《圓》知識點歸納及相關(guān)題型整理

初三七班謝雨沁十九號

第五章中心對稱圖形（二）

知識點歸納以及相關(guān)題目總結(jié)

一、和圓有關(guān)的基本概念1.圓：

把線段OP的一個端點O固定，使線段OP繞著點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，另一個端點P運動所形成的圖形叫做圓。其中，定點O叫做圓心，線段OP叫做半徑。以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”。圓是到定點的距離等于定長的點的集合。

2.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點的集合。3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合。4.弦：連接圓上任意兩點的線段。5.直徑：經(jīng)過圓心的弦。

6.弧：圓上任意兩點間的部分。優(yōu)弧：大于半圓的弧。劣�。盒∮诎雸A的弧。

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。7.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。8.等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。（圓心不同）

9.等�。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的兩個圓中，不存在等弧。

10.圓心角：頂點在圓心的角。

11.圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角。

12.圓的切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長。13.正多邊形：

①定義：各邊相等、各角也相等的多邊形

②對稱性：都是軸對稱圖形；有偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對稱圖形有是中心對稱圖形。14.圓錐：

①：母線：連接圓錐的頂點和底面圓上任意一點的線段。②：高：連接頂點與底面圓的圓心的線段。

15.三角形的外接圓：三角形三個頂點確定一個圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。

16.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。

二、和圓有關(guān)的重要定理

1.圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

3.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4.圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等。

5.圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。

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6.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

直線(直徑)平分弦直線過圓心（直徑）直線平分弦所對優(yōu)弧直線垂直于弦直線平分弦所對劣弧

垂徑定理的實質(zhì)可以理解為：一條直線，如果它具有兩個性質(zhì)：(1)經(jīng)過圓心；(2)垂直于弦，那么這條直線就一定具有另外三個性質(zhì)：(3)平分弦，(4)平分弦所對的劣弧，(5)平分弦所對的優(yōu)弧。

推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

7.同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。8.直徑（或半圓）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

9.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。10.確定圓的條件

不在同一條直線上的三個點確定一個圓經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個．這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。

三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等。11.三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點12.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

13.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的是直線是圓的切線。

14.從圓外一點引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

三、和圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點和圓：

如果⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么

dr點P在圓外

2.直線和圓：

①直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。

②直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。

③直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么

dr直線l與⊙O相離

3.圓和圓：

①兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。②兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，

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叫做這兩個圓外切，這個唯一的公共點叫做切點。③兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩個圓相交。④兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切，這個唯一的公共點叫做切點。（兩個圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為兩個圓相切。）

⑤兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含。（兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例。）

如果兩圓的半徑分別為R、r，圓心距為d，那么

d>R+r兩圓外離

d=R+r兩圓外切

R-r初三七班謝雨沁十九號

2.三角形的外接圓：

已知銳角三角形ABC，用直尺和圓規(guī)作△ABC的外接圓。①分別作邊AB、AC的垂直平分線DE、FG，DE與FC相交于點O②以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O就是所求作的圓。3.用直尺和圓規(guī)做特殊的正多邊形：（1）正四邊形

①在⊙O中作兩條互相垂直的直徑AC、BD

②依次連接A、B、C、D各點，四邊形ABCD就是所求做的正四邊形。（2）正六邊形

①在⊙O中任意做一條直徑AD

②分別以A、D為圓心，⊙O的半徑作半徑作弧，與⊙O相交于B、F和C、E③依次連接A、B、C、D、E、F各點，六邊形ABCDEF就是所求作的正六邊形。

六、和圓有關(guān)的常作輔助線1.見弦作弦心距

有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還需作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑定理來溝通結(jié)論與題設(shè)間的關(guān)系。2.見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是做直徑所對的圓周角，利用“直徑所對的圓周角是直角”這一特征來證明問題。3.見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連接過切點的半徑，利用“切線與半徑垂直”這一性質(zhì)來證明問題。

5.兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。6.兩圓相交作公共弦

對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可以把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

七、和圓有關(guān)的2解的問題

例1、已知：在⊙O中，弦AB∥EF,AB=2

,EF=2,⊙O的半徑R=2,求AB、EF間的距離。

分析：利用對稱性，可以在O點的另一側(cè)找到一條與AB平行且長為2的弦A’B’，所以AB

與EF距底離為兩個結(jié)果。

ABB"EF

A"

，⊙O半

例2、已知：在⊙O上，有一點A，過點A引弦AB、AC，弦心距分別為1、徑R＝2，求∠BAC。

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BOAB"C圖2

例3、已知：⊙O1與⊙O2相于A、B兩點，AB＝4，R1=5,R2=4。求O1O2。

AO1O2"BO2

例4、⊙O1與⊙O2相切，R1=5,R2=3,求O1O2。

例5、⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點A，已知R1=5，O1O2＝4，求R2。

例6、若⊙O所在平面內(nèi)一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b(a>b)，則此圓的半徑為。

例7、在同一平面內(nèi)，點P到⊙O的最長距離為8cm，最短距離為2cm，則⊙O的半徑為___________。（答案：⊙O的半徑應(yīng)為5cm或3cm。）

例8、⊙O的直徑為6cm，如果直線a上的一點C到點O的距離為3cm，則直線a與⊙O的位置關(guān)系是_________。（答案：直線a與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交。）

例9、⊙O的半徑為5cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB與CD之間的距離。（答案：AB與CD之間的距離為1cm或7cm。）

例10、⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1的半徑為10，⊙O2的半徑為17，公共弦AB=16，求兩圓的圓心距。（答案O1O2=21或O1O2=9。）

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例11、⊙O的半徑為1cm，弦AB∠BAC=15°或∠BAC=75°。）

（答案：3cm，AC2cm，則∠BAC=________。

例12、兩圓相切，圓心距是10cm，其中一圓的半徑為4cm，則另一圓的半徑是_____。（答案：另一圓的半徑為6cm或14cm。）

例13、⊙O1的半徑為2cm，⊙O2的半徑為5cm，兩圓沒有公共點，則兩圓的圓心距d的取值范圍為___________。（答案：外離時，d>7cm；內(nèi)含時，0cm≤d

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第五章中心對稱圖形（二）(初三上冊)

知識點歸納以及相關(guān)題目總結(jié)

一、和圓有關(guān)的基本概念1.圓：

把線段OP的一個端點O固定，使線段OP繞著點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，另一個端點P運動所形成的圖形叫做圓。其中，定點O叫做圓心，線段OP叫做半徑。以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”。圓是到定點的距離等于定長的點的集合。

2.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點的集合。3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合。4.弦：連接圓上任意兩點的線段。5.直徑：經(jīng)過圓心的弦。

6.�。簣A上任意兩點間的部分。優(yōu)�。捍笥诎雸A的弧。劣�。盒∮诎雸A的弧。

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。7.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。8.等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。（圓心不同）

9.等�。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的兩個圓中，不存在等弧。

10.圓心角：頂點在圓心的角。

11.圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角。

12.圓的切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長。13.正多邊形：

①定義：各邊相等、各角也相等的多邊形

②對稱性：都是軸對稱圖形；有偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對稱圖形有是中心對稱圖形。14.圓錐：

①：母線：連接圓錐的頂點和底面圓上任意一點的線段。②：高：連接頂點與底面圓的圓心的線段。

15.三角形的外接圓：三角形三個頂點確定一個圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。

16.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。

二、和圓有關(guān)的重要定理

1.圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

3.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4.圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等。

5.圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。

6.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

直線(直徑)平分弦直線過圓心（直徑）直線平分弦所對優(yōu)弧直線垂直于弦直線平分弦所對劣弧

垂徑定理的實質(zhì)可以理解為：一條直線，如果它具有兩個性質(zhì)：(1)經(jīng)過圓心；(2)垂直于弦，那么這條直線就一定具有另外三個性質(zhì)：(3)平分弦，(4)平分弦所對的劣弧，(5)平分弦所對的優(yōu)弧。

推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

7.同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。8.直徑（或半圓）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

9.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。10.確定圓的條件

不在同一條直線上的三個點確定一個圓經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個．這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。

三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等。11.三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點12.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

13.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的是直線是圓的切線。

14.從圓外一點引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

三、和圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點和圓：

如果⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么

dr點P在圓外

2.直線和圓：

①直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。

②直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。

③直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么

dr直線l與⊙O相離

3.圓和圓：

①兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。②兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，

叫做這兩個圓外切，這個唯一的公共點叫做切點。③兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩個圓相交。④兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切，這個唯一的公共點叫做切點。（兩個圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為兩個圓相切。）

⑤兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含。（兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例。）

如果兩圓的半徑分別為R、r，圓心距為d，那么

d>R+r兩圓外離

d=R+r兩圓外切

R-r

2.三角形的外接圓：

已知銳角三角形ABC，用直尺和圓規(guī)作△ABC的外接圓。①分別作邊AB、AC的垂直平分線DE、FG，DE與FC相交于點O②以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O就是所求作的圓。3.用直尺和圓規(guī)做特殊的正多邊形：（1）正四邊形

①在⊙O中作兩條互相垂直的直徑AC、BD

②依次連接A、B、C、D各點，四邊形ABCD就是所求做的正四邊形。（2）正六邊形

①在⊙O中任意做一條直徑AD

②分別以A、D為圓心，⊙O的半徑作半徑作弧，與⊙O相交于B、F和C、E③依次連接A、B、C、D、E、F各點，六邊形ABCDEF就是所求作的正六邊形。

六、和圓有關(guān)的常作輔助線1.見弦作弦心距

有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還需作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑定理來溝通結(jié)論與題設(shè)間的關(guān)系。2.見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是做直徑所對的圓周角，利用“直徑所對的圓周角是直角”這一特征來證明問題。3.見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連接過切點的半徑，利用“切線與半徑垂直”這一性質(zhì)來證明問題。

5.兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。6.兩圓相交作公共弦

對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可以把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

七、和圓有關(guān)的2解的問題

例1、已知：在⊙O中，弦AB∥EF,AB=2

,EF=2,⊙O的半徑R=2,求AB、EF間的距離。

分析：利用對稱性，可以在O點的另一側(cè)找到一條與AB平行且長為2的弦A’B’，所以AB

與EF距底離為兩個結(jié)果。

ABB"EF

A"

，⊙O半

例2、已知：在⊙O上，有一點A，過點A引弦AB、AC，弦心距分別為1、徑R＝2，求∠BAC。

BOAB"C圖2

例3、已知：⊙O1與⊙O2相于A、B兩點，AB＝4，R1=5,R2=4。求O1O2。

AO1O2"BO2

例4、⊙O1與⊙O2相切，R1=5,R2=3,求O1O2。

例5、⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點A，已知R1=5，O1O2＝4，求R2。

例6、若⊙O所在平面內(nèi)一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b(a>b)，則此圓的半徑為。

例7、在同一平面內(nèi)，點P到⊙O的最長距離為8cm，最短距離為2cm，則⊙O的半徑為___________。（答案：⊙O的半徑應(yīng)為5cm或3cm。）

例8、⊙O的直徑為6cm，如果直線a上的一點C到點O的距離為3cm，則直線a與⊙O的位置關(guān)系是_________。（答案：直線a與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交。）

例9、⊙O的半徑為5cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB與CD之間的距離。（答案：AB與CD之間的距離為1cm或7cm。）

例10、⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1的半徑為10，⊙O2的半徑為17，公共弦AB=16，求兩圓的圓心距。（答案O1O2=21或O1O2=9。）

例11、⊙O的半徑為1cm，弦AB∠BAC=15°或∠BAC=75°。）

（答案：3cm，AC2cm，則∠BAC=________。

例12、兩圓相切，圓心距是10cm，其中一圓的半徑為4cm，則另一圓的半徑是_____。（答案：另一圓的半徑為6cm或14cm。）

例13、⊙O1的半徑為2cm，⊙O2的半徑為5cm，兩圓沒有公共點，則兩圓的圓心距d的取值范圍為___________。（答案：外離時，d>7cm；內(nèi)含時，0cm≤d

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