高二上學(xué)期數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
為您服務(wù)教育網(wǎng)高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、直線與圓:
1、直線的傾斜角的范圍是[0,)
在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線l,如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線l重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為,就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸重合或平行時(shí),規(guī)定傾斜角為0;
2、斜率:已知直線的傾斜角為α,且α≠90°,則斜率k=tanα.
過兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1),另外切線的斜率用求導(dǎo)的方法。3、直線方程:⑴點(diǎn)斜式:直線過點(diǎn)(x0,y0)斜率為k,則直線方程為
yy0k(xx0),⑵斜截式:直線在y軸上的截距為b和斜率k,則直線方程為ykxb
4、l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,①l1∥l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.
直線l1:A1xB1yC15、點(diǎn)P(x0,y0)到直線兩條平行線
0與直線l2:A2xB2yC20的位置關(guān)系:(1)平行A1/A2=B1/B2注意檢驗(yàn)(2)垂直A1A2+B1B2=0
AxByC0的距離公式dAx0By0CAB22;
AB222226、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(xa)(yb)r.⑵圓的一般方程:xyDxEyF0
注意能將標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程
7、過圓外一點(diǎn)作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與x軸垂直的直線.8、直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解決弦長問題.①dr相離②dr相切③dr相交
AxByC10與AxByC20的距離是dC1C222
9、解決直線與圓的關(guān)系問題時(shí),要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)
成直角三角形)直線與圓相交所得弦長|AB|2r2d2二、圓錐曲線方程:
1、橢圓:①方程
x2y2
21(a>b>0)注意還有一個(gè);②定義:|PF1|+|PF2|=2a>2c;③2ab222cb2
e=12④長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c;a=b+c;aax2y22、雙曲線:①方程221(a,b>0)注意還有一個(gè);②定義:||PF1|-|PF2||=2a為您服務(wù)教育網(wǎng)三、直線、平面、簡單幾何體:
1、學(xué)會(huì)三視圖的分析:2、斜二測畫法應(yīng)注意的地方:
(1)在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫直觀圖時(shí),把它畫成對應(yīng)軸o"x"、o"y"、使∠x"o"y"=45°(或135°);(2)平行于x軸的線段長不變,平行于y軸的線段長減半.(3)直觀圖中的45度原圖中就是90度,直觀圖中的90度原圖一定不是90度.3、表(側(cè))面積與體積公式:
⑴柱體:①表面積:S=S側(cè)+2S底;②側(cè)面積:S側(cè)=2rh;③體積:V=S底h⑵錐體:①表面積:S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積:S側(cè)=rl;③體積:V=⑶臺(tái)體①表面積:S=S側(cè)+S上底S下底②側(cè)面積:S側(cè)=(r⑷球體:①表面積:S=4R2;②體積:V=
1S3底
h:
r")l
43R34、位置關(guān)系的證明(主要方法):注意立體幾何證明的書寫
(1)直線與平面平行:①線線平行線面平行;②面面平行線面平行。(2)平面與平面平行:①線面平行面面平行。
(3)垂直問題:線線垂直線面垂直面面垂直。核心是線面垂直:垂直平面內(nèi)的兩條相交直線5、求角:(步驟-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴異面直線所成角的求法:平移法:平移直線,構(gòu)造三角形;⑵直線與平面所成的角:直線與射影所成的角
四、導(dǎo)數(shù):導(dǎo)數(shù)的意義-導(dǎo)數(shù)公式-導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(極值最值問題、曲線切線問題)
1、導(dǎo)數(shù)的定義:
f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作yxx0f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0.
2.導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義:曲線
/yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率
//①k=f(x0)表示過曲線y=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V=s(t)表示即時(shí)速度。a=v(t)表示加速度。3.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①C⑤(ax""n"n1sni②(x)nx;③(0;x)"cosx(cosx)"snix;
)axlna;⑥(ex)"ex;⑦(logax)"11";⑧(lnx)。
xlnaxuuvuv);2vv4.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則:(uv)uv;(uv)uvuv;(5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:
(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性:設(shè)函數(shù)為增函數(shù);如果
yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f(x)0,那么f(x)f(x)0,那么f(x)為減函數(shù);
注意:如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍,那么不等式f(x)0恒成立。
(2)求極值的步驟:
f(x);
②求方程f(x)0的根;
③列表:檢驗(yàn)f(x)在方程f(x)0根的左右的符號(hào),如果左正右負(fù),那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極小值;
①求導(dǎo)數(shù)
(3)求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步驟:求
f(x)0的根;把根與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。
為您服務(wù)教育網(wǎng)五、常用邏輯用語:
1、四種命題:
⑴原命題:若p則q;⑵逆命題:若q則p;⑶否命題:若p則q;⑷逆否命題:若q則p
注:1、原命題與逆否命題等價(jià);逆命題與否命題等價(jià)。判斷命題真假時(shí)注意轉(zhuǎn)化。2、注意命題的否定與否命題的區(qū)別:命題pq否定形式是pq;否命題是
“p且q”的否定是“p或q”.pq.命題“p或q”的否定是“p且q”;
3、邏輯聯(lián)結(jié)詞:
⑴且(and):命題形式pq;pqpqpqp⑵或(or):命題形式pq;真真真真假⑶非(not):命題形式p.真假假真假假真假真真假假假假真
“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真,要假全假”;“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假,要真全真”;“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”4、充要條件
由條件可推出結(jié)論,條件是結(jié)論成立的充分條件;由結(jié)論可推出條件,則條件是結(jié)論成立的必要條件。
5、全稱命題與特稱命題:
短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體,邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)表示。含有全體量詞的命題,叫做全稱命題。
短語“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分,邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號(hào)表示,含有存在量詞的命題,叫做存在性命題。全稱命題p:xM,p(x);特稱命題p:xM,p(x);
全稱命題p的否定p:xM,p(x)。特稱命題p的否定p:xM,p(x);
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不等式單元知識(shí)總結(jié)
一、不等式的性質(zhì)
1.兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間的大小關(guān)系
(1)a-b>0a>b;(2)a-b=0a=b;(3)a-b<0a<b.
(4)ab>1a>b;若a、bR,則(5)ab=1a=b;(6)ab<1a<b.
2.不等式的性質(zhì)
(1)a>bb<a(對稱性)
(2)a>bb>ca>c(傳遞性)
(3)a>ba+c>b+c(加法單調(diào)性)
a>bc>0ac>bc
(4)(乘法單調(diào)性)
a>bc<0ac<bc
(5)a+b>ca>c-b(移項(xiàng)法則)
(6)a>bc>da+c>b+d(同向不等式可加)
(7)a>bc<da-c>b-d(異向不等式可減)(8)a>b>0c>d>0ac>bd(同向正數(shù)不等式可乘)《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》
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(9)a>b>00<c<dac>bd(異向正數(shù)不等式可除)
(10)a>b>0nNan>bn(正數(shù)不等式可乘方)(11)a>b>0nNna>nb(正數(shù)不等式可開方)
(12)a>b>01a<1b(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù))
3.絕對值不等式的性質(zhì)
(1)|a|≥a;|a|=a(a≥0),-a(a<0).
(2)如果a>0,那么
|x|<ax2<a2-a<x<a;|x|>ax2>a2x>a或x<-a.
(3)|ab|=|a||b|.
(4)|ab|=|a||b|(b≠0).
(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
(6)|a1+a2++an|≤|a1|+|a2|++|an|.
二、不等式的證明1.不等式證明的依據(jù)
(1)實(shí)數(shù)的性質(zhì):a、b同號(hào)ab>0;a、b異號(hào)ab<0a-b>0a>b;a-b<0a<b;a-b=0a=b
(2)不等式的性質(zhì)(略)
(3)重要不等式:①|(zhì)a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))
③ab2≥ab(a、bR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))
2.不等式的證明方法
(1)比較法:要證明a>b(a<b),只要證明a-b>0(a-b<0),這種證明不等式的方
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法叫做比較法.
用比較法證明不等式的步驟是:作差變形判斷符號(hào).
(2)綜合法:從已知條件出發(fā),依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明不等式的方法叫做綜合法.
(3)分析法:從欲證的不等式出發(fā),逐步分析使這不等式成立的充分條件,直到所需條件已判斷為正確時(shí),從而斷定原不等式成立,這種證明不等式的方法叫做分析法.
證明不等式除以上三種基本方法外,還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.
三、解不等式
1.解不等式問題的分類
(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.
(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解無理不等式;④解指數(shù)不等式;⑤解對數(shù)不等式;⑥解帶絕對值的不等式;⑦解不等式組.
2.解不等式時(shí)應(yīng)特別注意下列幾點(diǎn):
(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì).
(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性.(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍.
3.不等式的同解性
(1)f(x)g(x)>0與f(x)>0g(x)>0或f(x)<0g(x)<0同解.(2)f(x)g(x)<0與f(x)>0f(x)<0g(x)<0或同解.g(x)>0
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(3)f(x)>0f(x)<0f(x)>0與或同解.(g(x)≠0)g(x)g(x)>0g(x)<0
f(x)>0f(x)<0f(x)(4)<0與或同解.(g(x)≠0)g(x)g(x)<0g(x)>0
(5)|f(x)|<g(x)與-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)
(6)|f(x)|>g(x)①與f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解;②與g(x)<0同解.
f(x)>[g(x)]2(7)f(x)>g(x)與f(x)≥0或f(x)≥0g(x)≥0g(x)<0同解.
(8)f(x)<g(x)與f(x)<[g(x)]2同解.f(x)≥0
(9)當(dāng)a>1時(shí),af(x)>ag(x)與f(x)>g(x)同解,當(dāng)0<a<1時(shí),af(x)>ag(x)與f(x)<g(x)同解.
(10)當(dāng)a>1時(shí),logf(x)>g(x)af(x)>logag(x)與f(x)>0同解.
f(x)<g(x)當(dāng)0<a<1時(shí),logaf(x)>logag(x)與f(x)>0同解.g(x)>0
單元知識(shí)總結(jié)
一、坐標(biāo)法1.點(diǎn)和坐標(biāo)
建立了平面直角坐標(biāo)系后,坐標(biāo)平面上的點(diǎn)和一對有序?qū)崝?shù)(x,y)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.2.兩點(diǎn)間的距離公式
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則兩點(diǎn)間的距離
|P1P2|=(x22x1)(y2y1)2
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特殊位置的兩點(diǎn)間的距離,可用坐標(biāo)差的絕對值表示:(1)當(dāng)x1=x2時(shí)(兩點(diǎn)在y軸上或兩點(diǎn)連線平行于y軸),則|P1P2|=|y2-y1|
(2)當(dāng)y1=y2時(shí)(兩點(diǎn)在x軸上或兩點(diǎn)連線平行于x軸),則|P1P2|=|x2-x1|
3.線段的定比分點(diǎn)
(1)定義:設(shè)P點(diǎn)把有向線段P1P2分成P1P和PP2兩部分,那么有向線段P1P和PP2的數(shù)量的比,就是P點(diǎn)分P1P2所成的比,通常用λ表示,即λ=P1PPP,點(diǎn)P叫做分線段P1P2為定比λ的定比分點(diǎn).2
當(dāng)P點(diǎn)內(nèi)分P1P2時(shí),λ>0;當(dāng)P點(diǎn)外分P1P2時(shí),λ<0.
(2)公式:分P1(x1,y2)和P2(x2,y2)連線所成的比為λ的分點(diǎn)坐標(biāo)是
xx1λx21λ(λ≠1yy1λy)21λ
特殊情況,當(dāng)P是P1P2的中點(diǎn)時(shí),λ=1,得線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)
公式
x1x2x2yy1y22
二、直線
1.直線的傾斜角和斜率
(1)當(dāng)直線和x軸相交時(shí),把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角,叫做這條直線的傾斜角.
當(dāng)直線和x軸平行線重合時(shí),規(guī)定直線的傾斜角為0.所以直線的傾斜角α∈[0,π).
(2)傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜
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率,直線的斜率常用k表示,即k=tanα(α≠π2).
∴當(dāng)k≥0時(shí),α=arctank.(銳角)當(dāng)k<0時(shí),α=π-arctank.(鈍角)
(3)斜率公式:經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線的斜率為
k=y2y1x(x1≠x2)2x1
2.直線的方程
(1)點(diǎn)斜式已知直線過點(diǎn)(x0,y0),斜率為k,則其方程為:y-y0=k(x-x0)(2)斜截式已知直線在y軸上的截距為b,斜率為k,則其方程為:y=kx+b(3)兩點(diǎn)式已知直線過兩點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2),則其方程為:
yy1y=xx1x(x1≠x2)2y1x21
(4)截距式已知直線在x,y軸上截距分別為a、b,則其方程為:
xayb1
(5)參數(shù)式已知直線過點(diǎn)P(x0,y0),它的一個(gè)方向向量是(a,b),
則其參數(shù)式方程為xx0atyy(t為參數(shù)),特別地,當(dāng)方向向量為0bt
v(cosα,sinα)(α為傾斜角)時(shí),則其參數(shù)式方程為
xx0tcosαyy0tsinα(t為參數(shù))
這時(shí),t的幾何意義是tv=p→→0p,|t|=|p0p|=|p0p|
(6)一般式Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為0).(7)特殊的直線方程
①垂直于x軸且截距為a的直線方程是x=a,y軸的方程是x=0.②垂直于y軸且截距為b的直線方程是y=b,x軸的方程是y=0.
3.兩條直線的位置關(guān)系
(1)平行:當(dāng)直線l1和l2有斜截式方程時(shí),k1=k2且b1≠b2.
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當(dāng)l1和l2是一般式方程時(shí),A1B1CA≠12B2C2
(2)重合:當(dāng)l1和l2有斜截式方程時(shí),k1=k2且b1=b2,當(dāng)l1和l2是
一般方程時(shí),A1AB1C12B2C2
(3)相交:當(dāng)l1,l2是斜截式方程時(shí),k1≠k2
當(dāng)lA2B11,l2是一般式方程時(shí),A≠2B2
交點(diǎn):A1xB1yC10①A的解2xB2yC20斜到角:l到lkk112的角tanθ2(1k1交1kk2≠0)1k2夾角公式:l和l夾角tanθ|k2k1|(1k121k1k2≠0)1k2
②垂直當(dāng)l1和l2有敘截式方程時(shí),k1k2=-1當(dāng)l1和l2是一般式方程時(shí),A1A2+B1B2=0
4.點(diǎn)P(x0,y0)與直線l:Ax+By+C=0的位置關(guān)系:
Ax0+By0+C=0P在直線l上(點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程)Ax0+By0+C≠0P在直線l外.
點(diǎn)P(x+By0+C|0,y0)到直線l的距離為:d=|Ax0A2B2
5.兩條平行直線l1∶Ax+By+C1=0,l2∶Ax+By+C2=0間
的距離為:d=|C1C2|A2B2.
6.直線系方程
具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系,它的方程的特點(diǎn)是除含坐標(biāo)變量x,y以外,還含有特定的系數(shù)(也稱參變量).
確定一條直線需要兩個(gè)獨(dú)立的條件,在求直線方程的過程中往往先根據(jù)一個(gè)條件寫出所求直線所在的直線系方程,然后再根據(jù)另一個(gè)條件來確定其中的參變量.
(1)共點(diǎn)直線系方程:
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經(jīng)過兩直線l1∶A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是待定的系數(shù).
在這個(gè)方程中,無論λ取什么實(shí)數(shù),都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不表示l2.當(dāng)λ=0時(shí),即得A1x+B1y+C1=0,此時(shí)表示l1.
(2)平行直線系方程:直線y=kx+b中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí),表示平行直線系方程.與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C),λ是參變量.
(3)垂直直線系方程:與直線Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)垂直的直線系方程是:Bx-Ay+λ=0.
如果在求直線方程的問題中,有一個(gè)已知條件,另一個(gè)條件待定時(shí),可選用直線系方程來求解.7.簡單的線性規(guī)劃
(1)二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.
二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,即各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
(2)線性規(guī)劃:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,稱為線性規(guī)劃問題,
例如,z=ax+by,其中x,y滿足下列條件:
A1x+B1y+C1≥0(或≤0)A2x+B2y+C2≥0(或≤0)(*)Anx+Bnx+Cn≥0(或≤0)
求z的最大值和最小值,這就是線性規(guī)劃問題,不等式組(*)是一組對變量x、y的線性約束條件,z=ax+by叫做線性目標(biāo)函數(shù).滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域,使線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解.三、曲線和方程1.定義
在選定的直角坐標(biāo)系下,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解
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建立了如下關(guān)系:
(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解(一點(diǎn)不雜);(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)(一點(diǎn)不漏).
這時(shí)稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程;曲線C為方程f(x,y)=0的曲線(圖形).設(shè)P={具有某種性質(zhì)(或適合某種條件)的點(diǎn)},Q={(x,y)|f(x,y)=0},若設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),則用集合的觀點(diǎn),上述定義中的兩條可以表述為:
(1)M∈P(x0,y0)∈Q,即PQ;(2)(x0,y0)∈QM∈P,即QP.
以上兩條還可以轉(zhuǎn)化為它們的等價(jià)命題(逆否命題):
(1)(x0,y0)QMP;(2)MP(x0,y0)Q.
顯然,當(dāng)且僅當(dāng)PQ且QP,即P=Q時(shí),才能稱方程f(x,y)=0
為曲線C的方程;曲線C為方程f(x,y)=0的曲線(圖形).2.曲線方程的兩個(gè)基本問題
(1)由曲線(圖形)求方程的步驟:
①建系,設(shè)點(diǎn):建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用變數(shù)對(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);②立式:寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合p={M|p(M)};③代換:用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;④化簡:化方程f(x,y)=0為最簡形式;
⑤證明:以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).
上述方法簡稱“五步法”,在步驟④中若化簡過程是同解變形過程;或最簡方程的解集與原始方程的解集相同,則步驟⑤可省略不寫,因?yàn)榇藭r(shí)所求得的最簡方程就是所求曲線的方程.
(2)由方程畫曲線(圖形)的步驟:
①討論曲線的對稱性(關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn));②求截距:
方程組f(x,y)0y0的解是曲線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo);
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方程組f(x,y)0x0的解是曲線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo);
③討論曲線的范圍;④列表、描點(diǎn)、畫線.
3.交點(diǎn)
求兩曲線的交點(diǎn),就是解這兩條曲線方程組成的方程組.
4.曲線系方程
過兩曲線f1(x,y)=0和f2(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線系方程是f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ∈R).四、圓1.圓的定義
平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)叫圓.
2.圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(a,b)為圓心,r為半徑.特別地:當(dāng)圓心為(0,0)時(shí),方程為x2+y2=r2(2)一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
D2配方(x2)2(yE2DE24F2)4
當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程表示以(-DE2,-2)為圓心,以12D2E24F為半徑的圓;
當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程表示點(diǎn)(-D2,-E2)
當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)解,無軌跡.
(3)參數(shù)方程以(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的參數(shù)方程為
xarcosθybrsinθ(θ為參數(shù))
特別地,以(0,0)為圓心,以r為半徑的圓的參數(shù)方程為
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xrcosθyrsinθ(θ為參數(shù))
3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑為r.
(1)點(diǎn)在圓外d>r;(2)點(diǎn)在圓上d=r;(3)點(diǎn)在圓內(nèi)d<r.
4.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)直線l:Ax+By+C=0和圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,則
d|AaBbC|A2B2.
(1)相交直線與圓的方程組成的方程組有兩解,△>0或d<r;(2)相切直線與圓的方程組成的方程組有一組解,△=0或d=r;(3)相離直線與圓的方程組成的方程組無解,△<0或d>r.
5.求圓的切線方法
(1)已知圓x2+y2+Dx+Ey+F=0.
①若已知切點(diǎn)(x0,y0)在圓上,則切線只有一條,其方程是
xD(xx0)E(yy00xy0y2)2F0.
當(dāng)(xy+D(x0xy0y0,0)在圓外時(shí),x0x+y0y2)+E(2)+F=0表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程.
②若已知切線過圓外一點(diǎn)(x0,y0),則設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線,注意不要漏掉平行于y軸的切線.
③若已知切線斜率為k,則設(shè)切線方程為y=kx+b,再利用相切條件求b,這時(shí)必有兩條切線.
(2)已知圓x2+y2=r2.
①若已知切點(diǎn)P0(x0,y0)在圓上,則該圓過P0點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=r2.
②已知圓的切線的斜率為k,圓的切線方程為y=kx±rk21.
6.圓與圓的位置關(guān)系
已知兩圓圓心分別為O1、O2,半徑分別為r1、r2,則
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(1)兩圓外切|O1O2|=r1+r2;(2)兩圓內(nèi)切|O1O2|=|r1-r2|;(3)兩圓相交|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2.
單元知識(shí)總結(jié)
一、圓錐曲線1.橢圓
(1)定義
定義1:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓(這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn)).
定義2:點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常
數(shù)e=ca(0<e<1)時(shí),這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓.
(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
圖8-1的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2y2a2+b2=1(a>b>0)8-2的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2y2圖b2+a2=1(a>b>0)
(3)幾何性質(zhì)
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條件{M|MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}|MF|MF{M|1|2|點(diǎn)M到l=1的距離點(diǎn)M到l1}2的距離=e,0<e<標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2x2y2a2b21(a>b>0)b2a21(a>b>0)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)B1(0,-b),B2(0,b)B1(-b,0),B2(b,0)軸對稱軸:x軸,y軸.長軸長|A1A2|=2a,短軸長|B1B2|=2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c)焦距|F1F2|=2c(c>0),c2=a2-b2
離心率e=ca(0<e<1)準(zhǔn)線方程la2a2a21:x=c;lx=a22:cl1:y=c;l2:y=c焦點(diǎn)半徑|MF1|=a+ex0,|MF1|=a+ey0,|MF2|=a-ex0|MF2|=a-ey0>外點(diǎn)和橢圓x2200的關(guān)系a2yb21(x0,y0)在橢圓上<內(nèi)(ky=為切線斜率kx±a2k)2,b2(ky=為切線斜率kx±b2k)2,a2切線方程x0xy0y0ya2+b2=1x0xb2+ya2=1(x0,y0)為切點(diǎn)(x0,y0)為切點(diǎn)切點(diǎn)弦(x0,y(xx0)在橢圓外x0,y0)在橢圓外0y0yx0x方 程a2+b2=1b2+y0ya2=1|x-y12-x1|1+k2或|y12|1+k2弦長公式其中(x1,y1),(x2,y2)為割弦端點(diǎn)坐標(biāo),k為割弦所在直線的斜率
2.雙曲線
(1)定義
定義1:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)).
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定義2:動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比是常數(shù)e(e>1)時(shí),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)).
(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
圖8-3的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
x2y2a2-b2=1(a>0,b>0)
圖8-4的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
y2x2a2-b2=1(a>0,b>0)
(3)幾何性質(zhì)
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P={M|MF1|-|MF2|=2a,a>0,2a<|F1F2|}.條件P={M||MF1||MF2|點(diǎn)M到l=l=e,e>1}.1的距離點(diǎn)M到2的距離標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b=1(a>0,b>0)y2x22a2-b2=1(a>0,b>0)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)軸對稱軸:x軸,y軸,實(shí)軸長|A1A2|=2a,虛軸長|B1B2|=2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c)焦距|F1F2|=2c(c>0),c2=a2+b2離心率e=ca(e>1)a2a2準(zhǔn)線方程la2a21:x=-c;l2:x=cl1:y=-c;l2:y=c漸近線y=±bx(或x2y2y=±a程2-方aab2=0)bx(或y2x2a2-b2=0)共漸近線x2y2y2的雙曲線a2-b2=k(k≠0)a2-x2b2=k(k≠0)系方程焦點(diǎn)半徑|MF1|=ex0+a,|MF1|=ey0+a,|MFy=2kx|=±ex0a2-k2ab2|MFy=2kx|=±ey0b2-k2aa2(kk>為切線斜率b)b(ka或k<-ak>為切線斜率a)ab或k<-b切線方程x0x0ya2-y0yb2=1ya2-x0xb2=1((xxy0=,a2y的切線方程:0)為切點(diǎn)x0yy0((xx0y)為切點(diǎn)2=,a2((x00,y0)為切點(diǎn)
切點(diǎn)弦(x0,y0)在雙曲線外(x0,y0)在雙曲線外方程x0xy0ya2-y0yb2=1a2-x0xb2=1|x12-x1|1+k2或|y1-y2|1+k2弦長公式其中(x1,y1),(x2,y2)為割弦端點(diǎn)坐標(biāo),k為割弦所在直線的斜率
3.拋物線
(1)定義
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平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,類型及幾何性質(zhì),見下表:
①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下特點(diǎn):都以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以一條坐標(biāo)軸為對稱軸;方程不同,開口方向不同;焦點(diǎn)在對稱軸上,頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線距離.
②p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離.
③弦長公式:設(shè)直線為y=kx+b拋物線為y2=2px,|AB|=1k2
|x2-x1|=11k2|y2-y1|
焦點(diǎn)弦長公式:|AB|=p+x1+x2
4.圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義
與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線,定點(diǎn)叫做焦點(diǎn),定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率,用e表示,當(dāng)0<e<1時(shí),是橢圓,當(dāng)e>1時(shí),是雙曲線,當(dāng)e=1時(shí),是拋物線.二、利用平移化簡二元二次方程1.定義
缺xy項(xiàng)的二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不同時(shí)為0)※,通過配方和平移,化為圓型或橢圓型或雙曲線型或拋物線型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的過程,稱為利用平移化簡二元二次方程.
A=C是方程※為圓的方程的必要條件.A與C同號(hào)是方程※為橢圓的方程的必要條件.A與C異號(hào)是方程※為雙曲線的方程的必要條件.A與C中僅有一個(gè)為0是方程※為拋物線方程的必要條件.
2.對于缺xy項(xiàng)的二元二次方程:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C不同時(shí)為0)利用平移變換,可把圓錐曲線的一般
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方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,其方法有:①待定系數(shù)法;②配方法.
(xh)2(yk)2(xh)2(yka2+b2=1或b2+)2橢圓:a2=1
中心O′(h,k)
雙曲線:(xh)2(yk)2(yk)2(xh)2a2-b2=1或a2-b2=1
中心O′(h,k)
拋物線:對稱軸平行于x軸的拋物線方程為(y-k)2=2p(x-h(huán))或(y-k)2=-2p(x-h(huán)),頂點(diǎn)O′(h,k).
對稱軸平行于y軸的拋物線方程為:(x-h(huán))2=2p(y-k)或(x-h(huán))2=-2p(y-k)頂點(diǎn)O′(h,k).
以上方程對應(yīng)的曲線按向量a=(-h(huán),-k)平移,就可將其方程化為圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.
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