高一數(shù)學初等函數(shù)知識點與題型總結

基本初等函數(shù)

一、知識導學

1.二次函數(shù)的概念、圖像和性質.（1）注意解題中靈活運用二次函數(shù)的一般式二次函數(shù)的頂點式二次函數(shù)的坐標式

f(x)ax2bxcf(x)a(xm)2n(a0)和f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

(a0)

（2）解二次函數(shù)的問題（如單調性、最值、值域、二次三項式的恒正恒負、二次方程根的范圍等）要充分利用好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結合的思想去解.

①

f(x)ax2bxc(a0)，當b24ac0時圖像與x軸有兩個交點.

M（x1,0）N(x2,0),|MN|=|x1-x2|=

.|a|②二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點或二次函數(shù)的頂點處取得.2.指數(shù)函數(shù)

①amyax(a0,a1)和對數(shù)函數(shù)ylogax(a0,a1)的概念和性質.

（1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運算法則：

anamn；②(am)namn；③(ab)nanbn（這時m,n是有理數(shù)）

MlogaMlogaNNlogcb1MlogaM；logab

nlogcaloga對數(shù)的概念及其運算性質、換底公式.

loga(MN)logaMlogaN;logaMnnlogaM;logan（2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調性與特殊點.對數(shù)函數(shù)的圖像、單調性與特殊點.

①指數(shù)函數(shù)圖像永遠在x軸上方，當a＞1時，圖像越接近y軸，底數(shù)a越大；當0錯解：∵18

5,∴l(xiāng)og185b

log1845log185log189ba∴l(xiāng)og3645log1836log184log189log184a5,∴l(xiāng)og185b

log1845log185log189∴l(xiāng)og3645log1836log184log189bb錯因：因對性質不熟而導致題目沒解完.正解：∵18

bababa

182182alog18()a2log18()a992[例2]分析方程f(x)axbxc0（a0）的兩個根都大于1的充要條件.

2錯解：由于方程f(x)axbxc0（a0）對應的二次函數(shù)為

f(x)ax2bxc的圖像與x軸交點的橫坐標都大于1即可.

f(1)0f(1)0故需滿足b，所以充要條件是b

112a2a錯因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與x軸交點坐標要大于1，卻忽視了最基本的的前題條件，應讓二次函數(shù)圖像與x軸有

交點才行，即滿足△≥0，故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件.

f(1)0b正解：充要條件是12a2b4ac0y36x126x5的單調區(qū)間.

x2xx錯解：令6t，則y361265＝t12t5

[例3]求函數(shù)

∴當t≥6,即x≥1時，y為關于t的增函數(shù)，當t≤6,即x≤1時，y為關于t的減函數(shù)∴函數(shù)

y36x126x5的單調遞減區(qū)間是(,6]，單調遞增區(qū)間為[6,)

x錯因：本題為復合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍.正解：令6∴函數(shù)

t，則t6x為增函數(shù)，y36x126x5＝t212t5＝(t6)241

∴當t≥6,即x≥1時，y為關于t的增函數(shù)，當t≤6,即x≤1時，y為關于t的減函數(shù)

y36x126x5的單調遞減區(qū)間是(,1]，單調遞增區(qū)間為[1,)

[例4]已知yloga(2ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是錯解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax復合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的減函數(shù)，由復合函數(shù)關系知，ylogau應為增函數(shù)，∴a＞1

錯因：錯因：解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復合關系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調區(qū)間應是定義域的某個子區(qū)間，即函數(shù)應在[0，1]上有意義.

yloga(2ax)是由ylogau，u2ax復合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的減函數(shù)，

由復合函數(shù)關系知，ylogau應為增函數(shù)，∴a＞1

又由于x在[0，1]上時yloga(2ax)有意義，u2ax又是減函數(shù)，∴x＝1時，u2ax取最小值是

正解：∵

umin2a＞0即可，∴a＜2，綜上可知所求的取值范圍是1＜a＜2[例5]已知函數(shù)f(x)loga(3ax).

（1）當x[0,2]時f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍.

（2）是否存在這樣的實數(shù)a使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為

存在，請說明理由.分析：函數(shù)

1，如果存在，試求出a的值；如果不

f(x)為復合函數(shù)，且含參數(shù)，要結合對數(shù)函數(shù)的性質具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問題，分析時一

0,a1

般先假設存在后再證明.

解：（1）由假設，3ax＞0，對一切x[0,2]恒成立，a顯然，函數(shù)g(x)=3ax在[0，2]上為減函數(shù)，從而g(2)＝32a＞0得到a＜(2)假設存在這樣的實數(shù)a，由題設知∴a＝

32∴a的取值范圍是（0，1）∪（1，

32）

f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1

32此時

f(x)loga(33x)當x2時，f(x)沒有意義，故這樣的實數(shù)不存在.2，

12x4xa[例6]已知函數(shù)f(x)=lg,其中a為常數(shù)，若當x∈(－∞,1］時,f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍.

a2a1xx3111xx解：124a>0,且a－a+1=(a－)+>0,∴1+2+4a>0,a>(11),當x∈(－∞,1]時,y=x與y=x都

24424x2xa2a1333是減函數(shù)，∴y=(11)在(－∞,1]上是增函數(shù)，(11)max=－,∴a>－,故a的取值范圍是(－,+∞).

4444x2x422

2

xx[例7]若(a1)解：∵冪函數(shù)

13(32a)1313，試求a的取值范圍.

yx有兩個單調區(qū)間，

∴根據(jù)a1和32a的正、負情況，有以下關系a10a1032a0.①32a0.②a132aa132a解三個不等式組：①得

a10.③32a023，

23＜a＜

32，②無解，③a＜－1，∴a的取值范圍是（－∞，－1）∪（

32）

[例8]已知a>0且a≠1,f(logax)=

a1(x－

xa21)

(1)求f(x)；(2)判斷f(x)的奇偶性與單調性；

2

(3)對于f(x),當x∈(－1,1)時,有f(1－m)+f(1－m)<0,求m的集合M.

分析：先用換元法求出f(x)的表達式；再利用有關函數(shù)的性質判斷其奇偶性和單調性；然后利用以上結論解第三問.解：(1)令t=logax(t∈R)，則xat,f(t)aatt(aa),f(x)(axax),(xR).22a1a1aa(axax)f(x),且xR,f(x)為奇函數(shù).當a1時,20,a1a1u(x)axax為增函數(shù),當0a1時,類似可判斷f(x)為增函數(shù).綜上,無論a1或0a1,f(x)在R上都是增函數(shù).

(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù),f(1m)f(m21).又x(1,1)(2)f(x)211m11m2111m2.1mm21四、典型習題導練1.函數(shù)

f(x)axb的圖像如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結論正確的是（）A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0

x的值為（）

yC.1或4C.2

2

2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,則A.13、方程loga(x1)xA.04、函數(shù)f(x)與g(x)=(

2B.4B.1

x

D.4或8D.3

(）

2(0A.

0,nB.,0C.

0,2

D.

2,0

5、圖中曲線是冪函數(shù)y＝x在第一象限的圖像，已知n可取±2，±

1四個值,則相應于曲線c1、c2、c3、c4的n依次為()211111111A.－2，－，，2B．2，，－，－2C.－，－2,2，D.2，，－2,－

2222226.求函數(shù)y=log2

2(x－5x+6)的定義域、值域、單調區(qū)間.7.若x滿足2(log21x)14log4x30,求f(x)=logxx222log22最大值和最小值.

8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)2xa2x,a為常數(shù)（1）如果f(x)＝f(x)，求a的值；

（2）當

f(x)滿足（1）時，用單調性定義討論f(x)的單調性.

基本初等函數(shù)綜合訓練B組

一、選擇題

1．若函數(shù)

f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為()

A．214B．22C．4D．12

2．若函數(shù)yloga(xb)(a0,a1)的圖象過兩點(1,0)

和(0,1)，則()

A．a2,b2B．a2,b2

C．a2,b1D．a2,b23．已知f(x6)log2x，那么f(8)等于（）

A．43B．8C．18D．12

4．函數(shù)ylgx()

A．是偶函數(shù)，在區(qū)間(,0)上單調遞增B．是偶函數(shù)，在區(qū)間(,0)上單調遞減C．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,)上單調遞增D．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,)上單調遞減

5．已知函數(shù)f(x)lg1x1x.若f(a)b.則f(a)（）A．bB．bC．11bD．b

6．函數(shù)f(x)logax1在(0,1)上遞減，那么f(x)在(1,)上（）

A．遞增且無最大值B．遞減且無最小值C．遞增且有最大值D．遞減且有最小值

二、填空題1．若

f(x)2x2xlga是奇函數(shù)，則實數(shù)a=_________。

2．函數(shù)

f(x)log1x22x5的值域是__________.

23．已知log147a,log145b,則用a,b表示log3528。4．設

A1,y,lgxy,B0,x,y,且AB，則x；y。5．計算：

322log325。

ex16．函數(shù)y的值域是__________.

xe1三、解答題

1．比較下列各組數(shù)值的大�。海�1）1.7

2．解方程：（1）9

3．已知

4．已知函數(shù)

參考答案

一、選擇題

x3.3和0.82.1；（2）3.30.7和3.40.8；（3）

3,log827,log9252231x27（2）6x4x9x

y4x32x3,當其值域為[1,7]時，求x的取值范圍。

f(x)loga(aax)(a1)，求f(x)的定義域和值域；

1112321.Alogaa3loga(2a),loga(2a),a32a,a8a,a,a3842.Aloga(b1)0,且logab1,ab2

3.D令x4.B令令u68(x0),x82,f(8)f(x6)log2xlog2216f(x)lgx,f(x)lgxlgxf(x)，即為偶函數(shù)

x,x0時，u是x的減函數(shù)，即ylgx在區(qū)間(,0)上單調遞減

1x1xlgf(x).則f(a)f(a)b.5.Bf(x)lg1x1x6．A令ux1，(0,1)是u的遞減區(qū)間，即a1，(1,)是u的遞增區(qū)間，即f(x)遞增且無最大值。

二、填空題1．

1xxxxf(x)f(x)22lga22lga10x(lga1)(2（另法）：xR，由2.

2x)0,lga10,a110110f(x)f(x)得f(0)0，即lga10,a,2x22x5(x1)244,

而011,log1x22x5log1422222alog14283.log147log145log1435ab,log3528

ablog1435141log14log14(214)1log14271(1log147)2a

log1435log1435log1435log1435ab4.1,1∵0A,y又∵1B,y0,∴l(xiāng)g(xy)0,xy1

51,∴x1,而x1，∴x1,且y1

3215.

5322log32log32532log321515ex11y6.(1,1)y，ex0,1y1ex11y三、解答題1．解：（1）∵1.71.701,0.82.10.801，∴1.73.30.82.1

0.70.80.70.80.80.8（2）∵3.33.3,3.33.4，∴3.33.4（3）log827log23,log925log35,

3.333332log22log222log23,log332log333log35,223∴l(xiāng)og925log827.

2x2xxxx2．解：（1）(3)63270,(33)(39)0,而330

3x90,3x32,

x22x4x22x2x（2）()()1,()()10

39332251()x0,則()x,332

xlog23512

3．解：由已知得14x32x37,

xxxx43237(21)(24)0,得x即

xxx43231(21)(22)0xx即021，或224∴x0，或1x2。

xx4．解：aa0,aa,x1，即定義域為(,1)；

ax0,0aaxa,loga(aax)1，即值域為(,1)。

擴展閱讀：高一數(shù)學上冊 第二章基本初等函數(shù)之對數(shù)函數(shù)知識點總結及練習題(含答案)

〖2.2〗對數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算

（1）對數(shù)的定義

①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，

N叫做真數(shù)．

②負數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）幾個重要的對數(shù)恒等式:loga10，logaa1，logaabb．

N；自然對數(shù)：lnN，即loge（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)：常用對數(shù)：lgN，即log10…）．e2.71828（4）對數(shù)的運算性質如果a0,a1,M①加法：logaN（其中

0,N0，那么

MlogaNloga(MN)

M②減法：logaMlogaNlogaN③數(shù)乘：nlogaMlogaMn(nR)

④

alogaNN

nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥換底公式：logaNlogbN(b0,且b1)

logba【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質

（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)a1yx10a1yx1ylogaxylogax圖象O(1,0)O(1,0)xx定義域值域過定點奇偶性(0,)R圖象過定點(1,0)，即當x1時，y0．非奇非偶單調性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越靠低，越靠近x軸在第一象限內，a越小圖象越靠低，越靠近x軸在第四象限內，a越大圖象越靠高，越靠近y軸在第四象限內，a越小圖象越靠高，越靠近y軸(6)反函數(shù)的概念

設函數(shù)果對于

yf(x)的定義域為A，值域為C，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如

y在C中的任何一個值，通過式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子

x(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，習慣

上改寫成

yf1(x)．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質

①原函數(shù)②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關于直線yx對稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調函數(shù)．

一、選擇題：1．

log89的值是log23A．

（）

23B．1C．

32D．2

2．已知x=2+1,則log4(x3－x－6)等于

A.

（）C.0

D.

32B.

54123．已知lg2=a，lg3=b，則

lg12等于lg15（）

A．

2ab

1abB．

a2b

1abC．

2ab

1abD．

a2b

1ab4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，則x的值為

yA．1

B．4

（）C．1或4C．(C．ln5

D．4或-1（）

5.函數(shù)y=log1(2x1)的定義域為

2A．(

1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e

1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）

y6.已知f(ex)=x，則f(5)等于

A．e5

7．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,則f(x)的圖像是

yyyABCD

8．設集合A{x|x10},B{x|log2x0|},則AB等于

A．{x|x1}C．{x|x1}

B．{x|x0}D．{x|x1或x1}

2OxOxOxOx（）

9．函數(shù)ylnx1,x(1,)的反函數(shù)為（）x1ex1,x(0,)B．yxe1ex1,x(,0)D．yxe1ex1,x(0,)A．yxe1ex1,x(,0)C．yxe1二、填空題：

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