高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)

高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)

安徽省太湖縣樸初中學(xué)/蘇深強(qiáng)

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材上就函數(shù)的性質(zhì)著重講解了單調(diào)性、奇偶性、周期性，但在考試測(cè)驗(yàn)甚至高考中不乏對(duì)函數(shù)對(duì)稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對(duì)稱性，因?yàn)榻滩纳蠈?duì)它有零散的介紹，例如二次函數(shù)的對(duì)稱軸，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，三角函數(shù)的對(duì)稱性，因而考查的頻率一直比較高。以筆者的經(jīng)驗(yàn)看，這方面一直是教學(xué)的難點(diǎn)，尤其是抽象函數(shù)的對(duì)稱性判斷。所以這里我對(duì)高中階段所涉及的函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)做一個(gè)粗略的總結(jié)。

一、對(duì)稱性的概念及常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱性1、對(duì)稱性的概念

①函數(shù)軸對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。

②中心對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。

2、常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱性（所有函數(shù)自變量可取有意義的所有值）

①常數(shù)函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。

②一次函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。

③二次函數(shù)：是軸對(duì)稱，不是中心對(duì)稱，其對(duì)稱軸方程為x=-b/(2a)。

④反比例函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中原點(diǎn)為它的對(duì)稱中心，y=x與y=-x均為它的對(duì)稱軸。⑤指數(shù)函數(shù)：既不是軸對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱。⑥對(duì)數(shù)函數(shù)：既不是軸對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱。

⑦冪函數(shù)：顯然冪函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；冪函數(shù)中的偶函數(shù)是軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是y軸；而其他的冪函數(shù)不具備對(duì)稱性。

⑧正弦函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中（kπ，0）是它的對(duì)稱中心，x=kπ+π/2是它的對(duì)稱軸。⑨正弦型函數(shù)：正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)當(dāng)然為零；只需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對(duì)稱軸；需要注意的是如果圖像向上向下平移，對(duì)稱軸不會(huì)改變，但對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)會(huì)跟著變化。

⑩余弦函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中x=kπ是它的對(duì)稱軸，（kπ+π/2，0）是它的對(duì)稱中心。⑾正切函數(shù)：不是軸對(duì)稱，但是是中心對(duì)稱，其中（kπ/2，0）是它的對(duì)稱中心，容易犯錯(cuò)誤的是可能有的同學(xué)會(huì)誤以為對(duì)稱中心只是（kπ,0）。

⑿對(duì)號(hào)函數(shù)：對(duì)號(hào)函數(shù)y=x+a/x(其中a>0)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以是中心對(duì)稱，原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。但容易犯錯(cuò)誤的是同學(xué)們可能誤以為最值處是它的對(duì)稱軸，例如在處理函數(shù)y=x+1/x時(shí)誤以為會(huì)有f0.5)=f(1.5)，我在教學(xué)時(shí)總是問(wèn)學(xué)生：你可看見(jiàn)過(guò)老師將“√”兩邊畫(huà)得一樣齊？學(xué)生們立刻明白并記憶深刻。

⒀三次函數(shù)：顯然三次函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)，而其他的三次函數(shù)是否具備對(duì)稱性得因題而異。

⒁絕對(duì)值函數(shù)：這里主要說(shuō)的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類(lèi)。前者顯然是偶函數(shù)，它會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱;后者是把x軸下方的圖像對(duì)稱到x軸的上方，是否仍然具備對(duì)稱性，這也沒(méi)有一定的結(jié)論，例如y=│lnx│就沒(méi)有對(duì)稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對(duì)稱。

二、函數(shù)的對(duì)稱性猜測(cè)1、具體函數(shù)特殊的對(duì)稱性猜測(cè)①一個(gè)函數(shù)一般是不會(huì)關(guān)于x軸的

這是由函數(shù)定義決定的，因?yàn)橐粋�(gè)x不會(huì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)y的值。但我們?cè)诖寺晕⒁�申，一個(gè)曲線是可能關(guān)于x軸對(duì)稱的。

例1判斷曲線y^2=4x的對(duì)稱性。②函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

例2判斷函數(shù)y=cos(sin(x))的對(duì)稱性。③函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

例3判斷函數(shù)y=（x^3）×sinx的對(duì)稱性。④函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱

例4判斷函數(shù)y=1/x的對(duì)稱性。⑤函數(shù)關(guān)于y=-x對(duì)稱

例5判斷函數(shù)y=-4/x的對(duì)稱性。我總結(jié)為：設(shè)（x,y）為原曲線圖像上任一點(diǎn)，如果（x,-y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；如果（-x,y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；如果（-x,-y）也在圖像上，則該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；如果（y,x）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=x對(duì)稱；如果（-y,-x）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=-x軸對(duì)稱。2、抽象函數(shù)的對(duì)稱性猜測(cè)①軸對(duì)稱

例6如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(4-x)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函數(shù)關(guān)于x=2.5對(duì)稱）

例7如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱軸為x=0，可見(jiàn)偶函數(shù)是特殊的軸對(duì)稱）

例8如果f(x)為偶函數(shù)，并且f(x+1)=f(x+3)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（因?yàn)閒(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出對(duì)稱軸x=-1，又因?yàn)樗��?為周期，所以x=k是它所有的對(duì)稱軸，k∈Z）

②中心對(duì)稱

例9如果函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函數(shù)的對(duì)稱中心。（因?yàn)樽宰兞考悠饋?lái)為7時(shí)函數(shù)值的和始終為6，所以中點(diǎn)固定為（3.5，3），這就是它的對(duì)稱中心）

例10如果函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0，求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心。（按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱中心為（0，0），可見(jiàn)奇函數(shù)是特殊的中心對(duì)稱）

例11如果f(x)為奇函數(shù)，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸。（由周期性定義知周期為4，又f(x+1)=-f(x+3)，從而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1為對(duì)稱軸，所以x=-1+2n為對(duì)稱軸，（2k，0）為對(duì)稱中心，其中k∈Z）

我總結(jié)為：

①當(dāng)括號(hào)里面x前面的符號(hào)一正一負(fù)時(shí)告訴我們的就是對(duì)稱性,其中的對(duì)稱為多少我們可以用特殊值代入來(lái)猜測(cè),這里并不主張記結(jié)論，因?yàn)楹苋菀着c后面的結(jié)論相混淆。

②而當(dāng)x前面的符號(hào)相同時(shí)告訴我們的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告訴我們它以6為周期。③當(dāng)x前面的符號(hào)相同，同時(shí)告訴我們奇偶性時(shí)我們也可以推出對(duì)稱性，因?yàn)槠媾夹杂兄圃熵?fù)號(hào)的能力。3、兩個(gè)抽象函數(shù)之間的對(duì)稱性猜測(cè)

例12求y=f(x+2)與y=f(1-x)的對(duì)稱軸方程。（當(dāng)?shù)谝粋�(gè)函數(shù)的x取0時(shí)，值為f(2),這時(shí)第二個(gè)函數(shù)的x必須取-1才也對(duì)應(yīng)那么多，他們的正中間為-1.5，因而猜測(cè)對(duì)稱軸為x=-1.5）

我總結(jié)為：

①當(dāng)括號(hào)里面x前面的符號(hào)一正一負(fù)時(shí)告訴我們的就是對(duì)稱性，其中的對(duì)稱為多少我們?nèi)匀豢梢杂锰厥庵荡�入�?lái)猜測(cè),這里仍然不主張記結(jié)論，因?yàn)楹苋菀着c前面的結(jié)論相混淆。

②而當(dāng)x前面的符號(hào)相同時(shí)告訴我們的是圖像平移。例如y=f(x+2)與y=f(x-1)，前者是由后者向左移三個(gè)單位得到。

三、對(duì)稱性的證明

如果在解答大題時(shí)僅僅猜測(cè)出結(jié)論是不夠的，我們要輔以完整的證明才行。1、一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性證明

例13證明如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則該函數(shù)關(guān)于直線x=(a+b)/2對(duì)稱。

證明：在y=f(x)上任取點(diǎn)（m，n），則n=f(m)，而點(diǎn)（m，n）關(guān)于x=(a+b)/2的對(duì)稱點(diǎn)為（a+b-m，n）,又因?yàn)閒（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f（m）=n,這正表明（a+b-m，n）也在原函數(shù)圖像上，從而原函數(shù)關(guān)于直線x=(a+b)/2對(duì)稱。

我總結(jié)為：核心是間接法，即在函數(shù)上任取一點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)如果仍在函數(shù)圖像上，我們就可以下結(jié)論該函數(shù)關(guān)于它對(duì)稱。

2、兩個(gè)函數(shù)之間的對(duì)稱性的證明

例14證明函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(b-x)關(guān)于直線x=(b-a)/2對(duì)稱。（注意不是(a-b）/2,證明的方法類(lèi)似于上例方法）

我總結(jié)為：仍是間接法，但是多一次，需在函數(shù)上任取一點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)如果在對(duì)方函數(shù)圖像上，同時(shí)在對(duì)方函數(shù)上任取一點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)又在該函數(shù)圖像上，我們才可以下結(jié)論該函數(shù)關(guān)于它對(duì)稱。取兩次的原因是以免兩個(gè)圖像一個(gè)只是另一個(gè)對(duì)稱過(guò)來(lái)圖像的一部分。

3、特別地關(guān)于y=x對(duì)稱性的證明

例15證明y=（2x+1）/(3x-2)關(guān)于y=x對(duì)稱。（只需求出它的反函數(shù)是自己即可）我總結(jié)為：①一個(gè)函數(shù)自身關(guān)于y=x對(duì)稱不需要用上面的間接法，只需要證明它的反函數(shù)是自己就可以了。

②兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱性證明也不需要用上面那么繁瑣的方法，只需證明兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，即求一個(gè)的反函數(shù)為另外一個(gè)就可以了。

③反過(guò)來(lái)這句話也成立，如果需要證明兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，只需要證明它們的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱即可。四、對(duì)稱性的運(yùn)用1、求值

例16已知f（x）=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。（我們只需要考慮當(dāng)兩個(gè)自變量加起來(lái)為0時(shí)函數(shù)值的和是否為定值，驗(yàn)證果然。而這里顯然隱含的是函數(shù)的對(duì)稱性）

我總結(jié)為：“配對(duì)”，對(duì)稱性主要是考查一對(duì)函數(shù)值之間的關(guān)系。2、“對(duì)稱性+對(duì)稱性”可以推導(dǎo)出周期性

例17如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求該函數(shù)的最小正周期。（因?yàn)閒(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期為4）

我總結(jié)為：兩個(gè)對(duì)稱性拼起來(lái)就可以將里面的符號(hào)化為同號(hào)，從而得出周期性。3、“奇偶性+對(duì)稱性”可以推導(dǎo)出周期性

這在前面已經(jīng)提到，還是因?yàn)槠媾夹杂兄圃熵?fù)號(hào)的能力。4、三角函數(shù)的奇偶性

例18如果函數(shù)y=3sin(2x+θ+π/4)（其中0代入求出a和b的關(guān)系即可）

我總結(jié)為：對(duì)稱性的本義就是關(guān)于對(duì)稱中心（或?qū)ΨQ軸）對(duì)稱的兩個(gè)自變量的函數(shù)值的緊密關(guān)系。這就是我關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的簡(jiǎn)單總結(jié)，難免掛一漏萬(wàn)，還請(qǐng)大家批評(píng)指正。最后筆者建議新課標(biāo)教材能類(lèi)似于函數(shù)周期性，給對(duì)稱性獨(dú)立的一節(jié)，介紹它的概念和運(yùn)用，同步練習(xí)上也給安排一節(jié)對(duì)它的獨(dú)立的練習(xí)，這樣教師在教學(xué)上就可以用適當(dāng)引申的方法，而不是象現(xiàn)在這樣，老師忙于查資料，學(xué)生忙于記筆記，耗時(shí)費(fèi)力地試圖盡可能系統(tǒng)而完整地補(bǔ)充。

結(jié)論1：若對(duì)于函數(shù)y=f(x)，中心對(duì)稱。

即若函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,則滿足:f(a-x)+f(a+x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b

,有f(a+x)+f(a-x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a,b）

下面是結(jié)論2應(yīng)用的例子，

例5函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,-2）對(duì)稱，已知f（3）＝4,求g(-5)的值。

解：由結(jié)論2可知，g(x)＝一4-f(-2-x),∴g(-5)=-4-f〔-2-(-5)〕

即g(-5)=-4-f(3)=-4-4,∴g（-5）=-8

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

一、函數(shù)對(duì)稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.

f(a+x)=f(a-x)==>f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱

f(a+x)=f(b-x)==>f(x)關(guān)于x=(a+b)/2對(duì)稱f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱

f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)關(guān)于點(diǎn)[（a+b）/2，c/2]對(duì)稱y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于x=0對(duì)稱y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于y=0對(duì)稱y=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱

例1：證明函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于x=(b-a)/2對(duì)稱。

【解析】求兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱軸，用設(shè)點(diǎn)和對(duì)稱原理作解。

證明：假設(shè)任意一點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y=f(a+x)上，令關(guān)于x=t的對(duì)稱點(diǎn)Q（2tm，n），那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]

∴b2t=a，==>t=(b-a)/2，即證得對(duì)稱軸為x=(b-a)/2.

例2：證明函數(shù)y=f(a-x)與y=f(xb)關(guān)于x=(a+b)/2對(duì)稱。

證明：假設(shè)任意一點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y=f(a-x)上，令關(guān)于x=t的對(duì)稱點(diǎn)Q（2tm，n），那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]

∴2t-b=a，==>t=(a+b)/2，即證得對(duì)稱軸為x=(a+b)/2.

二、函數(shù)的周期性

令a,b均不為零，若：

1.函數(shù)y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|a|

2.函數(shù)y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函數(shù)最小正周期T=|b-a|3.函數(shù)y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|4.函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

5.函數(shù)y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函數(shù)最小正周期T=|4a|

這里只對(duì)第2~5點(diǎn)進(jìn)行解析。

第2點(diǎn)解析：

令X=x+a，f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba

第3點(diǎn)解析：同理，f(x+a)=-f(x+2a)……①

f(x)=-f(x+a)……②∴由①和②解得f(x)=f(x+2a)∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

第4點(diǎn)解析:

f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)

又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)

∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

第5點(diǎn)解析:

∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1

∴1f(x)=2/[f(x)+1]移項(xiàng)得f(x)=12/[f(x+a)+1]

那么f(x-a)=12/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1]，即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a)，-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①，又∵-1/f(x)=f(x+2a)②，

由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)

∴函數(shù)最小正周期T=|4a|

友情提示：本文中關(guān)于《高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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