的能力都有重要作用。這些方法的熟練程度密切相關(guān)，學(xué)生在解題時(shí)總是用最先想到的方法，也是他們最熟悉的方法，因此，解題后反思一下有無(wú)其它解法,可使學(xué)生開(kāi)拓思路，提高解題能力

2w總之，學(xué)生解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是僅靠教師的潛移默化和學(xué)生的自覺(jué)行動(dòng)就能做好的，需要教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際，堅(jiān)持有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練。只有這樣，才能其正把這一工作做好。此外，米盧先生在中國(guó)倡導(dǎo)并實(shí)施的“快樂(lè)足球”，我想，如果能應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中來(lái)，使培養(yǎng)能力與快樂(lè)學(xué)數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，必將使學(xué)生的能力越來(lái)越強(qiáng)，教師越教越松，家長(zhǎng)越來(lái)越滿(mǎn)意，社會(huì)越來(lái)越放心。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)重要而艱巨的任務(wù)，但不能急于求成，了不能盲目地搞題海戰(zhàn)術(shù)，習(xí)題的訓(xùn)練要有針對(duì)性，講求質(zhì)量，講求效益。在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，逐步使學(xué)生的思維能力由單向性發(fā)展為多向性。讓學(xué)生在解題過(guò)程中獲得樂(lè)趣，產(chǎn)生靈感、悟出解題的正確思路和方法。“

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