二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)總結(jié)

二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

一、二次函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫二次函數(shù)。二、二次函數(shù)的解析式三種形式

1一般式：；2頂點式：ya(xh)2k（a≠0），

頂點坐標(biāo)為（，），對稱軸是。

3兩點式：設(shè)x1、x2是拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，則

ya(xx1)(xx2)對稱軸為直線xx1x2。2三、二次函數(shù)yax2bx+c（a≠0）的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)1．開口大小。由決定，越大，開口越。2．開口方向：由決定。

當(dāng)a>0時，函數(shù)開口方向向；當(dāng)a

若交點在X軸的上方，則c0；若交點在X軸的下方，則C0；（3）b的符號由對稱軸來確定：

b0知a、b同號；2ab若對稱軸在Y軸的右側(cè),由0知a、b異號。

2a對稱軸在Y軸的左側(cè),由7.缺項二次函數(shù)的特征

2（1）拋物線yax（a≠0）的頂點在Y軸上時拋物bx+c線關(guān)于軸對稱，=0；解析式為。

2（2）拋物線yax（a≠0）經(jīng)過原點，則=0；bx+c解析式為。

2（3）拋物線yax（a≠0）頂點在原點，則b=bx+cc=，解析式為。8.拋物線的平移和軸對稱．

左右平移在括號,記上反符號上下平移在末梢

（1）拋物線yax2bx+c上（下）平移n(n0)個單位后的解析式求法：將原解析式中的不變，把轉(zhuǎn)換為；

（2）拋物線yax2bx+c左（右）平移n(n0)個單位后的解析式求法：將原解析式中的不變，把轉(zhuǎn)換為。

2（3）拋物線yax關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式bx+c是

（方法是將原yax2bx+c解析式中的不變，把轉(zhuǎn)換為，再整理）

2④物線yaxbx關(guān)于y軸對稱的拋物線解析式是+c（方法是將原解析yax2bx+c式中的不變，把轉(zhuǎn)

換為，再整理）

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二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)：

解析式a的取值開口方向函數(shù)值的增減頂點坐標(biāo)對稱軸圖像與y軸的交點yax22當(dāng)a0時；開口向上；在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的（0，0）x0（0，0）yaxkya(xh)2（0，c）x0（0，k）右側(cè)y隨x的增大而增大。2（0，ah）（h，0）xhya(xh)2k當(dāng)a0時；開口向下；在對稱軸的左側(cè)y隨22（0，ahk）（h，k）xhyaxbxcx的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小。b4acb2（,)2a4abx（0，c）2a

2.拋物線的平移法則：

2（1）拋物線yaxk的圖像是由拋物線yax的圖像平移k個單位而得到

2的。當(dāng)k0時向上平移；當(dāng)k0時向下平移。

2（2）拋物線ya(xh)的圖像是由拋物線yax的圖像平移h個單位而得到

2的。當(dāng)h0時向左平移；當(dāng)h0時向右平移。

2（3）拋物線的ya(xh)k圖像是由拋物線yax的圖像上下平移k個單位，

2左右平移h個單位而得到的。當(dāng)k0時向上平移；當(dāng)k0時向下平移；當(dāng)h0時向左平移；當(dāng)h0時向右平移。3.二次函數(shù)的最值公式：形如

y最小值yaxbxc的二次函數(shù)。當(dāng)a0時，圖像有最低點，函數(shù)有最小值

0時，圖像有最高點，函數(shù)有最大值，y最大值4acb24a；

24acb24a；當(dāng)a24.拋物線

yaxbxc與y軸的交點坐標(biāo)是（0，c）

5.拋物線的開口大小是由a決定的，a越大開口越小。

2yaxbxc的最值問題：

6.二次函數(shù)

（1）自變量的取值范圍是一切實數(shù)時求最值的方法有配方法、公式法、判別式法。（2）自變量的取值范圍不是一切實數(shù)：

自變量的取值范圍不是一切實數(shù)時，應(yīng)當(dāng)抓住對稱軸比較，再進行求最值。

6.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

22yaxbxcaxbxc0的兩根。(1)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)方程

xb2a,把他與取值范圍相

(2)拋物線與x軸的交點個數(shù)是由b24ac決定的：

當(dāng)0時拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)0拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)

0時拋物線與x軸沒有點。0時拋物線與x軸有交點。（此定理的逆定理也成

立。）

7.二次函數(shù)的三種常用形式：

2yaxbxc

（1）一般式：ya(xh)k（2）頂點式：

2（3）兩根式：

ya(xx1)(xx2)

8.一元二次方程的解法：

（1）直接開平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）圖像法。

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