高中數(shù)學(xué)易錯點與應(yīng)試技巧總結(jié)：數(shù)列1

概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)（數(shù)列）

一．?dāng)?shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，，n｝）的

特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如

n1*(nN)，則在數(shù)列的最大項為__（答：）；{a}nn215625an（2）數(shù)列{an}的通項為an，其中a,b均為正數(shù)，則an與an1的大小關(guān)系為___

bn1（1）已知an（答：anan1）；

（3）已知數(shù)列{an}中，ann2n，且{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍（3）；（4）一給定函數(shù)yf(x)的圖象在下列圖中，并且對任意a1(0,1)，由關(guān)系式an1f(an)得到的數(shù)列{an}滿足an1an(nN*)，則該函數(shù)的圖象是

（）（答：A）

二．等差數(shù)列的有關(guān)概念：

1．等差數(shù)列的判斷方法：定義法an1and(d為常數(shù)）或an1ananan1(n2)。如

設(shè){an}是等差數(shù)列，求證：以bn=

a1a2annN*為通項公式的數(shù)列{bn}為等差數(shù)列。

n2．等差數(shù)列的通項：ana1(n1)d或anam(nm)d。如

(1)等差數(shù)列{an}中，a1030，a2050，則通項an（答：2n10）；（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______（3．等差數(shù)列的前n和：Sn8d3）3n(a1an)n(n1)d。如，Snna1221315*（1）數(shù)列{an}中，anan1(n2,nN)，an，前n項和Sn，則a1222＝＿，n＝＿（答：a13，n10）；

（2）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn12nn，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn

-1-

2*12nn(n6,nN)（答：Tn2）.*n12n72(n6,nN)4．等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且Aab。2提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，

a2d,ad,a,ad,a2d（公差為d）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a3d,ad,ad,a3d,（公差為2d）

三．等差數(shù)列的性質(zhì)：

1．當(dāng)公差d0時，等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.2222．若公差d0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d0，則為遞減等差數(shù)列若公差d0，則為常數(shù)列。

npq3．當(dāng)m時,則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時，則有aman2ap.

如（1）等差數(shù)列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，則n＝____（答：27）；（2）在等差數(shù)列an中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n項和，則A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0

D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0（答：B）

4．若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常數(shù))、

{apnq}(p,qN*)、Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差數(shù)列，而{aan}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且an0，則{lgan}是等差數(shù)列.如

等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。（225）5．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇nd；項數(shù)為奇數(shù)2n1時，

；S奇:SS奇S偶a中，S2n1(2n1)a中（這里a中即an）（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則a6＝______（答：2）；

偶k()1:k。如

（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：5；31）.

6．若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

Anf(n)，則Bn

an(2n1)anA2n1f(2n1).如設(shè){an}與{bn}是兩個等差數(shù)列，它們的前n項bn(2n1)bnB2n1和分別為Sn和Tn，若

a6n2Sn3n1，那么n___________（答：）8n7bnTn4n37．“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)

an0an0確列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組或an10an10定出前多少項為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前n項是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如

（1）等差數(shù)列{an}中，a125，S9S17，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。

（答：前13項和最大，最大值為169）；

（2）若{an}是等差數(shù)列，首項a10,a201*a201*0，

*a201*a201*0，則使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）

8．如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究anbm.四．等比數(shù)列的有關(guān)概念：1．等比數(shù)列的判斷方法：定義法

an1aa，其中q0,an0或n1nq(q為常數(shù)）ananan1(n2)。如

（1）一個等比數(shù)列{an}共有2n1項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則an1為____

（答：

5）；6（2）數(shù)列{an}中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求證：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列。

2．等比數(shù)列的通項：ana1qn1或anamqnm。如設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1an66，

a2an1128，前n項和Sn＝126，求n和公比q.（答：n6，q1或2）2a1(1qn)a1anq3．等比數(shù)列的前n和：當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn。如

1q1q（1）等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99（答：44）；（2）

(Cn1k010nkn；)的值為__________（答：2046）

特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對

q分q1和q1兩種情形討論求解。

4．等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項。

提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個ab。如已知兩個正數(shù)a,b(ab)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關(guān)系為______（答：A＞B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，aa,,a,aq,aq22qq（公比為q）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為

aa3,,aq,aq，，因公比不一定為正數(shù)，3qq只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為q。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個

2

成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)mnpq時，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時，則有

amanap2.如（1）在等比數(shù)列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整數(shù)，則

；a10=___（答：512）

（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a10

（答：10）。

(2)若{an}是等比數(shù)列，則{|an|}、若{an}、{kan}成等比數(shù)列；{bn}{apnq}(p,qN)、成等比數(shù)列，則{anbn}、{*an}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且公比q1，則數(shù)列bnSn,S2nSn,S3nS2n，也是等比數(shù)列。當(dāng)q1，且n為偶數(shù)時，數(shù)列Sn,S2nSn,S3nS2n，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列.如

1（1）已知a0且a1，設(shè)數(shù)列{xn}滿足logaxn1x1x2x100loxgn(nN*)，且a100，則x101x102x200.（答：100a100）；

（2）在等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，若S3013S10,S10S30140，則S20的值為______（答：40）

(3)若a10,q1，則{an}為遞增數(shù)列；若a10,q1,則{an}為遞減數(shù)列；若

a10,0q1，則{an}為遞減數(shù)列；若a10,0q1,則{an}為遞增數(shù)列；若q0，

則{an}為擺動數(shù)列；若q1，則{an}為常數(shù)列.

(4)當(dāng)q1時，Sna1naq1aqnb，這里ab0，但a0,b0，這1q1q是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn，判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列。如若{an}是等比數(shù)列，且Sn3nr，則r＝（答：－1）

(5)SmnSmqmSnSnqnSm.如設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若

Sn1,Sn,Sn2成等差數(shù)列，則q的值為_____（答：－2）

(6)在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶qS奇；項數(shù)為奇數(shù)2n1時，.S奇a1qS偶(7)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列{an}僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如

數(shù)列an的前n項和為Sn（nN），關(guān)于數(shù)列an有下列三個命題：①若

anan1(nN)，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若Snan2bna、bR，則

an是等差數(shù)列；③若Sn11n，則an是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是（答：②③）

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概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)

數(shù)列

一．?dāng)?shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，，n｝）的

特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知ann(nN*)，則在數(shù)列{an}的最大項為__2n156（答：

1）；25（2）數(shù)列{an}的通項為anan，其中a,b均為正數(shù)，則an與an1的大小關(guān)系為___bn1（答：anan1）；

（3）已知數(shù)列{an}中，ann2n，且{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍

（答：3）；

（4）一給定函數(shù)yf(x)的圖象在下列圖中，并且對任意a1(0,1)，由關(guān)系式（）an1f(an)得到的數(shù)列{an}滿足an1an(nN*)，則該函數(shù)的圖象是

（答：A）

二．等差數(shù)列的有關(guān)概念：

1．等差數(shù)列的判斷方法：定義法an1and(d為常數(shù)）或an1ananan1(n2)。如

設(shè){an}是等差數(shù)列，求證：以bn=差數(shù)列。

a1a2annN*為通項公式的數(shù)列{bn}為等

n2．等差數(shù)列的通項：ana1(n1)d或anam(nm)d。如

(1)等差數(shù)列{an}中，a1030，a2050，則通項an（答：2n10）；

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（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______

（答：

3．等差數(shù)列的前n和：Sn8d3）3n(a1an)n(n1)d。如，Snna1221315*（1）數(shù)列{an}中，anan1(n2,nN)，an，前n項和Sn，則a1222＝＿，n＝＿

（答：a13，n10）；

（2）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn12nn2，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn

2*12nn(n6,nN)（答：Tn2）.*n12n72(n6,nN)4．等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且A提醒：

ab。2（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，

a2d,ad,a,ad,a2d（公差為d）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a3d,ad,ad,a3d,（公差為2d）

三．等差數(shù)列的性質(zhì)：

1．當(dāng)公差d0時，等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Snna1常數(shù)項為0.

2．若公差d0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d0，則為常數(shù)列。

n(n1)dddn2(a1)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且222npq3．當(dāng)m如

時,則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時，則有aman2ap.

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（1）等差數(shù)列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，則n＝____

（答：27）；

（2）在等差數(shù)列an中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n項和，則A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0

（答：B）

4．若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常數(shù))、

{apnq}(p,qN*)、Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差數(shù)列，而{aan}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且an0，則{lgan}是等差數(shù)列.如

等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。

（答：225）

5．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇nd；項數(shù)為奇數(shù)2n1時，

，S2n1(2n1)a中（這里a中即an）；S奇:SS奇S偶a中（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則a6＝______

（答：2）；

（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)

（答：5；31）.

6．若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

偶k()1:k。如

Anf(n)，則Bn

an(2n1)anA2n1f(2n1).如bn(2n1)bnB2n1京翰教育1對1家教高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng)

設(shè){an}與{bn}是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和分別為Sn和Tn，若

Sn3n1，那Tn4n3么

an___________bn（答：

6n2）

8n77．“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)

an0an0確列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組或an10an10定出前多少項為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前n項是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如

（1）等差數(shù)列{an}中，a125，S9S17，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。

（答：前13項和最大，最大值為169）；

（2）若{an}是等差數(shù)列，首項a10,a201*a201*0，

*a201*a201*0，則使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）

8．如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究anbm.四．等比數(shù)列的有關(guān)概念：1．等比數(shù)列的判斷方法：定義法

an1aa，其中q0,an0或n1nq(q為常數(shù)）ananan1(n2)。如

（1）一個等比數(shù)列{an}共有2n1項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則an1為____

（答：

5）；6（2）數(shù)列{an}中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求證：數(shù)列｛bn｝

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是等比數(shù)列。

2．等比數(shù)列的通項：ana1qn1或anamqnm。如

設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1an66，a2an1128，前n項和Sn＝126，求n和公比q.

（答：n6，q1或2）2a1(1qn)a1anq3．等比數(shù)列的前n和：當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn。如

1q1q（1）等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99

（答：44）；

（2）

(Cn1k010nkn)的值為__________

（答：2046）；

特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對

q分q1和q1兩種情形討論求解。

4．等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項。

提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個ab。如已知兩個正數(shù)a,b(ab)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關(guān)系為______（答：A＞B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，aa,,a,aq,aq22qq（公比為q）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為

aa3,,aq,aq，，因公比不一定為正數(shù)，3qq只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為q。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。

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（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)mnpq時，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時，則有

amanap2.如

（1）在等比數(shù)列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整數(shù)，則a10=___

（答：512）；

（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a10

（答：10）。

(2)若{an}是等比數(shù)列，則{|an|}、若{an}、{kan}成等比數(shù)列；{bn}{apnq}(p,qN)、成等比數(shù)列，則{anbn}、{*an}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且公比q1，則數(shù)列bnSn,S2nSn,S3nS2n，也是等比數(shù)列。當(dāng)q1，且n為偶數(shù)時，數(shù)列Sn,S2nSn,S3nS2n，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列.如

1（1）已知a0且a1，設(shè)數(shù)列{xn}滿足logaxn1x1x2x100loxgn(nN*)，且a100，則x101x102x200.

（答：100a100）；

（2）在等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，若S3013S10,S10S30140，則S20的值為______

（答：40）

(3)若a10,q1，則{an}為遞增數(shù)列；若a10,q1,則{an}為遞減數(shù)列；若

a10,0q1，則{an}為遞減數(shù)列；若a10,0q1,則{an}為遞增數(shù)列；若q0，

則{an}為擺動數(shù)列；若q1，則{an}為常數(shù)列.

(4)當(dāng)q1時，Sna1naq1aqnb，這里ab0，但a0,b0，這1q1q是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn，判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列。

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如若{an}是等比數(shù)列，且Sn3nr，則r＝（答：－1）

(5)SmnSmqmSnSnqnSm.如設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若

Sn1,Sn,Sn2成等差數(shù)列，則q的值為_____

（答：－2）

(6)在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶qS奇；項數(shù)為奇數(shù)2n1時，.S奇a1qS偶(7)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列{an}僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)

數(shù)列an的前n項和為Sn（nN），關(guān)于數(shù)列an有下列三個命題：①若

anan1(nN)，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若Snan2bna、bR，則

an是等差數(shù)列；③若Sn11n，則an是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是（答：②③）

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