第十四章一次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)8k

西吉縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)備課組八年級組

第十四章一次函數(shù)----知識點(diǎn)總結(jié)

基本概念

1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。

例題：在勻速運(yùn)動公式svt中,v表示速度,t表示時間,s表示在時間t內(nèi)所走的路程,則變量是________,常量是_______。在圓的周長公式C=2πr中，變量是________，常量是_________.

2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確

定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。*判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)

1

例題：下列函數(shù)（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中，是一次函數(shù)的有（）

x

（A）4個（B）3個（C）2個（D）1個

3、確定函數(shù)自變量取值范圍的方法：

（1）關(guān)系式為整式時，自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；

（5）實(shí)際問題中，自變量的取值范圍還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。例題：下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≥2的是（）A．y=2xB．y=1x2經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減�。�(1)解析式：y=kx（k是常數(shù)，k≠0）

(2)必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；k0時，向上平移；當(dāng)b0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b0，y隨x的增大而增大；k0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當(dāng)b西吉縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)備課組八年級組

若k0，y1y2；若k0，y1y2。

11、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系

一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當(dāng)b>0時，

（3）將直線y＝3x向下平移5個單位，得到直線；將直線y＝-x-5向上平移5個單位，得到直線.

（4）若直線yxa和直線yxb的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,8),則ab____________.（5）已知函數(shù)y＝3x+1，當(dāng)自變量增加m時，相應(yīng)的函數(shù)值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－1

10、一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.

根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函

b數(shù)的圖象時，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：0,b，,0.

k向上平移；當(dāng)b0或ax+b0b0圖象交點(diǎn).

17、典型例題

類型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義

例1、當(dāng)m為何值時，函數(shù)ym2xm23m4是一次函數(shù)？

圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限思路點(diǎn)撥：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．解：∵函數(shù)ym2xm23m4是一次函數(shù)，

k西吉縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)備課組八年級組

（3）當(dāng)y=4時，求x的值．類型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

例2、求圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式．思路點(diǎn)撥：圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2，則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b，再將點(diǎn)（2，-1）代入，求出b即可．

解析：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b，∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），∴-l=2×2+b．

∴b=-5，

∴所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-5.

總結(jié)升華：求函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，具體怎樣求出其中的待定系數(shù)的值，要根據(jù)具體的題設(shè)條件求出。舉一反三：

【變式1】已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，現(xiàn)已測得不掛重物時，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時，彈簧的長度是7.2cm，求這個一次函數(shù)的表達(dá)式．分析:題中并沒給出一次函數(shù)的表達(dá)式，因此應(yīng)先設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，再由已知條件可知，當(dāng)x=0時，y=6；當(dāng)x=4時，y=7.2．求出k，b即可．【變式2】已知直線y=2x+1．

（1）求已知直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于y軸對稱，求k，b的值．

【變式3】判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上．

分析：由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說明第三點(diǎn)在此直線上；若不成立，說明不在此直線上．類型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用

例3、圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)汽車共行駛了___________km；

(2)汽車在行駛途中停留了___________h；

(3)汽車在整個行駛過程中的平均速度為___________km/h；(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是___________.

們行進(jìn)的速度關(guān)系。

【變式2】小高從家騎自行車去學(xué)校上學(xué)，先走上坡路到達(dá)點(diǎn)A，再走下坡路到達(dá)點(diǎn)B，最后走平路到達(dá)學(xué)校，所用的時間與路程的關(guān)系如圖所示。放學(xué)后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學(xué)時一致，那么他從學(xué)校到家需要的時間是()

A.14分鐘B.17分鐘C.18分鐘D.20分鐘

【變式3】某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時,經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)的過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時洗衣機(jī)中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示：

根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機(jī)中的水量是多少升？（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升.①求排水時y與x之間的關(guān)系式；

②如果排水時間為2分鐘，求排水結(jié)束時洗衣機(jī)中剩下的水量.

分析：依題意解讀圖象可知：從04分鐘在進(jìn)水，415分鐘在清洗，此時，洗衣機(jī)內(nèi)有水40升，15分鐘后開始放水.

類型四：一次函數(shù)的性質(zhì)

例4、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點(diǎn)A（一6，0），交y軸于點(diǎn)B，且△AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值．

思路點(diǎn)撥：讀懂圖象所表達(dá)的信息，弄懂并熟悉圖象語言.圖中給出的信息反映了行駛過程中時間和汽車

位置的變化過程，橫軸代表行駛時間，縱軸代表汽車的位置.圖象上的最高點(diǎn)就是汽車離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離.汽車來回一次，共行駛了120×2=240(千米)，整個過程用時4.5小時，平均速度為240÷4.5=駛途中1.5時2時之間汽車沒有行駛.解析：(1)240；(2)0.5；(3)

1603總結(jié)升華：這類題是課本例題的變式，來源于生活，貼近實(shí)際，是中考中常見題型，應(yīng)注意行駛路程與兩

1603思路點(diǎn)撥：設(shè)函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，b），則OBb,由△AOB的面積，可求出b，又由點(diǎn)A在直線上，可求出k并由函數(shù)的性質(zhì)確定k的取值．

解析：直線y=kx十b與y軸交于點(diǎn)B（0，b），點(diǎn)A在直線上，則6kb0①，由SAOB12OAOB12，即

126b12，解得b4代入①，可得k2323(千米/時)，行

，

；(4)從目的地返回出發(fā)點(diǎn).由于y隨x的增大而增大，則k＞0,取k，則b4．

地之間的距離之間的區(qū)別.本題圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示的是汽車離出發(fā)地的距離，橫坐標(biāo)表示汽車的行駛時間.舉一反三：

【變式1】圖中，射線分別表示甲、乙兩運(yùn)動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系，求它

總結(jié)升華：該題考查的是待定系數(shù)法和函數(shù)值，仔細(xì)觀察所畫圖象，找出隱含條件。舉一反三：

【變式1】已知關(guān)于x的一次函數(shù)y3mx2m18．

2第3頁【共4頁】西吉縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)備課組八年級組

（1）m為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)?

（2）m為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，－2）?（3）m為何值時，函數(shù)的圖象和直線y=－x平行?（4）m為何值時，y隨x的增大而減�。�

【變式2】若直線ykxbk0不經(jīng)過第一象限，則k、b的取值范圍是k______，b______．【變式3】函數(shù)ykxkk0在直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）．

∴直線CE的解析式：y13x13

②∵點(diǎn)E為等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)

∴當(dāng)點(diǎn)P（0,0）時，∠APE=45°.

舉一反三：

【變式1】在長方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P沿邊按A→B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)

動（但不與A，D兩點(diǎn)重合）。求△APD的面積y(

自變量的取值范圍。

)與點(diǎn)P所行的路程x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式及

類型五：一次函數(shù)綜合

例5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），過點(diǎn)C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E。

（1）求∠OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；

（2）若△OCD與△BDE的面積相等，①求直線CE的解析式；②若y軸上的一點(diǎn)P滿足∠APE=45°，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解析：（1）∵A（1，0），B（0，1），

∴OA=OB=1，△AOB為等腰直角三角形

∴∠OAB=45°

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,將A（1，0），B（0，1）代入，

b1解得k=-1，b=1

kb0

【變式2】如圖，直線ykx6與x軸y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）。

（1）求k的值；

（2）若點(diǎn)Px,y是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）探究：在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△OPA的面積為

278，并說明理由。

∴直線AB的解析式為：y=-x+1（2）①∵SOCDSBDESBDES四邊形∴SOCDS四邊形OAEDOAED

即SCEASAOB∴12ACEy1212OAOB

Ey，將其代入y=-x+1，得E點(diǎn)坐標(biāo)，

2211設(shè)直線CE為y=kx+b，將點(diǎn)C（-1，0），點(diǎn)E，代入

2211kb01kb1，解得13kb22第4頁【共4頁】

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第十四章一次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)和基礎(chǔ)知識過關(guān)練習(xí)（一）

知識點(diǎn)：

12.1變量與函數(shù)[變量和常量]

在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量，我們稱之為變量，而數(shù)值始終保持不變的量，我們稱之為常量。[函數(shù)]

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)xa時yb，那么b叫做當(dāng)自(3)走向：k>0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；k0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k0時，向上平移；當(dāng)b0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b0，y隨x的增大而增大；k0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當(dāng)b

（3）兩直線交于x軸上同一點(diǎn)：-[確定一次函數(shù)解析式的方法]

b相等k2、函數(shù)中（1）y=-

12122

x；（2）y=-；（3）y=-3-5x；（4）y=-5x；（5）y=6x-（6）y=x(x-4)-x.2x2是一次函數(shù)的有（）

（A）4個（B）3個（C）2個（D）1個3．函數(shù)y（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式；

（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；2x1的自變量x的取值范圍是。

（3）解方程得出未知系數(shù)的值；

（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果.

12.3用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式[一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系]

任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.[一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系]

任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b

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