一次函數(shù)復(fù)習(xí)歸納

一次函數(shù)復(fù)習(xí)歸納

一次函數(shù)函數(shù)變化的世界

一元一次方程一元一次不等式二元方程組性質(zhì)

圖像

一變量：

自變量：自己變化的量；在一個(gè)變化的過程中，我們稱數(shù)值變化的量是自變量．

常量：有些量的數(shù)值是始終不變的量叫常量．函數(shù)：因變量是自變量的函數(shù)．

函數(shù)值：當(dāng)自變量確定一個(gè)值，因變量隨之確定一個(gè)值．因變量：因自變量的變化而變化的量是因變量．

列表法直觀但不完全解析法準(zhǔn)確完全但不直觀

圖象法直觀形象但不夠準(zhǔn)確也不太完全

圖象的畫法：一列表,二描點(diǎn),三連線（順次用平滑的曲線）

解析式的列法：一）實(shí)際問題，確定自變量的取值二）符合題意

二一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念

1．概念：若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量）。關(guān)系式y(tǒng)=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）叫一次函數(shù)一般式。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k≠0）稱y是x的正比例函數(shù).（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來確定.

（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).★判斷一個(gè)等式是否是一次函數(shù)先要化簡(jiǎn)

（3）當(dāng)b=0，k≠0時(shí)，y=kx仍是一次函數(shù).(正比例函數(shù))（4）當(dāng)b=0，k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).

2.函數(shù)的表示方法：１）解析法，２）列表法，３）圖象法．

三函數(shù)的圖象

把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對(duì)應(yīng)的y值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象．畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點(diǎn)、連線．

一次函數(shù)的圖象

一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象是必經(jīng)（0，b）b和（-，0）兩點(diǎn)的一條直線，一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線

ky=kx+b．

正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是必經(jīng)（0，0）和（1，k）兩點(diǎn)的一條直線。

由于兩點(diǎn)確定一條直線，描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)（0，b），直線與x軸的交

b點(diǎn)（-，0）.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0，0），

k（1，k）即可.四一次函數(shù)性質(zhì)

1.一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的性質(zhì)（1）k的正、負(fù)決定直線的傾斜方向；

①k＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；②kO時(shí)，y的值隨x值的增大而減小．

（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越小（直線緩）；

（3）b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；

①當(dāng)b＞0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；②當(dāng)b＜0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；

③當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，是正比例函數(shù)．

（4）由于k，b的符號(hào)不同，直線y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）所經(jīng)過的象限也不同；函數(shù)kb經(jīng)過的象限Y隨x的變化圖象y=kx+bk＞0b＞0一二三Y隨x的增大而(b≠0)增大y=kx+bk＞0b＜0一三四Y隨x的增大而(b≠0)增大y=kx+bk＜0b＞0一二四Y隨x的增大而(b≠0)減小y=kx+bk＜0b＜0二三四Y隨x的增大而(b≠0)減小（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的．2.正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的性質(zhì)

（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點(diǎn)；

（2）當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；

（3）當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減�。�

y=kx(k0)3、點(diǎn)P（x，y）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系（1）如果點(diǎn)P（x，y）在直線y=kx+b的圖象上，那么x,y的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；

（2）如果x，y是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以x，y為坐標(biāo)的點(diǎn)P（x，y）必在函數(shù)的圖象上．

4、確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件

（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值．

（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值．

五一次函數(shù)與方程

1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系

一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，函數(shù)y=ax+b（a≠0，a，b為常數(shù)）中，函數(shù)的值等于0時(shí)自變量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所對(duì)應(yīng)的坐

標(biāo)（－ba，0）是直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，反過來也成立；

直線y=ax+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式ax+b一般地，每個(gè)二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)，于是也就是對(duì)應(yīng)著兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這兩函數(shù)值是何值；從形的角度考慮，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，所以一次函數(shù)及其圖像與二元一次方程組有著密切的聯(lián)系．

4.兩條直線的位置關(guān)系與二元一次方程組的解1）二元一次方程組yk1xb1k有唯一的解直線y=k1x+b1不平行于直線

y2xb2y=k2x+b2k1≠k2．

2）二元一次方程組yk1xb1無解直線y=k1yk2xbx+b1∥直線y=k2x+b2

2k1=k2，b1≠b2．

3）二元一次方程組yk1xb1有無數(shù)多個(gè)解直線y=kykxb1x+b1與y=k2x+b2

22重合k1=k2，b1=b2．5.待定系數(shù)法

先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法．其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)．例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)．

用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：一設(shè)，二代，三解，四代入

（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b；

（2）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程（組）；（3）求出k與b的值；

（4）將k、b的之帶入y=kx+b，得到函數(shù)表達(dá)式。

六知識(shí)規(guī)律小結(jié)

1．常數(shù)k，b對(duì)直線y=kx+b(k≠0）位置的影響．

①當(dāng)b＞0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；

當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交．

②當(dāng)k，b異號(hào)時(shí)，即-bk＞0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；

當(dāng)b=0時(shí)，即-bk=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；

當(dāng)k，b同號(hào)時(shí)，即-bk0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交．

③當(dāng)k＞O，b＞O時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k＞0，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)k＞O，b＜O時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)kO，b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)kO，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限；當(dāng)k＜O，b＜O時(shí)，圖象經(jīng)過第二、三、四象限．

2．直線y=kx+b（k≠0）與直線y=kx(k≠0)的位置關(guān)系．直線y=kx+b(k≠0)平行于直線y=kx(k≠0)

當(dāng)b＞0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b；當(dāng)bO時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線y=kx+b．3．直線y1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置關(guān)系．

①k1≠k2y1與y2相交；②k1k2by1與y2相交于y軸上同一點(diǎn)（0，b1）或（；1b0，b2）

2③k1k2,byk1k2,1與y2平行；④1by1與y2重合.

2b1b

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201*中考復(fù)習(xí)專題一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一變量：

自變量：自己變化的量；在一個(gè)變化的過程中，我們稱數(shù)值變化的量是自變量．常量：有些量的數(shù)值是始終不變的量叫常量．函數(shù)：被變量是自變量的函數(shù)．

函數(shù)值：當(dāng)自變量確定一個(gè)值，被變量隨之確定的一個(gè)值．

因變量：自變量的變化引起另一個(gè)量的變化，另一個(gè)量是因變量．

二一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念

1．概念：若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來確定.

（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).

★判斷一個(gè)等式是否是一次函數(shù)先要化簡(jiǎn)

（3）當(dāng)b=0，k≠0時(shí)，y=kx仍是一次函數(shù).(正比例函數(shù))（4）當(dāng)b=0，k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).

2.函數(shù)的表示方法：１）解析法，２）列表法，３）圖象法．列表法直觀但不完全解析法準(zhǔn)確完全但不直觀

圖象法直觀形象但不夠準(zhǔn)確也不太完全

圖象的畫法：一列表、二描點(diǎn)、三連線（順次用平滑的曲線）解析式的列法：一）實(shí)際問題，確定自變量的取值二）符合題意

三函數(shù)的圖象

把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對(duì)應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象．畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點(diǎn)、連線．

一次函數(shù)的圖象

由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．

由于兩點(diǎn)確定一條直線，描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)（0，b），直線與x軸的交點(diǎn)（-只要描出點(diǎn)（0，0），（1，k）即可.

四一次函數(shù)性質(zhì)

1.一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的性質(zhì)（1）k的正、負(fù)決定直線的傾斜方向；

①k＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；

b，0）.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，k用心愛心專心

②kO時(shí)，y的值隨x值的增大而減�。�（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越�。ㄖ本�緩）；（3）b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；

①當(dāng)b＞0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；②當(dāng)b＜0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；③當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，是正比例函數(shù)．

（4）由于k，b的符號(hào)不同，直線所經(jīng)過的象限也不同；y=kx+b(b≠0)y=kx+b(b≠0)y=kx+b(b≠0)y=kx+b(b≠0)kk＞0bb＞0經(jīng)過的象限一,二三Y隨x的變化Y隨x的增大而增大k＞0b＜0一三四Y隨x的增大而增大k＜0b＞0一二四Y隨x的增大而減小k＜0b＜0二三四Y隨x的增大而減小

（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的．2.正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的性質(zhì)

（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點(diǎn)；

（2）當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小．

y=kx(k>0)y=kx(k

確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件

（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值．

（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值．

五一次函數(shù)與方程

1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系

一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，函數(shù)y=ax+b（a≠0，a，b為常數(shù)）中，函數(shù)的值等于0時(shí)自變量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)（－

b，0）是直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，反過來也成立；直線ay=ax+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式ax+b

（4）將k、b的之帶入y=kx+b，得到函數(shù)表達(dá)式。

例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1）和（-1，-3）求此一次函數(shù)的關(guān)系式．解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由題意可知，

12kb,k4,4,解3kb3∴此函數(shù)的關(guān)系式為y=3x53．b53.

六知識(shí)規(guī)律小結(jié)

1．常數(shù)k，b對(duì)直線y=kx+b(k≠0）位置的影響．①當(dāng)b＞0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；

當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交．②當(dāng)k，b異號(hào)時(shí)，即-bk＞0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，即-

bk=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)k，b同號(hào)時(shí)，即-bk0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交．

③當(dāng)k＞O，b＞O時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k＞0，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限；

當(dāng)b＞O，b＜O時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)kO，b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)kO，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限；

當(dāng)k＜O，b＜O時(shí)，圖象經(jīng)過第二、三、四象限．

2．直線y=kx+b（k≠0）與直線y=kx(k≠0)的位置關(guān)系．直線y=kx+b(k≠0)平行于直線y=kx(k≠0)

當(dāng)b＞0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b；當(dāng)bO時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線y=kx+b．3．直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置關(guān)系．①k1≠k2y1與y2相交；②k1k2by1與y2相交于y軸上同一點(diǎn)（0，b1）或（0，b2b）；

12③k1k2,k1kb1byy2,1與2平行；④2by1與y2重合.

1b2

用心愛心專心

201*中考復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，二c可以為零．次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：

oo

結(jié)論：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。總結(jié)：

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)0，00，0y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．a(chǎn)0向下y軸2.yax2c的性質(zhì)：

用心愛心專心

結(jié)論：上加下減。

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)0，c0，cy軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y有最小值c．x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．a(chǎn)0總結(jié)：

向下y軸3.yaxh的性質(zhì)：

2

結(jié)論：左加右減�？偨Y(jié)：a的符號(hào)a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸X=h性質(zhì)h，0h，0xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值0．a(chǎn)0

向下X=hxh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．4.yaxhk的性質(zhì)：

2用心愛心專心

總結(jié)：a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)h，kh，kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值k．xh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．a(chǎn)0向下X=h二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

k；⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k處，具體平移方法如下：⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．

三、二次函數(shù)yaxhk與yax2bxc的比較

請(qǐng)將y2x4x5利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將yax2bxc配成yaxhk。

222

總結(jié)：

從解析式上看，yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配b4acb2b4acb2方可以得到前者，即yax，其中h，．k2a4a2a4a22

四、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，確定

其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們

c、以及0，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，0，x2，0（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.與x軸的交點(diǎn)x1，畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

用心愛心專心

五、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．

2a4a2a當(dāng)xbbb時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x2a2a2a4acb2時(shí)，y有最小值．

4ab4acb2b2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．當(dāng)

2a4a2axbbb時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x時(shí)，y2a2a2a4acb2有最大值．

4a

六、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫

成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；

⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

用心愛心專心

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小．2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，

b當(dāng)b0時(shí)，0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；

2a當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．2a⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

b當(dāng)b0時(shí)，0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；

2a當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．2a總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡(jiǎn)便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲担�一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

222.關(guān)于y軸對(duì)稱

用心愛心專心

yax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

223.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxbxc；

2a2222yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk．

22n對(duì)稱5.關(guān)于點(diǎn)m，yaxhk關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適

的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

0，Bx2，0(x1x2)，①當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，其中的x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離b24acABx2x1.a②當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

1"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

2"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

用心愛心專心

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，

b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)本身就是所含字母

x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.0

圖像參考：

y=2x2y=x2y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

用心愛心專心

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

用心愛心專心y=2x2+2y=2x2y=2x2-4用心

y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3愛心專心

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