寒假初一第1講

第一講有理數(shù)（1）

【知識(shí)要點(diǎn)】

1．整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．有理數(shù)

2．?dāng)?shù)軸三要素：原點(diǎn)，正方向和單位長(zhǎng)度；數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。3．如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．0的相反數(shù)是0，一般地實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是－a；若a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，反之亦然；

幾何意義：在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等。4．倒數(shù)：若兩個(gè)數(shù)的積等于1，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。5．絕對(duì)值：

代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0；幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，就是在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.6．有理數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算加法交換律：a+b=b+a(a、b為任意有理數(shù))

加法結(jié)合律：(a+b）+c=a+(b+c)(a,b,c為任意有理數(shù))

【典型例題】

1．把下面各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集里．

2

－3，7，－，0，201*，－1．41，0．608，－5％

5

正有理數(shù)集｛｝；負(fù)有理數(shù)集｛｝；整數(shù)集｛｝；有理數(shù)集｛｝；2．－（－4）的相反數(shù)是_______，－（+8）是______的相反數(shù)．

3、今年我市二月份某一天的最低氣溫為－5C，最高氣溫為13C，那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高（）

A．－18CB．18CC．13CD．5C4、|－2|的值是（）

A．－2B.2C．4D．－4

32a-95．若的倒數(shù)與互為相反數(shù)，則a等于__________________

a36．已知有理數(shù)x、y滿足x1+2y-4+z-6=0，求xyz的值．

1529

7．比較－與－的大小

1632

8．已知|x|=3，|y|=2，且xy≠0，則x+y的值等于___9．計(jì)算12－|－18|+(－7)+(－15)．

10.自然數(shù)中有許多奇妙而有趣的現(xiàn)象，很多秘密等待著我們?nèi)ヌ剿�！比如：�?duì)任意一個(gè)自然數(shù)，先將其各位數(shù)字求和，再將其和乘以3后加上1，多次重復(fù)這種操作運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果最終會(huì)得到一個(gè)固定不變的數(shù)R，它會(huì)掉入一個(gè)數(shù)字“陷斷”，永遠(yuǎn)也別想逃出來(lái)，沒(méi)有一個(gè)自然數(shù)能逃出它的“魔掌”．那么最終掉人“陷井”的這個(gè)固定不變的數(shù)R=_________

11．如圖是一個(gè)正方體盒子的展開(kāi)圖，請(qǐng)把

-10，8，10，－2，－8，2分別填入六個(gè)小正方形，使得按虛線折成的正方體相對(duì)面上的兩數(shù)互為相反數(shù)．

12.下面請(qǐng)同學(xué)來(lái)玩“24點(diǎn)”游戲:從一副撲克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4張，

22ooooo

o

根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌只能用一次）使得運(yùn)算結(jié)果可能為24，其中紅色撲克牌代表負(fù)數(shù)，黑色撲克牌代表正數(shù)，J、Q、K分別代表11、12、13。

（1）某同學(xué)如抽到下列一組牌3、12、－1、－12，你幫她設(shè)計(jì)一下算式使之能湊成24。

24×3-（-12）×（-1）=24

（2）老師抽到下列四張牌，1、-2、2、3，你認(rèn)為能湊成24嗎？

[3-（-2）]-1=24

試一試，你自編兩組可湊成24的牌，請(qǐng)鄰座同學(xué)幫你設(shè)計(jì)算式。

2

【經(jīng)典練習(xí)】

一選擇題

1、下列說(shuō)法不正確的是（）

A．沒(méi)有最大的有理數(shù)B．沒(méi)有最小的有理數(shù)C．有最大的負(fù)數(shù)D．有絕對(duì)值最小的有理數(shù)

2、－2，3，－4，－5，6這五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，得的積最大的是（）A．10B．20．C．－30D．181

3、一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的相反數(shù)是1,則這個(gè)數(shù)是（）

5

6565

A、B、C、D、－

56564、如果ab<0，a+b>0，那么這兩個(gè)有理數(shù)為（）A．絕對(duì)值相等的數(shù)

B．符號(hào)不同的數(shù)，其中正數(shù)的絕對(duì)值較大C．符號(hào)不同的數(shù)，其中負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大D．以上都不正確

5、若|a|=7，|b|=5,a+b＞0，那么a－b的值是（）

A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或121

6、一個(gè)正整數(shù)a與其倒數(shù)，相反數(shù)－a，相比較，正確的是（）

a11

A、－a＜≤aB、－a＜＜a

aa11

C、－a＜＜aD、－a＜＜a

aa

二、填空題

7、數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5，則A表示的數(shù)是_____________56

8、比較大小：－____－

671

9、若－|a|=－，那么a=_______．

2

10、若a的相反數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，b是絕對(duì)值最小的數(shù)，則a＋b=___________．11

11、（－3）×÷(－)×3

33

12、在某次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)中，某小班8個(gè)人的平均分為85分，其中6位同學(xué)平均分為84分，另兩人中一個(gè)人比另一個(gè)人高6分，求這兩位同學(xué)各多少分？

13、體育課上，全班男同學(xué)進(jìn)行百米測(cè)驗(yàn)，達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?5秒，下面是第1小組8名男生的成績(jī)記錄，其中“+”號(hào)表示成績(jī)大于15秒．

－0．8+10－1．2－0．7+0．6－0．4－0．l（1）這個(gè)小組男生的達(dá)標(biāo)率為多少？平均成績(jī)?yōu)槎嗌倜耄浚?）以15秒為0點(diǎn)，用數(shù)軸來(lái)表示第1小組男生的成績(jī)．

【課后作業(yè)】

1．已知數(shù)軸上表示－2和－101的兩點(diǎn)分別為A，B，那么A，B兩點(diǎn)間距離等于()（A）99（B）100（C）102（D）103

512．從－1中減去與的和，所得的差是（）

812（A）

77711（B）（C）2（D）1242424243．銀行儲(chǔ)蓄所辦理了7件儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)：取出9.5元，存進(jìn)5元，取出8元，存進(jìn)12元，

存進(jìn)25元，取出10.25元，取出2元，這時(shí)銀行現(xiàn)款增加了（）

（A）12.25元（B）－12.25元（C）12元（D）－12元4．下列等式中，正確的是（）

（A）23＝2×3（B）23＝32（C）－24＝(－2)4（D）(－2)3＝－23

325．計(jì)算的結(jié)果是（）

23131513（A）（B）（C）（D）

66666．當(dāng)a＝－4，b＝－5，c＝－7時(shí)，a－b－c＝237．2912＝248．一個(gè)病人每天下午要測(cè)量一次血壓，下表是該病人星期一至星期五血壓變化情況，該病人上個(gè)星期日的血壓為160單位，血壓的變化與前一天比較：星期血壓的變化一升30單位二降20單位三升17單位四升18單位五降20單位請(qǐng)算出星期五該病人的血壓

9．有資料表明：某地區(qū)高度每增加100米，氣溫下降0.8℃，小明和小穎想出一個(gè)測(cè)量山峰高度的方法，小穎在山腳，小明在峰頂，他們同時(shí)在上午10點(diǎn)測(cè)得山腳和山峰頂?shù)臍鉁胤謩e為2.2℃和0.2℃，你知道山峰有多高嗎？

擴(kuò)展閱讀：初一寒假第1講 整除 帶余除法

第一講整除帶余除法

板塊1數(shù)論中的基本概念和常識(shí)

質(zhì)數(shù)合數(shù)整除約數(shù)倍數(shù)互質(zhì)進(jìn)位制定義略。質(zhì)數(shù)是數(shù)論中第一重要的概念。算數(shù)基本定理：整數(shù)分解的唯一性。1不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)槠茐牧诉@個(gè)唯一性。定理敘述如下：任何大于1的整數(shù)a能唯一地寫成ap1a1p2a2......psas

（1）

的形式，其中p1p2......ps都是質(zhì)數(shù).式（1）被稱為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式�！纠�】證明：若n0,anbn，則ab.

【例】（1）求201*的標(biāo)準(zhǔn)分解式2×5×3×67（2）求201*的標(biāo)準(zhǔn)分解式質(zhì)數(shù)（3）求201*的標(biāo)準(zhǔn)分解式22×503

【例】如果自然數(shù)n使得2n1和3n1都恰好是平方數(shù)，試問(wèn)5n3能否是一個(gè)素?cái)?shù)．【解析】如果2n1k2，3n1m2，則

5n342n13n14k2m22km2km．因?yàn)?km1，否則，將有5n32m1，并且

m12而這是不可能的．故5n3不是素?cái)?shù)．m22m123n15n322n0．

判定質(zhì)數(shù)很困難，判定合數(shù)的方法是分解。

(1)若b|c且c|a，則b|a(傳遞性)；

|a)c。(2)若b|a且b|c，則b(若反復(fù)運(yùn)用這一性質(zhì)，易知對(duì)于任意的整數(shù)u,v有b|(aucv)。

有時(shí)候要想知道a|b是否成立，只需考察a|db+ca是否成立。這里的c,d是適當(dāng)選取的。

(較高級(jí)技巧)

【例】我們想知道一個(gè)數(shù)是不是7的倍數(shù)（34675676），可以用34675（截掉末三位）減去676（末三位），看看差是不是7的倍數(shù)，這是為什么？更徹底的，我們想知道5740376987465是不是7的倍數(shù)，可以去計(jì)算465-987+376-740+5是不是7的倍數(shù)。

【例】已知一個(gè)七位自然數(shù)62xy427是99的倍數(shù)(其中x、y是阿拉伯?dāng)?shù)字)，試求950x24y1之值，簡(jiǎn)寫出求解過(guò)程．【解析】由9962xy427知962xy427且1162xy427

①962xy427，所以62xy427是9的倍數(shù)，所以xy39m(m是自然數(shù))由0≤x≤9，0≤y≤9，可得3≤xy3≤21，從而xy6或xy15；②1162xy427，所以11(6x47)(2y2)，所以13xy11k(k是整數(shù))又9≤xy≤9，即4≤13xy≤22，所以xy2或xy9，

xy6xy15x2x12xyxy(舍去)，因?yàn)榕c同奇同偶性，所以或，即或xy2xy9y4y950x24y11997

(3)若b|a，則或者a=0，或者|a||b|，因此若a|b且b|a，則ab；1整除任何整數(shù)，任何非0整數(shù)整除0。這里相當(dāng)于提供了證明兩數(shù)相等的一個(gè)方法。(4)a,b互質(zhì)，若a|c,b|c，則ab|c；

這個(gè)性質(zhì)的意義是，滿足整除條件的除數(shù)變大了，被除數(shù)不變，整除條件變得更強(qiáng)。

【例】某公園門票價(jià)格對(duì)達(dá)到一定人數(shù)的團(tuán)隊(duì)按團(tuán)隊(duì)票優(yōu)惠．現(xiàn)有A、B、C三個(gè)旅游團(tuán)共72人，如果各團(tuán)單獨(dú)購(gòu)票，門票費(fèi)依次為360元、384元、480元；如果三個(gè)團(tuán)合起來(lái)購(gòu)票，總共可少花72元．(1)這三個(gè)旅游團(tuán)各有多少人?

(2)在下面填寫一種票價(jià)方案，使其與上述購(gòu)票情況相符．

售票處

普通票團(tuán)體票(須滿人)

每人每人

【解析】360+384+480－72=1152(元)，1152÷72=16(元／人)，即團(tuán)體票是每人16元．

因?yàn)?6不能整除360，所以A團(tuán)未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)．

若三個(gè)團(tuán)都未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)，則三個(gè)團(tuán)的人數(shù)比為360：384：480=15：16：20，即三個(gè)團(tuán)的人數(shù)分別為

15162072,72,72，這都不是整數(shù)(只要指出其中某一個(gè)不是整515151數(shù)即可)，不可能．所以C團(tuán)本來(lái)就已達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)．

這有兩種可能：①只有C團(tuán)達(dá)到；②B、C兩團(tuán)都達(dá)到．對(duì)于①，可得C團(tuán)人數(shù)為480÷16=30，A、B兩團(tuán)共有42人，A團(tuán)人數(shù)為15/31×42，不是整數(shù)，不可能．劉于②，可得B團(tuán)人數(shù)為384÷16=24，C團(tuán)人數(shù)為480÷16=30A團(tuán)18人

售票處

普通票團(tuán)體票(須滿20人)

每人20元每人16元(或／或8折優(yōu)惠)

【例】是否存在3個(gè)大于1的自然數(shù)，使得其中每個(gè)自然數(shù)的平方減1，能分別被其余的每個(gè)自然數(shù)所整除？

【解析】設(shè)a≥b≥c是滿足題設(shè)條件的三個(gè)自然數(shù)．因?yàn)閍2－1被b整除，所以a與b互素．又c2－1能分別被a、b整除，因而被ab整除，于是c2－1≥ab．另一方面由a≥c及b≥c得ab≥c2，矛盾．所以滿足題設(shè)的數(shù)不存在．

【例】已知p、q都是大于1的自然數(shù)，并且

2p12q1

和都是整數(shù)，問(wèn)pq的值是多少？qp

2p1為大于0小于2的整數(shù)，為1，則q【解析】運(yùn)用排序思想，不妨設(shè)q大于等于p，則

2p1q，

2q13化為4，則p3,q5，結(jié)果為8．pp

a|bc,a,b互質(zhì)，則a|c

這個(gè)性質(zhì)的意義是：需要討論的被除數(shù)變小了，整除條件變得更強(qiáng)。

【例】可將1~30這30個(gè)整數(shù)寫成一行，使得由第二個(gè)數(shù)開(kāi)始的每個(gè)數(shù)都是它前面所排列的所有數(shù)之和的約數(shù)．則排在第30個(gè)位置上的數(shù)最大應(yīng)是．

3031設(shè)排在第30位的數(shù)為x，由題意x被sx整除，3531，

2即x被s整除.x顯然不能為31或31的倍數(shù)，因此x最大為3515，而這也是可以達(dá)到的，

【解析】1~30的和為s將1~30排列為

16，，117，2，18，3，19，4，20，5，21，6，22，7，23，8，24，9，25，10，26，11，27，12，28，13，29，14，30，15即可．

【例】已知7xyz641808，其中x，y，z代表非0數(shù)字．那么x2y2z2．【解析】根據(jù)個(gè)位數(shù)字分析可知x3或8，代入7xyz641808試驗(yàn)可得x8，此時(shí)有7853641808，即可得x2y2z298．

(5)p是質(zhì)數(shù)，若p|a1a2a3a4...an，則p能整除a1,a2,a3,a4...an中的某一個(gè)；特別地，若p是質(zhì)數(shù)，p|an，則p|a�；ベ|(zhì)數(shù)乘積是平方數(shù)，則互質(zhì)數(shù)都是平方數(shù)�！纠�】在正整數(shù)范圍解方程x2=y(y+p)p是奇質(zhì)數(shù)

【解析】若y是p的k倍，代入得到(k+1)k是平方數(shù)，無(wú)解。

(p1)2(y,p)=1則y,y+p都是平方數(shù)，y=

4(6)p|n,那么n在p進(jìn)制之下尾數(shù)是0。(7)正約數(shù)個(gè)數(shù)，正約數(shù)和公式。（會(huì)用，會(huì)證明）

常識(shí)：正整數(shù)中，平方數(shù)且只有平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)正約數(shù)。

【例】n是滿足下列條件的最小正整數(shù)：（1）n是75的倍數(shù)；

（2）n恰為75個(gè)正整數(shù)因子（包括1及本身）．試求n/75．

【解析】為保證n是75的倍數(shù)而又盡可能地小，可設(shè)n＝2α3β5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且

（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75

由75＝523，易知當(dāng)α＝β＝4，γ＝2時(shí)，符合條件（1）、（2）．此時(shí)n＝243452，n/75＝432．

(8)質(zhì)數(shù)性質(zhì)：a是合數(shù)，p是它的最小質(zhì)因數(shù)，則p2不超過(guò)a。所以判斷n的質(zhì)合性的時(shí)候，只需檢查1,2,3,4…,[n]1中的質(zhì)數(shù)(9)質(zhì)數(shù)有無(wú)限個(gè)。質(zhì)數(shù)之間的縫隙可以超過(guò)任意正數(shù)。

【例】2+3+4+5+…+n是質(zhì)數(shù)，求n�！窘馕觥吭�式=

(n2)(n1)。n>3時(shí)，分子是兩個(gè)大于2的數(shù)乘積（一奇一偶），所以原2式是合數(shù)。只要計(jì)算n=2,3的情形。

【例】是否存在201*個(gè)連續(xù)正整數(shù)，其中恰有20個(gè)質(zhì)數(shù)？

【解析】我們知道存在201*個(gè)連續(xù)合數(shù)，不妨設(shè)他們是n,n+1,n+2…，n+201*。

我們還知道前201*個(gè)正整數(shù)中的質(zhì)數(shù)多于20個(gè)。前201*個(gè)正整數(shù)都加1，算作一次操作。一直進(jìn)行這個(gè)操作，每次操作后得到的數(shù)列中的質(zhì)數(shù)只能增加1，減小1或不變。n-1次操作后，質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)變成0。那么必有某次操作后質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)等于20。

構(gòu)造任意長(zhǎng)的連續(xù)合數(shù)列有多種方法，比如201*！+2,201*！+3,201*！+4…,201*！+201*是1999個(gè)連續(xù)的合數(shù)。后面學(xué)到剩余定理會(huì)給出其他構(gòu)造方法。

(10)整數(shù)的正約數(shù)可以湊對(duì)，一個(gè)整數(shù)的所有正約數(shù)的乘積的平方，是這個(gè)整數(shù)的冪。如果一個(gè)正整數(shù)的所有正約數(shù)的乘積不是這個(gè)整數(shù)的冪，那么這個(gè)整數(shù)是平方數(shù)。逆命題不真。

板塊2最小公倍數(shù)最大公約數(shù)

(1)兩個(gè)整數(shù)除以他們的最大公約數(shù)，得到的商互質(zhì)。兩個(gè)整數(shù)分別除他們的最小公倍數(shù)，得到的商互質(zhì)。兩個(gè)整數(shù)的乘積等于最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積。這里又提供了一種處理兩個(gè)數(shù)的方法：

我們有時(shí)利用這個(gè)代換a=(a,b)xb=(a,b)y其中(x,y)=1(2)(a,b)=(a,ab)(a,b)|(am+bn,ap+bq)

【例】正整數(shù)m和n有大于1的最大公約數(shù)，且滿足m3n371，則mn．

【解析】設(shè)k是m、n的最大公約數(shù)，則m、n可表示為mka，nkb(k1，a、b均為正整數(shù))

故m3n(ka)3kbk(k2a3b)371753，

因?yàn)閗1且7與53都是質(zhì)數(shù)，又k2a3bk2a3≥k2k，所以k7且k2a3b53，

即49a3b53，由a、b均為正整數(shù)，得a1，b4；所以m7，n28，故mn196

【例】50＋n2與50+（n+1）2的最大公約數(shù)最大值．【解析】d=（50＋n2,50+（n+1）2）＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））＝（50＋n2，2n＋1）

＝（2（n2＋50），2n＋1）（因2n＋1是奇數(shù)）＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）＝（100－n，2n＋1）

＝（100－n，2n＋1＋2（100－n））＝（100－n，201）≤201在n＝100時(shí)，d＝201．故所求值為201．

(3)若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)d，最小公倍數(shù)k。那么對(duì)于任意質(zhì)數(shù)p，p在d中的次數(shù)是p在這些整數(shù)中的次數(shù)的最小值；p在k中的次數(shù)是p在這些整數(shù)中的次數(shù)的最大值。

【例】證明：對(duì)于自然數(shù)k、m和n．不等式[k，m][m，n][n，k]≥[k，m，n]2成立．【解析】將k、m、n分解．設(shè)

kp11p22p33...pllmp11p22p33...pll

np11p22p33...pll

其中pi（i=1，2，…，l）為不同的素?cái)?shù)，αi、βi、γi為非負(fù)整數(shù)．對(duì)任一個(gè)素因數(shù)pi，不妨設(shè)0≤αi≤βi≤γi．在所要證明的不等式左邊，pi的指數(shù)為βi＋γi＋γi=βi＋2γi；而右邊pi的指數(shù)為2γi．因而所要證明的不等式成立．

要證明一個(gè)數(shù)大于另一個(gè)數(shù)，方法之一是只要證明任何質(zhì)數(shù)，在兩個(gè)數(shù)中的質(zhì)數(shù)都滿足同一方向的不等關(guān)系。

【例】找到正整數(shù)a,b滿足（a，b）＋[a，b]＋a＋b＝ab【解析】設(shè)a=kxb=ky(x,y)=1得到k+xyk+kx+ky=kx×ky*1+x+y+xy=kxyx|y+1,y|x+1若x=y，則x=y=1。a=b=4

若x>y，則x=y+1代入*得到y(tǒng)|y+2y=1,2所以x=2,3從而a=6,b=3,4

所有的解是(a,b)=(4,4)(6,3)(3,6)(6,4)(4,6)

板塊3帶余除法

一般地，如果a，b是正整數(shù)（b≠0），那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。

當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）.用帶余除式又可以表示為a÷b=q…r，0≤r＜b。這里q,r的選取是唯一的。

帶余除法提供了一種處理兩個(gè)整數(shù)的方法，這種方法以后會(huì)經(jīng)常用到。

【例】在大于201*的自然數(shù)中，被56除后，商與余數(shù)相等的數(shù)共有多少個(gè)？這些數(shù)的總和是多少？

【解析】由于余數(shù)小于除數(shù)，商和余數(shù)相等，故商小于56。另一方面，由于被除數(shù)大于201*，故商數(shù)大于201*除以56帶余除法中的商35，所以

56商數(shù)35。

所以，在大于201*的自然數(shù)中，被56除后，商與余數(shù)相等的數(shù)有30個(gè)。由于

被除數(shù)＝56商數(shù)＋余數(shù)＝57商數(shù)，

其中，商數(shù)等于36至55。所以，

30個(gè)整數(shù)的和=5736375557159177805。

【例】最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),ab。它能分解成不超過(guò)a個(gè)正整數(shù)的倒數(shù)和，這些整數(shù)互不等。解析：也就是寫成單位分?jǐn)?shù)的和。我們先看能寫出的最大單位分?jǐn)?shù)是多少。為此要利用一下帶余除法。

設(shè)b=aq+r，那么不超過(guò)的最大單位分?jǐn)?shù)是

ab1。q1aba1arar所以我們還需要把分解成單位分?jǐn)?shù)的和。bq1b(q1)b(q1)通過(guò)觀察，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子嚴(yán)格減小了。這說(shuō)明至多a-1次這樣的操作之后，我們的任務(wù)就完成了。顯然這些單位分?jǐn)?shù)的大小不同，個(gè)數(shù)不超過(guò)a。

課后練習(xí)

1.能將1,2,3,……,7,8,9填在33的方格表中，使橫向和豎向相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)給出一種解法。如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：橫向和豎向相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)，那么奇偶相同的兩數(shù)不能相鄰。所以正中間是奇數(shù)，它與2，4，6，8相鄰。容易看出無(wú)論中間添的n是幾，n+2,n+4,n+6,n+8中有合數(shù)。

2.173A是一個(gè)四位數(shù)，數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“先后用三個(gè)數(shù)代替A，A所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可以被9、11、6整除�！眴�(wèn)這3個(gè)數(shù)的和是多少？解析：9|173711|17386|1734

三個(gè)數(shù)的和是19。.

3.兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，按所指的方向以相同的速度分別沿兩個(gè)圓爬行。問(wèn)：當(dāng)小圓上的甲蟲最少爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲相距最遠(yuǎn)？

解析：小圓上的甲蟲爬整數(shù)圈，大圓上的甲蟲爬整數(shù)圈多半圈，距離最遠(yuǎn)。設(shè)小圓上的爬了a圈，大圓上的爬了b圈。由于速度相同，30a=48b其中a是整數(shù)，b的小數(shù)部分是0.5。5a=8b最小的解是a=4，b=2.5所以答案是4。.

4.n個(gè)自然數(shù)，從第二個(gè)開(kāi)始，每一個(gè)都比它前面相鄰的一個(gè)大3：4,7,10,……,1+3n。它們相乘的積的末尾恰有32個(gè)0，求n的最小值。解析：答案只而和數(shù)列中5的倍數(shù)有關(guān)。數(shù)列中5的倍數(shù)是10,25,40,55,70…10+15k…

令25|10+15k得到k=1,6,11,16,21,26,31…的時(shí)候10+15k是25的倍數(shù)令125|10+15k得到k=16,41…的時(shí)候10+15k是125的倍數(shù)

所以10,25,40,55,70…10+15×25的乘積當(dāng)中5的指數(shù)是26+5+1=32。.

所以當(dāng)1+3n=10+15×25時(shí)，n的最小值是128。

5在1-201*的所有的整數(shù)中，有多少個(gè)x使2x和x2被7除有相同的余數(shù)？解析：將1,2,3,4…代入2x，考察除以7的余數(shù)，呈2,4,1,2,4,1…循環(huán)，周期是3。將1,2,3,4…代入x2，考察除以7的余數(shù)，呈1,4,2,2,4,1,0…循環(huán)，周期是7。

可見(jiàn)兩個(gè)數(shù)列的余數(shù)對(duì)也是循環(huán)的，周期是21。每個(gè)長(zhǎng)度21的周期內(nèi)第2,4,5,6,10,15個(gè)位置是相同的。201*÷21=95〃〃〃10所以答案是96×6-1=5756已知

a201*201*201*

201*個(gè)201*問(wèn)：除以13所得的余數(shù)是幾？

解析：201*201*201*是13的倍數(shù)，所以只需計(jì)算201*除以13的余數(shù)。答案是3。

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