復(fù)變函數(shù)公式及常用方法總結(jié)

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第一章復(fù)數(shù)

1i2=-1i1歐拉公式z=x+iy

實(shí)部Rez虛部Imz

2運(yùn)算①z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2

②z1z2Rez1z2Imz1z2Rez1Rez2Imz1Imz2

z1z2③

x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1

④

z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2⑤zxiy共軛復(fù)數(shù)

zzxiyxiyx2y2共軛技巧

運(yùn)算律P1頁

3代數(shù)，幾何表示

zxiyz與平面點(diǎn)x,y一一對(duì)應(yīng)，與向量一一對(duì)應(yīng)

輻角當(dāng)z≠0時(shí)，向量z和x軸正向之間的夾角θ，記作θ=Argz=02kk=±1±2±3…

把位于-π＜0≤π的0叫做Argz輻角主值記作0=argz0

4如何尋找argz

例：z=1-iz=i

4

2z=1+i

4z=-1π

5極坐標(biāo)：xrcos，yrsinzxiyrcosisin

i利用歐拉公式ecosisin可得到zre

iz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei12

6高次冪及n次方

znzzzzrneinrncosnisinn

凡是滿足方程z的ω值稱為z的n次方根，記作

nnz

zrei2kn即rn

2knr2kn

1n第二章解析函數(shù)

1極限2函數(shù)極限

①復(fù)變函數(shù)

對(duì)于任一ZD都有W與其對(duì)應(yīng)fz注：與實(shí)際情況相比，定義域，值域變化例fzz

②limfzzz0稱fz當(dāng)zz0時(shí)以A為極限

zz0☆當(dāng)fz0時(shí)，連續(xù)例1

證明fzz在每一點(diǎn)都連續(xù)

證：fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一點(diǎn)都連續(xù)

3導(dǎo)數(shù)

fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0"例2fzC時(shí)有C證：對(duì)z有l(wèi)imz0fzzfzCClim0所以C"0z0zz例3證明fzz不可導(dǎo)解：令zz0

fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy當(dāng)0時(shí)，不存在，所以不可導(dǎo)。

定理：fzux,yivx,y在zxiy處可導(dǎo)u，v在x,y處可微，且滿足C-R

條件

uvuvuvi且fz

xxxyyx例4證明fzz不可導(dǎo)

解：fzzxiy其中ux,yxvx,yyu,v關(guān)于x,y可微

uv11不滿足C-R條件所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)xy例5fzRez

解：fzRezxux,yxvx,y0

uv10不滿足C-R條件所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)xy例6：fzz

2解：fzz2x2y2其中ux,yx2y2vx,y0

根據(jù)C-R條件可得2x0,2y0x0,y0所以該函數(shù)在z0處可導(dǎo)

4解析

若fz在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)都可導(dǎo)，此時(shí)稱fz在z0處解析。用C-R條件必須明確u,v

四則運(yùn)算fgfgfgzfggzkfkfznnzn1

zfgfgfg☆eezffgfg2gg例：證明fzezeezz

解：fzezexcosyiexsiny則ux,yexcosyvx,yexsiny

uvexcosyexcosyxyuvexsinyexsiny任一點(diǎn)zxiy處滿足C-R條件yxz所以e處處解析fzuviexcosyiexsinyezxx練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

fzzz

22232233223解:fzzzxyxiyxixyxyiyxxyixyy

2ux,yx3xy2vx,yx2yy3所以

u2xyyuv3x2y2x23y2xyC-R

方程可得

v2xy根據(jù)xuv3x2y2x23y2xyuv2xy2xyx0,y0yx所以當(dāng)z0時(shí)fz存在導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)為0，其它點(diǎn)不存在導(dǎo)數(shù)。

初等函數(shù)

Ⅰ常數(shù)

Ⅱ指數(shù)函數(shù)ezexcosyisiny

①定義域②e1ezz2ez1z2③ez2iezcos2isin2ez④ezez

Ⅲ對(duì)數(shù)函數(shù)稱滿足ze的叫做z的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作lnz分類：類比nz的求法（經(jīng)驗(yàn)）目標(biāo)：尋找arg幅角主值

i可用：zezreuiv

iuiveueivreireu,eieiv過程：zreeeulnr,v2kk0,1,2

所以

uivlnri2klnrirgzlnziargz2k

k0,1,2

例：求Ln1Ln1iLni的值

arg1

Ln1ln1iarg12ki2k1k0,1,2

arg1i4

Ln1iln1iiarg1i2kargi1ln2i2kk0,1,2242

Lnilniiargi2k1i2kk0,1,2

2Ⅳ冪函數(shù)對(duì)于任意復(fù)數(shù)，當(dāng)z0時(shí)

zeLnz

例1：求i解

1i的值

：

i1ielni1ie1iLelnii1iniie1ii2kAr2ei12kg2

k0,1,2

例2：求1i3ieln1i3ie3iln1ie13iln2i2k24

Ⅴ三角函數(shù)eiyeiycosyeiycosyisiny2iyiyiy

eeecosyisinysiny2i定義：對(duì)于任意復(fù)數(shù)zxiy，由關(guān)系式可得z的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)

eizeizeizeizcoszsinz

22i例：求sin1icos5i解：sin1i1i1ieei1i2i1cos5iei5iei5i

2第三章復(fù)變函數(shù)的積分

1復(fù)積分

定理3.1設(shè)C是復(fù)平面上的逐段光滑曲線fzux,yivx,y在C上連續(xù)，則

fzux,yivx,yCC在C上可積，且有

fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx

C注：①C是線②方式跟一元一樣方法一：思路：復(fù)數(shù)→實(shí)化

把函數(shù)fzuiv與微分dzdxidy相乘，可得

fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx

CCC方法二：參數(shù)方程法☆核心：把C參數(shù)C：ztt

fzdzztztdt

C例：求

1；11izdz①C：0→1i的直線段②0CC1C2解：①C：zttit0t1

zdztittitdtt1i1idt1

C0011②C1:ztt0tC2:zt1it0t1

zdzzdzzdztdt1itdtCC1C201*111i1i22★結(jié)果不一樣

2柯西積分定理

例：

zaC1nn12idz

n10C：以a為圓心，ρ為半徑的圓，方向：逆時(shí)針解

：C

：

zaei2in

2

zxiy

02

zaC1ndz0edz10einieid2in1i221nin1e1nid1ed1ni0n1001ni☆積分與路徑無關(guān)：①單聯(lián)通②處處解析例：求

2zC2xasin8z1dz，其中C是連接O到點(diǎn)0,2a的擺線：

ya1cos解：已知，直線段L與C構(gòu)成一條閉曲線。因fz2z8z1在全平面上解析，

22z8z1dz0即2z8z1dz2z則

2CL2CL28z1dz

把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于

2zL28z1dz22a02x288x1dx2a2a28a1

3故

2zC88z1dz2a2a28a1

3★關(guān)鍵：①恰當(dāng)參數(shù)②合適準(zhǔn)確帶入z

3不定積分

定義3.2設(shè)函數(shù)fz在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，若D內(nèi)的一個(gè)函數(shù)z滿足條件

zfzzD定理3.7若可用上式，則例：計(jì)算解：

fzdzzzz,zz00z0D

edz

0i0izi0ezdzezei1

2練習(xí)：計(jì)算解：

2i2i22ze3z1dz

12i3z21212i3z214i12edzed3z1222622ze3z1dz4柯西積分公式

定理處處解析fz在簡(jiǎn)單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)則fa1fzdz

2iCzaez1dz例1：z1zez1ez1解：dzdzez1z1z1z0zz00

sinzz2z21dzsinz1sinz1sinzdzdzdz2isin1解：z2z21z2z22z12z1例2：例3：

9zz7dz

z22z解：

z2z2zz9zdzdz2iz2zi9z2z79z2zi5

fz1fdzDC2iz注：①C：zD

②

1一次分式z③找到fzfz在D內(nèi)處處解析例4：解

sinzzz22zz1dz

：

szzz22zz1dzszzszzs22dzdz2iiizzz1szzis11z0z2z1z2z0225解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

公式：fnzn!f2iCzn1dzDn=1，2……應(yīng)用要點(diǎn)：①zD

②

1zn1"n"

③精準(zhǔn)分離

fzn1

sinzZ12z3dzsinz例：2z1z021dz2i2!sinz2z006調(diào)和函數(shù)

2g2若gx,y滿足gx2gy20則稱gx,y叫做D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)若fzux,yivx,y在D內(nèi)解析

所以2u2u2xyv2v22xyxy0

把u,v稱為共軛調(diào)和函數(shù)

第四章級(jí)數(shù)理論

1復(fù)數(shù)到znn1距離dz,z

談極限對(duì)zn若有z0D使得dzn,z0znz00n此時(shí)z0為zn的極限點(diǎn)記作z0limzn或znz0n

n推廣：對(duì)一個(gè)度量空間x,d都可談極限2極限的性質(zhì)

znnz00znz0nznnz00nn0

n0znz0n03znxniynz0x0iy0n

xx0nn

yy0n

4zn級(jí)數(shù)問題

Snz1z2z3znSn部分和數(shù)列

若limSnS0nzn1n則zn收斂，反之則發(fā)散。都收斂，則

性質(zhì)：1若

zn

nzznnnn收斂

2若一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，可推出發(fā)散3SnS0n

Sn1S0n若若

aanan絕對(duì)收斂

但an收斂，為條件收斂

nz1zn等比級(jí)數(shù)：Snzzz

1z2nSn

zz1時(shí)收斂，其他發(fā)散n1z冪級(jí)數(shù)

Cnzz0

nn0zz0則Cnn

n0求收斂域limnCn1Cn0010R0

0zn例：求的收斂半徑及收斂圓

n1n解：因?yàn)閘im

Cn1nlim1所以級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，收斂圓為z1

nCnn1n泰勒級(jí)數(shù)

泰勒定理：設(shè)函數(shù)fz在圓K：zz0R內(nèi)解析，則fz在K內(nèi)可以展成冪級(jí)數(shù)

fzCnzz0n0nfnz0其中，Cn，（n=0,1,2……），且展式還是唯一的。

n!z例1：求fze在z0處的泰勒展式

解：fze在全平面上解析，fznzez，fn01

所以在z0處的泰勒展式為

z2zne1zz

2!n!z例2：將函數(shù)fz解

11z2展成zi的冪級(jí)數(shù)

：

fz11z211121z1izi1in1zizin121i1izi2

羅朗級(jí)數(shù)

羅朗定理若函數(shù)fz在圓環(huán)D：rzz0R0rR內(nèi)解析，則當(dāng)zD時(shí)，有fznCzzn0n

其中Cn1fdn0,1,2n12iz01例：將函數(shù)fz內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。

z1z2在圓環(huán)（1）1z2（2）2z

解：（1）在1z2內(nèi)，由于

1z1,1，所以z2111111z1z1z2z2z121z12z

nn1z11zn1n1n12n02zn0zn02n0zfz（2）在2z內(nèi)，由于

1121,1，所以zz11111121z1z2z2z121z1zz

nn12112n11zn0zzn0zznn1fz

孤立奇點(diǎn)

定義：若函數(shù)fz在z0的去心鄰域0zz0R0R內(nèi)解析，在z0點(diǎn)不解

析，則稱z0為fz的孤立奇點(diǎn)。

sinzz2z4z2nn例：11z0為可去奇點(diǎn)

2n1!z3!5!2n3sinz1zn1z21z0為一級(jí)極點(diǎn)

2n1!z3!zsin1z11111n11z0為本性奇點(diǎn)32n12n1!zz3!z第5章留數(shù)理論（殘數(shù)）

定義：設(shè)函數(shù)fz以有限項(xiàng)點(diǎn)z0為孤立奇點(diǎn)，即fz在z0的去心鄰域

1fzdz的值為函數(shù)fz在點(diǎn)z0處的留數(shù)2iC0zz0R內(nèi)解析，則稱積分

記作：Resfz,z01fzdzC2i其中，C:zz0R，C的方向是逆時(shí)針。例1：求函數(shù)fzsinz在z1處的留數(shù)。z414解：因?yàn)閦1以z1為一級(jí)零點(diǎn)，而sin10，因此fz以z1為一級(jí)極點(diǎn)。

Resfz,1sinzz411zz1sinz4z3z11sin14例2：求函數(shù)fzez在z0處的留數(shù)

解：z0是fz的本性奇點(diǎn)，因?yàn)?/p>

fzez1z111z2zn111ee1z12n2!n1!z2!n!zzz1z0z

所以C111111

n1!n!2!2!3!可得Resfz,01

111

n1!n!2!2!3!

第7章傅里葉變換

通過一種途徑使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，以便于研究。

定義：對(duì)滿足某些條件的函數(shù)ft在,上有定義，則稱

Ffteitdt

為傅里葉變換。同時(shí)ftfteitd為傅里葉逆變換

注：①傅里葉變換是把函數(shù)ft變?yōu)楹瘮?shù)F

②傅里葉逆變換是把函數(shù)F變?yōu)楹瘮?shù)ft③求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關(guān)鍵是計(jì)算積分

④兩種常見的積分方法：湊微分、分部積分復(fù)習(xí)積分：①exdx1xxedxe

0

②sin7x1dx1cos7sin7x1d7x17x17③xe2dx1x233x33x23213x232e32edx6ed3x36

④

x3exdxx3exexdx3

x3ex3exx2dxx3ex3exx2exdx2

x3ex3exx26exxdxx3ex3exx26xexex

dxx3ex3exx26xex6ex⑤x2sinxdxx2sinxsinxdx2

x2sinx2xsinxdxx2sinx2xsinxsinxdxx2sinx2xsinx2cosx

注：uvdxuvudv

例1：求ft10tsts的F

Ffteitdtsitt0edts1isedts0eitdtisitdit解：

seieits

siiisese2sins例2：求ft0ett0t00的FFfteitdt00eitdteteit0dt解：it0edt

1eiti0i22-函數(shù)

定義：如果對(duì)于任意一個(gè)在區(qū)間,上連續(xù)的函數(shù)ft，0tt0ftdtft0，則稱t為-函數(shù)。

例1：求-函數(shù)的F

恒有解：Fteitdtt0eit0eitt01

例2：求正弦函數(shù)ftsin0t的傅氏變換

Ffteitdtsin0teitdtei0tei0titedt2i解：1ei0tei0tdt2i120202ii00F☆t112

F1第8章拉普拉斯變換設(shè)ft在t0時(shí)有定義

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