《復變函數(shù)》總結(jié)

復變小結(jié)

1.幅角（不贊成死記，學會分析）

yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.對于P12例題1.11可理解為高中所學的平面上三點（A,B,C）共線所滿足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA

c.對于P15例題1.14中可直接轉(zhuǎn)換成X和Y的表達式后判斷正負號來確定其圖像。

d.判斷函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是否連續(xù)可借助課本P17定義1.84.解析函數(shù)，指數(shù)，對數(shù)，冪、三角雙曲函數(shù)的定義及表達式，能熟練計算，能熟練解初等函數(shù)方程

a.在某個區(qū)域內(nèi)可導與解析是等價的。但在某一點解析一定可導，可導不一定解析。

b.柯西黎曼條件，自己牢記:（注意那個加負那個不加）c.指數(shù)函數(shù):復數(shù)轉(zhuǎn)換成三角的定義。d.只需記�。篖nz=ln[z]+i(argz+2k)

e.冪函數(shù)：底數(shù)為e時直接運算（一般轉(zhuǎn)換成三角形式）當?shù)讛?shù)不為e時，w=za=eaLnz(冪指數(shù)為Ln而非ln)

ieeii,,e能夠區(qū)分：,i的計算。

f.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：

eizeizeizeizcos只需記住：z,sinz.

22i

其他可自己試著去推導一下。

eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i

反三角中前三個最好自己記住，特別ArctgziLn1iz

21iz因為下一章求積分會用到5.復變函數(shù)的積分

(arctanz),1z21(如第三章的習題9)a.注：只有當函數(shù)解析即滿足柯西-黎曼公式時求積分才與路徑無關(guān)只與出沒位置有關(guān)。（勿亂用）例如:zdz與路徑無關(guān)。而zdz與路徑有關(guān)。

ccb.柯西-古薩基本定理：當函數(shù)f(z)在以簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域D內(nèi)解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時：

重要公式

f(z)dz0C2πi,n0,dzn10,n0.(zz)|z0z|r0c.柯西積分公式和高階導數(shù)公式及其應(yīng)用于計算積分：1f(z)

dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0f(n)(z)n!f(z)dz(3.20)d.調(diào)和函數(shù)：

22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy

一般與柯西-黎曼公式一起用:熟知課本P52中的例3.11中三種解法即可。6.級數(shù)

(x,y)調(diào)和:2a.熟知課本P59定理4.2及其推導（其中1最重要）性質(zhì)。b.阿貝爾定理:判斷收斂和發(fā)散區(qū)間。

c.冪級數(shù)的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數(shù)級數(shù)）

d.泰勒級數(shù)：n0

f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.

n!五個重要初等函數(shù)展開式：

2nez1zzz.8).(42!n!

2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)

z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!

(4.11)

其余可由式：

11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推導。（注意各展開式的[z]取值范圍）

e.洛朗展開式:與泰勒展開式的主要區(qū)別在于其包含Z的負次數(shù)方冪。泰勒展開式是洛朗展開式的特殊形式。（即當洛朗展開式中奇點為可去奇點時展開式為泰勒形式）f.零點，奇點，極點

零點:即使得函數(shù)f(z)=0的點。奇點：即使得函數(shù)f(z)無意義的點。（P82定理4.18的三條關(guān)于孤立奇點的等價式實為可去奇點的特征）奇點又分為：可去奇點，本性奇點，一般奇點�？扇テ纥c：即洛朗展開式中不存在Z的負次數(shù)方冪。本性奇點：即展開式中存在Z的負無窮次方冪。一般奇點：即展開式中存在Z的有限次負次數(shù)方冪。極點：即為奇點中除去可去奇點后的所有奇點。極點一定是奇點，但奇點不一定是奇點。

（奇點容易判斷，極點可借助P83定理4.19判斷同時可以學會判斷是幾階極點，對于第五章中求留數(shù)有用）P84定理4.22：極點和零點的關(guān)系。7.留數(shù)

a.留數(shù)定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)利用課本P93-94三種情形及第五章中判斷極點的階數(shù)求留數(shù)（沒什么特殊方法，希望大家通過多練來掌握）

f(z),b.利用留數(shù)定理求積分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n有些情況下利用留數(shù)和定理：

Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解

11特殊轉(zhuǎn)換：Res[f(z),]Resfzz2,0c.用留數(shù)計算實積分：

2π

0R(cos,sin)d形如：的積分，一般令z=ei

使用條件：R(x,y)變量x，y的有理函數(shù)，并且在單位圓上分母不為零。

形如R(x)dx的積分

使用條件：函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次,并且R(x)在實軸上沒有孤立奇點時,積分是存在的.

形如：

eixf(x)dx的積分

使用條件:其中f(z)在Imz≥0內(nèi)除可能有有限各孤立奇點外處處解析，并且當z在Imz≥0上時P104引理5.3中（5.15）式成立。（具體理解大家可參考課本中的例題）老師所給劃題目：P22-例、P26-例、P33-3

P26-例、P33-1P55-7（1、2）、相關(guān)例子P46-例、P47例、P55-8P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）P113-5、相關(guān)例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相關(guān)例子

以上基本上是理論的東西。有些東西僅為個人理解，如有問題可提出來。例題大家可參考吳林峰發(fā)到群郵箱內(nèi)的試卷。里面全部附有答案（如果找不到的可找我要）。復變看書是作用不是很大，大家還是多做做題練習一下，效果會更好。

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復變小結(jié)

1.幅角（不贊成死記，學會分析）

yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.對于P12例題1.11可理解為高中所學的平面上三點（A,B,C）共線所滿足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA

c.對于P15例題1.14中可直接轉(zhuǎn)換成X和Y的表達式后判斷正負號來確定其圖像。

d.判斷函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是否連續(xù)可借助課本P17定義1.84.解析函數(shù)，指數(shù)，對數(shù)，冪、三角雙曲函數(shù)的定義及表達式，能熟練計算，能熟練解初等函數(shù)方程

a.在某個區(qū)域內(nèi)可導與解析是等價的。但在某一點解析一定可導，可導不一定解析。

b.柯西黎曼條件，自己牢記:（注意那個加負那個不加）c.指數(shù)函數(shù):復數(shù)轉(zhuǎn)換成三角的定義。d.只需記住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k)

e.冪函數(shù)：底數(shù)為e時直接運算（一般轉(zhuǎn)換成三角形式）當?shù)讛?shù)不為e時，w=za=eaLnz(冪指數(shù)為Ln而非ln)

ieeii,,e能夠區(qū)分：,i的計算。

f.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：

eizeizeizeizcos只需記�。簔,sinz.

22i

其他可自己試著去推導一下。

eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i

反三角中前三個最好自己記住，特別ArctgziLn1iz

21iz因為下一章求積分會用到5.復變函數(shù)的積分

(arctanz),1z21(如第三章的習題9)a.注：只有當函數(shù)解析即滿足柯西-黎曼公式時求積分才與路徑無關(guān)只與出沒位置有關(guān)。（勿亂用）例如:zdz與路徑無關(guān)。而zdz與路徑有關(guān)。

ccb.柯西-古薩基本定理：當函數(shù)f(z)在以簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域D內(nèi)解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時：

重要公式

f(z)dz0C2πi,n0,dzn1

(zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西積分公式和高階導數(shù)公式及其應(yīng)用于計算積分：

1f(z)

dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20)

d.調(diào)和函數(shù)：

22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy

一般與柯西-黎曼公式一起用:熟知課本P52中的例3.11中三種解法即可。6.級數(shù)

(x,y)調(diào)和:2a.熟知課本P59定理4.2及其推導（其中1最重要）性質(zhì)。b.阿貝爾定理:判斷收斂和發(fā)散區(qū)間。

c.冪級數(shù)的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數(shù)級數(shù)）

d.泰勒級數(shù)：n0

f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.

n!五個重要初等函數(shù)展開式：

2znez1zz.(4.8)2!n!

2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)

z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!

(4.11)

其余可由式：

11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推導。（注意各展開式的[z]取值范圍）

e.洛朗展開式:與泰勒展開式的主要區(qū)別在于其包含Z的負次數(shù)方冪。泰勒展開式是洛朗展開式的特殊形式。（即當洛朗展開式中奇點為可去奇點時展開式為泰勒形式）f.零點，奇點，極點

零點:即使得函數(shù)f(z)=0的點。奇點：即使得函數(shù)f(z)無意義的點。（P82定理4.18的三條關(guān)于孤立奇點的等價式實為可去奇點的特征）奇點又分為：可去奇點，本性奇點，一般奇點。可去奇點：即洛朗展開式中不存在Z的負次數(shù)方冪。本性奇點：即展開式中存在Z的負無窮次方冪。一般奇點：即展開式中存在Z的有限次負次數(shù)方冪。極點：即為奇點中除去可去奇點后的所有奇點。極點一定是奇點，但奇點不一定是奇點。

（奇點容易判斷，極點可借助P83定理4.19判斷同時可以學會判斷是幾階極點，對于第五章中求留數(shù)有用）P84定理4.22：極點和零點的關(guān)系。7.留數(shù)

a.留數(shù)定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)利用課本P93-94三種情形及第五章中判斷極點的階數(shù)求留數(shù)（沒什么特殊方法，希望大家通過多練來掌握）

f(z),b.利用留數(shù)定理求積分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n有些情況下利用留數(shù)和定理：

Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解

11特殊轉(zhuǎn)換：Res[f(z),]Resfzz2,0c.用留數(shù)計算實積分：

2π

0R(cos,sin)d形如：的積分，一般令z=ei

使用條件：R(x,y)變量x，y的有理函數(shù)，并且在單位圓上分母不為零。

形如R(x)dx的積分

使用條件：函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次,并且R(x)在實軸上沒有孤立奇點時,積分是存在的.

形如：

eixf(x)dx的積分

使用條件:其中f(z)在Imz≥0內(nèi)除可能有有限各孤立奇點外處處解析，并且當z在Imz≥0上時P104引理5.3中（5.15）式成立。（具體理解大家可參考課本中的例題）老師所給劃題目：P22-例、P26-例、P33-3

P26-例、P33-1P55-7（1、2）、相關(guān)例子P46-例、P47例、P55-8P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）P113-5、相關(guān)例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相關(guān)例子

以上基本上是理論的東西。有些東西僅為個人理解，如有問題可提出來。例題大家可參考吳林峰發(fā)到群郵箱內(nèi)的試卷。里面全部附有答案（如果找不到的可找我要）。復變看書是作用不是很大，大家還是多做做題練習一下，效果會更好。

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