復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

目錄

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)………………………………1第二章解析函數(shù)………………………………………3第三章復(fù)變函數(shù)的積分………………………………5第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示…………………………6第五章留數(shù)及其應(yīng)用…………………………………8第八章傅里葉變換……………………………………9第九章拉普拉斯變換………………………………10

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1．復(fù)數(shù)的基本概念：復(fù)數(shù)：，稱為復(fù)數(shù)單位，并規(guī)定，與是任意實(shí)數(shù)，依次稱為的實(shí)部與虛部，分別表示為。

2．共軛復(fù)數(shù)：設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為的共軛復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：①②③④⑤⑥

3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，則：①加（減）法：②乘法：③除法：

4．復(fù)數(shù)的模與輻角：如果是一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，我們把它所對(duì)應(yīng)向量的長度叫做的模，記作；把它所對(duì)應(yīng)向量的方向角叫做輻角。用記號(hào)Arg作為的輻角的一般表示，再用arg表示的輻角中介于與之間（包括）的那一個(gè)角，并把它稱為的主輻角，即

④，，⑤，

6．復(fù)數(shù)的三角表示：設(shè)是一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，是的模，是的任意一個(gè)輻角，則：，一個(gè)復(fù)數(shù)的三角表示不是唯一的，因?yàn)槠渲械妮椊怯袩o窮多種選擇，如果有兩個(gè)三角表示相等：=，則可推出，，其中為某個(gè)整數(shù)。7．用復(fù)數(shù)的三角表示作乘除法：乘法：除法：

8．復(fù)數(shù)的乘方與開方：設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)，則：①

②設(shè)，則復(fù)數(shù)開方有：

9．平面曲線：以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，以為半徑的圓周，寫成復(fù)數(shù)的形式為：

10．復(fù)變函數(shù)：設(shè)是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于中任意的一點(diǎn)，有確定的（一個(gè)或多個(gè)）復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，則說在上定義了一個(gè)復(fù)變函數(shù)，記作。11．復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性：①設(shè)函數(shù)，則的充要條件是，

②函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)

12．在有界閉區(qū)域上的復(fù)連續(xù)函數(shù)，具有下列幾個(gè)性質(zhì)：①有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是有界的

②有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在上其模至少取得最大值與最小值各一次③有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在上是一致連續(xù)的

第二章解析函數(shù)

1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2．解析函數(shù)：如果在及的領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱在處解析;如果在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析,則稱在內(nèi)解析,或說是內(nèi)的解析函數(shù);如果在處不解析,則稱為的奇點(diǎn)。

３．函數(shù)在一點(diǎn)處解析，則一定在該點(diǎn)可導(dǎo)，但反過來不一定成立；函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)是等價(jià)的。４．解析函數(shù)的求導(dǎo)法則：

（１）四則運(yùn)算法則：設(shè)和都是區(qū)域上的解析函數(shù)，則：①②③

（２）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)，則有：

５．函數(shù)解析的充分必要條件：函數(shù)在處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)出可微，且滿足柯西－黎曼方程（Ｃ－Ｒ方程）：

６．調(diào)和函數(shù)：如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足二維拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

７．定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，則的實(shí)部和虛部都是區(qū)域內(nèi)得調(diào)和函數(shù)。８．對(duì)于函數(shù)，其中的和的求法：

９．初等函數(shù)：

（１）指數(shù)函數(shù)：對(duì)于復(fù)數(shù)，稱為指數(shù)函數(shù)。歐拉公式：性質(zhì)：①

②設(shè)，，則

③是以為周期的函數(shù)，即：

④復(fù)變量指數(shù)函數(shù)當(dāng)趨向于時(shí)沒有極限（２）對(duì)數(shù)函數(shù)：，令，則：性質(zhì)：①運(yùn)算性質(zhì)：，

②解析性：的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析，且有相同的導(dǎo)數(shù)值。（３）冪函數(shù)：（為復(fù)常數(shù)，）

性質(zhì)：①當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，是一個(gè)單值函數(shù)②當(dāng)為零時(shí)，

③當(dāng)為有理數(shù)（與為互質(zhì)的整數(shù)，）時(shí)，④當(dāng)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，

（４）三角函數(shù)：函數(shù)與分別稱為復(fù)變量的余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，記作與，即：＝；＝

性質(zhì)：①與均為單值函數(shù)

②與均為以為周期的周期函數(shù)③為偶函數(shù)，為奇函數(shù)④；⑤

⑥與在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，且

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

1．定理：設(shè)在光滑曲線上連續(xù)，則它的積分：

2．設(shè)曲線的參數(shù)方程為，則解析函數(shù)的積分就變成：3．圓的參數(shù)方程：，則積分4．復(fù)積分的基本性質(zhì):①②③

④,其中

5．柯西積分公式：設(shè)在簡單閉曲線所包圍的區(qū)域內(nèi)解析，在上連續(xù)，是內(nèi)任一點(diǎn)，則

6．解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：

第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

1．定理：設(shè)，，則的充分必要條件是，

2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：，部分和序列：如果極限存在，則稱級(jí)數(shù)是收斂的，稱為級(jí)數(shù)的和；如果沒有極限，級(jí)數(shù)發(fā)散

3．定理：級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都收斂4．定理：級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：；若，則級(jí)數(shù)必然發(fā)散5．定理：如果收斂，則也收斂6．復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：7．冪級(jí)數(shù)：，或者：

8．定理：若冪級(jí)數(shù)在處收斂，那么該級(jí)數(shù)對(duì)任意滿足的都絕對(duì)收斂；在處發(fā)散，則該級(jí)數(shù)對(duì)任意滿足的都發(fā)散

9．定理：對(duì)冪級(jí)數(shù)，如果下列條件之一成立：（1）（2），那么級(jí)數(shù)收斂。

收斂半徑：

10．冪級(jí)數(shù)和函數(shù)性質(zhì)：若冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析，則在收斂圓內(nèi)可逐次求導(dǎo)和逐次積分，即：

11．泰勒級(jí)數(shù)：設(shè)函數(shù)在圓盤內(nèi)解析，則在內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)展式為：12．邁克勞林展開式：在泰勒級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上取，則有：13．基本泰勒展式：①②

14．洛朗級(jí)數(shù)（含有負(fù)指數(shù)冪）：（①式）它可以分為：（②式）和（③式）

性質(zhì)：若②式的收斂半徑為，則當(dāng)時(shí)，②式絕對(duì)收斂；若③式的收斂半徑為，則當(dāng)時(shí)，③式絕對(duì)收斂，①式的收斂性如下：

（1）若，那么級(jí)數(shù)②③同時(shí)在圓環(huán)內(nèi)收斂，從而級(jí)數(shù)①在該圓環(huán)內(nèi)收斂；（2）若，級(jí)數(shù)①處處發(fā)散；

（3）若，則級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散15．定理：設(shè)函數(shù)在圓環(huán)上解析，則在內(nèi)有：

，其中

第五章留數(shù)及其應(yīng)用

1．孤立奇點(diǎn)：在處不解析，但在的某一個(gè)去心鄰域內(nèi)處處解析，則稱為的孤立奇點(diǎn)2．孤立奇點(diǎn)的分類：

（1）可去奇點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，有，則稱為函數(shù)的可去奇點(diǎn)，此時(shí)洛朗展式為

（2）極點(diǎn)：對(duì)于分子式的函數(shù)，若該函數(shù)的分母的階導(dǎo)數(shù)，使得將孤立奇點(diǎn)代入階導(dǎo)數(shù)后不為零，則稱是該函數(shù)的階極點(diǎn)

（3）本性奇點(diǎn)：若得洛朗展式有無限個(gè)，，則稱為函數(shù)的本性奇點(diǎn)3．定理：設(shè)在內(nèi)解析，則是的①可去奇點(diǎn)，②極點(diǎn)③本性奇點(diǎn)的充要條件是：①；②；③不存在也不為無窮大

4．留數(shù)：設(shè)在內(nèi)解析，而是的孤立奇點(diǎn)，作圓，稱為函數(shù)在處的留數(shù)，記作即：

5．留數(shù)的求法：

（1）當(dāng)為的可去奇點(diǎn)時(shí)，

（2）當(dāng)為的本性奇點(diǎn)時(shí)，只能通過的洛朗展式來求（3）當(dāng)孤立奇點(diǎn)為的極點(diǎn)時(shí)，有：

①如果為的簡單極點(diǎn)（一階極點(diǎn)）時(shí)，②若，其中，則有：③如果為的階極點(diǎn)，則：

6．留數(shù)定理：設(shè)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)：，則：

第八章傅里葉變換

1．定理：設(shè)是以為周期的實(shí)值函數(shù)，且在上滿足狄氏條件：①連續(xù)或只有有限個(gè)第一類剪短點(diǎn)；②只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則有：其中

2．傅氏積分定理：如果在上的任一有限區(qū)間滿足狄氏條件，且在上絕對(duì)可積（即），則有：

3.①傅里葉變換：②傅里葉逆變換：

4．單位沖擊函數(shù)（函數(shù)）：定義①：定義②5．單位沖擊函數(shù)的性質(zhì)：（1）對(duì)任意連續(xù)函數(shù)有：①；②

（2）函數(shù)為偶函數(shù)，即

（3）相似性質(zhì)：設(shè)為實(shí)常數(shù)，則有：

（4）函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。單位階躍函數(shù)：6．函數(shù)的傅氏變換：

第九章拉普拉斯變換

1．拉普拉斯變換：設(shè)函數(shù)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，如果對(duì)于復(fù)參數(shù)，積分收斂，則稱為的拉普拉斯變換2．若，則

3．拉普拉斯變換存在定理：設(shè)函數(shù)在上滿足下列兩個(gè)條件：①在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；②存在常數(shù)，使得則函數(shù)的拉普拉斯變換存在

4．拉普拉斯逆變換（反演積分公式）：，其中

5．利用留數(shù)計(jì)算反演積分：若是函數(shù)的所有奇點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，有，則有：

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復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

(一)復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)的概念：zxiy，x,y是實(shí)數(shù),xRez,yImz.i21.

注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小.2.復(fù)數(shù)的表示1）模：

zxy22

；

2）幅角：在z0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數(shù)）；

主值argz是位于(,]中的幅角。

3）argz與arctan之間的關(guān)系如下：

xy當(dāng)x0,

argzarctanyx；

yy0,argzarctanx當(dāng)x0,y0,argzarctanyx；

4）三角表示：z5）指數(shù)表示：zzcosisinzei，其中argz。

argz；注：中間一定是“+”

，其中(二)復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法：若z1x1iy1,z22.乘除法：1）若z1x1iy1,z2x2iy2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y2

，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

z1z2x1iy1x2iy2ix1iy1x2iy2x2iy2x2iy2i2x1x2y1y2xy2222iy1x2y2x1xyz1z22222。

i122）若z1

z1e1,z2z2e,則z1z2z1z2ei12；

z1z2e

3.乘冪與方根1）若z2）若z1nz(cosisin)zez(cosisin)zei，則zn，則

z(cosnisinn)zennin。

izzn2k2kcosisinnn(k0,1,2n1)（有n個(gè)相異的值）

（三）復(fù)變函數(shù)

1．復(fù)變函數(shù)：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D變到w平

面上的一個(gè)點(diǎn)集G的映射.

2．復(fù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)：ezexcosyisiny，在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且ezez。

注：ez是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）

對(duì)數(shù)函數(shù)：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數(shù)）；

主值：lnzlnziargz。（單值函數(shù)）

Lnz的每一個(gè)主值分支lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且lnz1z；

注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）

乘冪與冪函數(shù)：abebLna(a0)；zebbLnz(z0)

注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbbzb1。

三角函數(shù)：sinzsinz,cosz在zee2iiziz,coszee2iziz,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinz

平面內(nèi)解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同）

雙曲函數(shù)shzshz

ee2zz,chzee2zz；

奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析shzchz,chzshz。

（四）解析函數(shù)的概念1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點(diǎn)可導(dǎo)：fz0=limfz0zfz0z；

z02）區(qū)域可導(dǎo)：fz在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2．解析函數(shù)的概念

1）點(diǎn)解析：fz在z0及其z0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱fz在z0點(diǎn)解析；2）區(qū)域解析：fz在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱fz在區(qū)域內(nèi)解析；3）若f(z)在z0點(diǎn)不解析，稱z0為fz的奇點(diǎn)；

3．解析函數(shù)的運(yùn)算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)）

仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；

（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件

1．函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導(dǎo)

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

,uyvxuxvy此時(shí)，有fzuxivx。

2．函數(shù)解析的充要條件：fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析

ux,yux和vx,y在x,y在

uyuxiD內(nèi)可微，且滿足

CD條件：

v,yvx；

此時(shí)fzvx。

注意：若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則ux,y,vx,y在區(qū)

域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足CR條件時(shí)，函數(shù)f(z)uiv一定是可導(dǎo)或解析的。

3．函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法

1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習(xí)題1）

2）利用充要條件（函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習(xí)題2）3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。（函數(shù)fz是以z的形式給出，如第二章習(xí)題3）

（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

1．

復(fù)變函數(shù)積分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲線。

nk1n注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。

2．復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)

1）fzdzfzdz（c1與c的方向相反）；

cc12）[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數(shù)；ccc3）若曲線c由c1與c2連接而成，則fzdzcc1fzdzcf2zdz。

3．復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法

1）化為線積分：fzdzccudxvdyivdxudy；（常用于理論證明）

c2）參數(shù)方法：設(shè)曲線c：zzt(t)，其中對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)曲線c的終點(diǎn)，則fzdzcf[zt]z(t)dt。

（七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1．柯西古薩基本定理：

設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則fzdz0

c2．復(fù)合閉路定理：設(shè)fz在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條簡單閉

曲線，c1,c2,cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以

c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D

內(nèi)，則

①fzdzcfzdz,其中c與ck1cknk均取正向；

1②，其中由及fzdz0cc(k1,2,n)所組成的復(fù)合閉路。3．閉路變形原理：一個(gè)在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分，

不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使fz不解析的奇點(diǎn)。

4．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析，Gz為fz在B內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則z2z1fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

說明：解析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函數(shù)即可。

5.柯西積分公式：設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡單閉曲線，

c的內(nèi)部完全屬于D，z0為c內(nèi)任意一點(diǎn)，則fzczz0dz2ifz0

6．高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)fz的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為

fzc(zz0)dzn12in!fnz0(n1,2)

其中c為fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于D。

7．重要結(jié)論：

(za)c1n12i,dz0,n0n0。（c是包含a的任意正向簡單閉曲線）

8．復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法

1）若fz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法cfzdz2）設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析，

c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理，fzdz0

cf[zt]ztdt

c是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)不解析

fzdz2ifz0czz0曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：fz2indzfz0c(zz)n1n!0（f(z)在c內(nèi)解析）

曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：fzdzcnfzdz（ck1ckni內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留數(shù)基本定理）

ck1若被積函數(shù)不能表示成

fzn1(zzo)，則須改用第五章留數(shù)定理來計(jì)算。

（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

1．調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實(shí)函數(shù)(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足

x22y220，(x,y)為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

解析函數(shù)fzuiv的實(shí)部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部v為實(shí)部u的共軛調(diào)和函數(shù)。

兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z)uiv不一定是解析函數(shù)；但是若u,v如果滿足柯西黎曼方程，則uiv一定是解析函數(shù)。3．已知解析函數(shù)fz的實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實(shí)部uux,y，利用CR條件，得對(duì)

vv,xy；

vyux兩邊積分，得vuxdygx（*）

再對(duì)（*）式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得

uyvxuyvxudygx（**）xx由CR條件，

，得

udygx，可求出gx；xx代入（*）式，可求得虛部vxdygx。

uu,xu2）線積分法：若已知實(shí)部

dvvxdxvyudyyy，利用

CR條件可得

udx，故虛部為dyvxx,yx0,y0uydxuxdyc；

由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑（如折線）計(jì)算它，其中x0,y0與x,y是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。

3）不定積分法：若已知實(shí)部uux,y，根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和CR條

件得知，fzuxivyuxiuy

將此式右端表示成z的函數(shù)Uz，由于fz仍為解析函數(shù)，fzUzdzc注：若已知虛部v也可用類似方法求出實(shí)部u.

（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1．復(fù)數(shù)列的極限

1）復(fù)數(shù)列{n}{anibn}（n1,2）收斂于復(fù)數(shù)limana,nabi的充要條件為

limbnb（同時(shí)成立）

n2）復(fù)數(shù)列{n}收斂實(shí)數(shù)列{an},{bn}同時(shí)收斂。

2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n(nanibn)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)an與bn同時(shí)收斂；

n0n0n02）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是limn0。

n注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題的討論。

（十）冪級(jí)數(shù)的斂散性

1．冪級(jí)數(shù)的概念：表達(dá)式cn(zz0)或cnzn為冪級(jí)數(shù)。

nn0n02．冪級(jí)數(shù)的斂散性

1）冪級(jí)數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：

如果冪級(jí)數(shù)cnzn在z00處收斂，那么對(duì)滿足zz0的一切z，該數(shù)絕對(duì)收斂；

n0如果在z0處發(fā)散，那么對(duì)滿足zz0的一切z，級(jí)數(shù)必發(fā)散。2）冪級(jí)數(shù)的收斂域圓域

冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對(duì)收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法如果lim根值法limcn1cn0，則收斂半徑R11n；

ncn0，則收斂半徑R；

如果0，則R；說明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂；如果，則R0；說明僅在zz0或z0點(diǎn)收斂；

注：若冪級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí)，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n）

n03．冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：

設(shè)anz,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2，記RminR1,R2，

nn0n0nn則當(dāng)zR時(shí)，(anbn)zanzbnzn（線性運(yùn)算）

n0n0n0(anzn0nn)(bnz)n0(an0nb0an1b1a0bn)zn（乘積運(yùn)算）

2）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)析且gzr時(shí)，fann，當(dāng)zn0R時(shí)，gz解

r，則當(dāng)zR時(shí)，f[gz]an0n[gz]n。

3）分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級(jí)數(shù)anzn的收斂半徑為R0，則

n0其和函數(shù)fzan0nzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；

在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且fzznan0znn1zR

在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變；fzdz0ann1zn1zR

n0（十一）冪函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開：設(shè)函數(shù)fz在圓域

zz0R內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)fz可以

n展開成冪級(jí)數(shù)fzn0fnz0n!zz0；并且此展開式是唯一的。

注：若fz在z0解析，則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑

Rz0a；其中R為從z0到fz的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a之間的距離。

2．常用函數(shù)在z01）e2）

z0的泰勒展開式

z2n01n!z1zn2!z33!znn!z

11zzn0n2n1zzzz1

3）sinzn0(1)n(2n1)!(1)nz2n1zz33!z4z55!(1)n(2n1)!n2nz2n1z

4）coszn0(2n)!z2n1z22!4!(1)(2n)!zz

3．解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法1）直接法：直接求出cn1n!fnz0，于是fzcnzz0。

n0n2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開1.洛朗級(jí)數(shù)的概念：

ncnzz0n，含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。

2．洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)fz在圓環(huán)域R1zz0R2內(nèi)處處解析，c為圓環(huán)

域內(nèi)繞z0的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有

fzncznz0","p":{"h":20.977,"w":5.00fzcm(zz0)mc1(zz0)c0c1(zz0)cm(zz0)m

（十四）孤立奇點(diǎn)的判別方法1．可去奇點(diǎn)：limfzc0常數(shù)；

zz02．極點(diǎn)：limfz

zz03．本性奇點(diǎn)：limfz不存在且不為。

zz04．零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系

1）零點(diǎn)的概念：不恒為零的解析函數(shù)fz，如果能表示成fz(zz0)mz，其中z在z0解析，z00,m為正整數(shù)，稱z0為fz的m級(jí)零點(diǎn)；2）零點(diǎn)級(jí)數(shù)判別的充要條件：

fz0是fz的m級(jí)零點(diǎn)fnmz00,z00(n1,2,m1)

3）零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：z0是fz的m級(jí)零點(diǎn)z0是4）重要結(jié)論:

若za分別是z與z的m級(jí)與n級(jí)零點(diǎn)，則za是zz的mn級(jí)零點(diǎn)；當(dāng)mn時(shí)，za是

zz1fz的m級(jí)極點(diǎn)；

的mn級(jí)零點(diǎn)；

當(dāng)mn時(shí)，za是

zzzz的nm級(jí)極點(diǎn)；

當(dāng)mn時(shí)，za是的可去奇點(diǎn)；

當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級(jí)零點(diǎn)，lmin(m,n)當(dāng)mn時(shí)，za是zz的l級(jí)零點(diǎn)，其中l(wèi)m(n)（十五）留數(shù)的概念

1．留數(shù)的定義：設(shè)z0為fz的孤立奇點(diǎn)，fz在z0的去心鄰域0zz0內(nèi)解析，c為該域內(nèi)包含z0的任一正向簡單閉曲線，則稱積分

-11-

fzdz為2ic，記作Res[fz,z0]fz在z0的留數(shù)（或殘留）2．留數(shù)的計(jì)算方法

12ifzdz

c若z0是fz的孤立奇點(diǎn)，則Res[fz,z]c1，其中c1為fz在z0的

0去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中(zz0)1的系數(shù)。

1）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若z0是fz的可去奇點(diǎn)，則Res[fz,z]0

02）m級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)

法則I

若z0是fz的m級(jí)極點(diǎn)，則Res[fz,z]01(m1)!zz0dzlimdm1m1[(zz0)fmz]

特別地，若z0是fz的一級(jí)極點(diǎn)，則Res[fz,z]lim(zz0)fz

0zz0注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比m低，上述規(guī)則仍然有效。法則II設(shè)fzPzQzPzQz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,Qz00,Qz00，

Pz0Qz0則Res[,z0]

（十六）留數(shù)基本定理

設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,zn外處處解析，c為D內(nèi)包

圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則cfzdz2iRes[fz,zn]

n1說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)fz在c內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。

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