大一上學期高數(shù)期末考試題(見解)

高數(shù)期末考試

一、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

已知cosxx是f(x)的一個原函數(shù),則f(x)cosxxdx1.

.212.

limnn(cosncos22ncos2nn).

122xarcsinx1dx3.－11x22.

二、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)4.

設(shè)(x)1x1x，(x)333x，則當x1時（　�。�.

（A）(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮�。唬˙）(x)與(x)是等價無窮��；

（C）(x)是比(x)高階的無窮小；（D）(x)是比(x)高階的無窮小.

5.

設(shè)f(x)cosx(xsinx),則在x0處有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可導.

6.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導且

f(x)0，則（）.

（A）函數(shù)F(x)必在x0處取得極大值；（B）函數(shù)F(x)必在x0處取得極小值；

（C）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，但點(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點；（D）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，點(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點。

f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x217.

設(shè)0f(t)dt,則f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

8.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0).

求1x710.

x(1x7)dx.)nu,dxxn1axax11nxdxdunnn1nxQ(x)xQ(x)nxnnduaxnnxnQ(x)du1dnuQ(u)au11.

xxe，　　x0設(shè)f(x)　求22xx，0x113f(x)dx．元，去，在有√的公式中，尤其是多項1式，要盡可能變形，換12.

0設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，，且x0g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)xA，A為常數(shù).求

13.求微分方程xy2yxlnx滿足14.已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)9的解.

四、解答題（本大題10分）

(x0)，過點(0,1)y(1)1，且曲線上任一點

M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成

面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過坐標原點作曲線

ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù)

qf(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q[0,1]，

10f(x)dxqf(x)dx0a0,1.f(x)在上連續(xù)且單調(diào)遞減是關(guān)鍵，要想

到定積分的中值定理，f(x)dxf()(ab),這樣就會把單調(diào)性聯(lián)系起

b來。

17.設(shè)函數(shù)

f(x)在0,上連續(xù)，且

0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

證明：在0,內(nèi)至少存在兩個不同的點1,2，使f(1)f(2)0.（提

xF(x)示：設(shè)

0f(x)dx）

解答一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

e35.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導

61cosx2　()cx.6.2.7.2.8.

.

exy(1y)coxys(xy)(yxyxy)xcos(xy)

x0,y0，y(0)1767xdxdu10.解：ux　　y(x)eeycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|72xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx1003)01(x1)dxxxxee302cosd　(令x1sin)212.解：由f(0)0，知g(0)0。

4x1xtu2e130f(u)duxg(x)

g(x)0f(xt)dtx(x0)

xf(x)x02f(u)du(x0)

x

g(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2

A2xf(x)x02f(u)duA

limg(x)limx0A2x0，g(x)在x0處連續(xù)。dy13.解：dx

2x2ylnx2

lnxdxC)2yexdx(exdx

13xlnx1C,19xCx1

xlnx19x93，

四、解答題（本大題10分）

xy(1)0y

14.解：由已知且

y2ydxy0，

23,將此方程關(guān)于x求導得y2yy

2特征方程：rr20

解出特征根：r11,r22.

2x其通解為

yC1exC2e

C213

代入初始條件y(0)y(0)1，得

3故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

y2exC1e2x13

ylnx01x0(xx0)15.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點為(x0,lnx0)，切線方程：由于切線過原點，解出x0e1

，從而切線方程為：

12e1y1ex

A則平面圖形面積

(e0yey)dy

V113（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

e2

曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2

1V2(ee)dy0y2

VV1V26D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

q1qq(5e12e3)2

116.證明：0f(x)dxqf(x)dx00f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)這個只是書寫答案，q1f(x)dx0qqf(x)dx01qf(x)dx0qq[f(x)dxf(x)dx]q10(1q)f(x)dxqf(x)dx00不是思考答案，思考因該是反過來。

q(1q)f()q(1q)f()12

f()f(),12又1q2與已知條件單調(diào)性相符1。(1q)f(x)dxqf(x)dx0q

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

0f(x)dxqf(x)dx0證畢。

17.

xF(x)證：構(gòu)造輔助函數(shù)：

0f(t)dt,0x。其滿足在[0,]上連續(xù)，在(0,)上可導。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由題設(shè)，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，

有

F(x)sin0xdx0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即

F()0

綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間[0,],[,]上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

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高數(shù)期末考試

一、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

已知cosxx是f(x)的一個原函數(shù),則f(x)cosxxdx1.

.212.

limnn(cosncos22ncos2nn).

122xarcsinx1dx3.－11x22.

二、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)4.

設(shè)(x)1x1x，(x)333x，則當x1時（　　）.

（A）(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小；（B）(x)與(x)是等價無窮小；

（C）(x)是比(x)高階的無窮�。唬―）(x)是比(x)高階的無窮小.

5.

設(shè)f(x)cosx(xsinx),則在x0處有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可導.

6.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導且

f(x)0，則（）.

（A）函數(shù)F(x)必在x0處取得極大值；（B）函數(shù)F(x)必在x0處取得極小值；

（C）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，但點(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點；（D）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，點(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點。

f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x217.

設(shè)0f(t)dt,則f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

8.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0).

求x710.

1x(1x7)dx.

)11.12.

xxe，　　x0設(shè)f(x)　求22xx，0x113f(x)dx．

xA10設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，，且x0g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)，A為常數(shù).求

13.求微分方程xy2yxlnx滿足14.已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)9的解.

四、解答題（本大題10分）

(x0)，過點(0,1)y(1)1，且曲線上任一點

M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成

面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過坐標原點作曲線

ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù)

qf(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q[0,1]，

10f(x)dxqf(x)dx0.

17.設(shè)函數(shù)

f(x)在0,上連續(xù)，且

0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

證明：在0,內(nèi)至少存在兩個不同的點1,2，使f(1)f(2)0.（提

xF(x)示：設(shè)

0f(x)dx）

解答

一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)

1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

e35.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導

xy)e(1y61cosx2　()cx.6.2.7.2.8.

.

coxys(xy)(y)xcos(xy)

x0,y0，y(0)1

767xdxdu10.解：ux　　y(x)eexyxyycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du

17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|7

2xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx10

03)01(x1)dx

xxxee302cosd　(令x1sin)2

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

4x1xtu2e130f(u)duxg(x)

g(x)0f(xt)dtx(x0)

xf(x)x02f(u)du(x0)

x

g(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2

A2xf(x)x02f(u)duA

limg(x)limx0A2x0，g(x)在x0處連續(xù)。

dy13.解：dx

2x2ylnx2

lnxdxC)2yexdx(exdx

13xlnx19C,19xCx1

xlnx19x3，

四、解答題（本大題10分）

y(1)0y14.解：由已知且

y2ydxy0x，

23,將此方程關(guān)于x求導得y2yy

2特征方程：rr20

解出特征根：r11,r22.

2x其通解為

yC1exC2e

C213

代入初始條件y(0)y(0)1，得

3故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

y2exC1e2x13

1x015.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點為(x0,lnx0)，切線方程：由于切線過原點，解出x0e1ylnx0(xx0)

，從而切線方程為：

12e1y1ex

A則平面圖形面積

(e0yey)dy

V113（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

e2

曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2

1V2(ee0y)dy2

VV1V26D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共12分）

q1qq(5e12e3)2

116.證明：0qf(x)dxqf(x)dx010f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)

(1q)f(x)dxqf(x)dx0q

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

0f(x)dxqf(x)dx0證畢。

x17.

F(x)證：構(gòu)造輔助函數(shù)：

0f(t)dt,0x。其滿足在[0,]上連續(xù)，在(0,)上可導。F(x)f(x)，且F(0)F()0由題設(shè)，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，

有

F(x)sin0xdx0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即

F()0

綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間[0,],[,]上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

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