初中高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽常用公式表達(dá)式總結(jié)
乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b
(在三角形中,必然有兩邊之和大于第三邊,即為三角不等式。
三角不等式1
三角不等式還有以下推論:兩條相交線段AB、CD,必有AC+BD小于AB+CD。|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(定理),也稱為三角不等式。
加強(qiáng)條件:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立,這個(gè)不等式也可稱為向量的三角不等式(其中a,b分別為向量a和向量b)將三角函數(shù)的性質(zhì)融入不等式.如:當(dāng)X在(0,90*)時(shí),有sinxsin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正負(fù)由α/2所在象限決定)
cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正負(fù)由α/2所在象限決定)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα)/(1+cosα)]^(1/2)
推導(dǎo):tan(α/2)=sin(α/2)/cos(α/2)=[2sin(α/4)cos(α/4]/[2cos(α/4)^2-1]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些數(shù)列前n項(xiàng)和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n
+1)(n+2)/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R表示三角形的外接圓半徑余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:角B是邊a和邊c的夾角圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注:(a,b)是圓心坐標(biāo)
圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:D2+E2-4F>0
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c"*h正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h"正棱臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c")h"
圓臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l球的表面積S=4πr^
圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l
弧長(zhǎng)公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱體積V=S"L
注:其中,S"是直截面面積,L是側(cè)棱長(zhǎng)柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h
擴(kuò)展閱讀:高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精華(小結(jié))
高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精華小結(jié)
一、三角函數(shù)常用公式
由于是講競(jìng)賽,這里就不再重復(fù)過(guò)于基礎(chǔ)的東西,例如六種三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換,兩角和與差的三角函數(shù),二倍角公式等等。但是由于現(xiàn)在的教材中常用公式刪得太多,有些還是不能不寫。先從最基礎(chǔ)的開始(這些必須熟練掌握):半角公式:
sin21cos21cos21cos1cossin1cossin1coscos2tan2積化和差:
sincos1sinsin21cossinsinsin
21coscoscoscos
21sinsincoscos
2和差化積:
sinsin2sin22sinsin2cossin
22coscos2coscos
22coscos2sinsin
22萬(wàn)能公式:
cos
sin22tan21tan1tan2cos221tantan22tan
1tan2三倍角公式:sin33sin4sin34sin60sinsin60cos34cos33cos4cos60coscos60
二、某些特殊角的三角函數(shù)值除了課本中的以外,還有一些sincostan156246245146246242375231872514三、三角函數(shù)求值
給出一個(gè)復(fù)雜的式子,要求化簡(jiǎn)。這樣的題目經(jīng)?,而且一般化出來(lái)都是一個(gè)具體值。要熟練應(yīng)用上面的常用式子,個(gè)人認(rèn)為和差化積、積化和差是競(jìng)賽中最常用的,如果看到一些不常用的角,應(yīng)當(dāng)考慮用和差化積、積化和差,一般情況下直接使用不了的時(shí)候,可以考慮先乘一個(gè)三角函數(shù),然后利用積化和差化簡(jiǎn),最后再把這個(gè)三角函數(shù)除下去。舉個(gè)例子
246coscos7772提示:乘以2sin,化簡(jiǎn)后再除下去。
7求值:cos
求值:cos10cos50sin40sin80
來(lái)個(gè)復(fù)雜的設(shè)n為正整數(shù),求證
22sini1ni2n12n12n另外這個(gè)題目也可以用復(fù)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決,在復(fù)數(shù)的那一章節(jié)里再講。
四、三角不等式證明
最常用的公式一般就是:x為銳角,則sinxxtanx;還有就是正余弦的有界性。例
求證:x為銳角,sinx+tanx典型例子:an1aanb
cand注:我感覺(jué)一般非用不動(dòng)點(diǎn)不可的也就這個(gè)了,所以記住它的解法就足夠了。
我們?nèi)绻靡话惴椒ń鉀Q此題也不是不可以,只是又要待定系數(shù),又要求倒數(shù)之類的,太復(fù)雜,如果用不動(dòng)點(diǎn)的方法,此題就很容易了令xaxb,即cx2daxb0,
cxd令此方程的兩個(gè)根為x1,x2,若x1=x2則有
11p
an1x1anx1其中k可以用待定系數(shù)法求解,然后再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注:如果有能力,可以將p的表達(dá)式記住,p=若x1≠x2則有
2cadan1x1ax1qnan1x2anx2其中k可以用待定系數(shù)法求解,然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注:如果有能力,可以將q的表達(dá)式記住,q=
acx1
acx2(3)特征根法
特征根法是專用來(lái)求線性遞推式的好方法。
先來(lái)了解特征方程的一般例子,通過(guò)這個(gè)來(lái)學(xué)會(huì)使用特征方程。①an2pan1qan
特征方程為x2=px+q,令其兩根為x1,x2
nn則其通項(xiàng)公式為anAx1,A、B用待定系數(shù)法求得。Bx2②an3pan2qan1ran
特征方程為x3=px2+qx+r,令其三根為x1,x2,x3
則其通項(xiàng)公式為anAx1Bx2Cx3,A、B、C用待定系數(shù)法求得。
注:通過(guò)這兩個(gè)例子我們應(yīng)當(dāng)能夠得到特征方程解線性遞歸式的一般方法,可以試著寫出對(duì)于一般線性遞歸式的特征方程和通項(xiàng)公式,鑒于3次以上的方程求解比較困難,且競(jìng)賽中也不多見(jiàn),我們僅需掌握這兩種就夠了。(4)數(shù)學(xué)歸納法
簡(jiǎn)單說(shuō)就是根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律猜出一個(gè)結(jié)果然后用數(shù)學(xué)歸納法去證。這樣的題雖說(shuō)有不少但是要提高不完全歸納的水平實(shí)在不易。大家應(yīng)當(dāng)都會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法,因此這里不詳細(xì)說(shuō)了。
nnn但需要記得有這樣一個(gè)方法,適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以拿出來(lái)用。(5)聯(lián)系三角函數(shù)
三角函數(shù)是個(gè)很奇妙的東西,看看下面的例子
an12an21an看起來(lái)似乎摸不著頭腦,只需聯(lián)系正切二倍角公式,馬上就迎刃而解。
注:這需要我們對(duì)三角函數(shù)中的各種公式用得很熟,這樣的題目競(jìng)賽書中能見(jiàn)到很多。例
數(shù)列an定義如下:a12,求an通項(xiàng)。2,an124an注:這個(gè)不太好看出來(lái),試試大膽的猜想,然后去驗(yàn)證。
(6)迭代法
先了解迭代的含義
f0xx,f1xfx,f2xffx,f3xfffx,
f右上角的數(shù)字叫做迭代指數(shù),其中f再來(lái)了解復(fù)合的表示
nx是表示fnx的反函數(shù)
fgxfgx,fghxfghx
如果設(shè)Fxg1fgx,則Fnxg1fngx,就可以將求F(x)的迭代轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>
求f(x)的迭代。這個(gè)公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎(chǔ)。
而在數(shù)列中我們可以將遞推式看成an1Fan,因此求通項(xiàng)和求函數(shù)迭代就是一樣的了。我們盡量找到好的g(x),以便讓f(x)變得足夠簡(jiǎn)單,這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到F(x)的n次迭代式即為通項(xiàng)公式。練習(xí)
an滿足a11,a22,a2n1已知數(shù)列a2na2n1,a2n2a2n1a2n,試求數(shù)列的2通項(xiàng)公式。
注:此題比較綜合,需熟練掌握各種求通項(xiàng)公式的常用方法。
下面是我的一個(gè)原創(chuàng)題目:
已知數(shù)列an滿足a10,a21,an1nanan1,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。
2數(shù)列求和
求和的方法很多,像裂項(xiàng)求和,錯(cuò)位相減等等,這些知識(shí)就算單純應(yīng)付高考也應(yīng)該都掌握了,這里不再贅述。主要寫競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的方法阿貝爾恒等式。阿貝爾(Abel)恒等式有多種形式,最一般的是
abSbkkkk1k1knn1kbk1Snbn
其中Skai1k
注:個(gè)人認(rèn)為,掌握這一個(gè)就夠了,當(dāng)然還有更為一般的形式,但是不容易記,也不常用。Abel恒等式就是給出了一個(gè)新的求和方法。很多時(shí)候能簡(jiǎn)化不少。例:假設(shè)a1a2an0,且
a1,求證:2ii1i1nnaiii11
計(jì)數(shù)問(wèn)題1抽屜原則
我第一次接觸抽屜原則,是在一本奧賽書的答案上,有一步驟是:由抽屜原則可得,于是我就問(wèn)同學(xué),什么是抽屜原則,同學(xué)告訴我,三個(gè)蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜,必有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋果。后來(lái)才發(fā)現(xiàn),抽屜原則不只是這么簡(jiǎn)單的,它有著廣泛的應(yīng)用以及許多種不同的變形,下面簡(jiǎn)單介紹一下抽屜原則。抽屜原則的常見(jiàn)形式
一,把n+k(k≥1)個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中,一定存在一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)物體。
二,把mn+k(k≥1)個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中,一定存在一個(gè)抽屜中至少有m+1個(gè)物體。
三,把m1+m2+…+mn+k(k≥1)個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中,那么后在一個(gè)抽屜里至少放入了m1+1個(gè)物體,或在第二個(gè)抽屜里至少放入了m2+1個(gè)物體,,或在第n個(gè)抽屜里至少放入了mn+1個(gè)物體
四,把m個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中,有兩種情況:①當(dāng)n|m時(shí)(n|m表示n整除m),一定存在一個(gè)抽屜中至少放入了個(gè)抽屜中至少放入了[
m個(gè)物體;②當(dāng)n不能整除m時(shí),一定存在一nm]+1個(gè)物體([x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù))n五,把無(wú)窮多個(gè)元素分成有限類,則至少有一類包含無(wú)窮多個(gè)元素。注:背下來(lái)上面的幾種形式?jīng)]有必要,但應(yīng)當(dāng)清楚這些形式雖然不同,卻都表示的一個(gè)意思。理解它們的含義最重要。在各種競(jìng)賽題中,往往抽屜原則考得不少,但一般不會(huì)很明顯的讓人看出來(lái),構(gòu)造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來(lái)說(shuō),題目中一旦出現(xiàn)了“總有”“至少有”“總存在”之類的詞,就暗示著我們:要構(gòu)造抽屜了。
從自然數(shù)1,2,3,99,100這100個(gè)數(shù)中隨意取出51個(gè)數(shù)來(lái),求證:其中一定有兩個(gè)數(shù),它們中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).
用2種顏色涂5×5共25個(gè)小方格,證明:必有一個(gè)四角同色的矩形出現(xiàn).
2容斥原理
容斥原理常常使用,其實(shí)說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn),就是從多的往下減,減過(guò)頭了在加回來(lái),又加多了再減,減多了再加,最終得到正確結(jié)果。對(duì)于計(jì)數(shù)中容易出現(xiàn)重復(fù)的題目,我們常常采用容斥原理,去掉重復(fù)的情況。容斥原理基本形式:
nA1A2An|Ai|i11ijnAiAj1ijknAiAjAk1n1A1A2An
其中|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。
在不大于201*的正整數(shù)中,至少可被3,5,7之一整除?
由數(shù)字1,2,3,4,5組成的n位數(shù),要求n位數(shù)中這五個(gè)數(shù)字每個(gè)至少出現(xiàn)一次,求所有這種n位數(shù)的個(gè)數(shù)。
3遞推方法
許多競(jìng)賽題目正面計(jì)算十分困難,于是我們避開正面計(jì)算,先考慮n-1時(shí)的情況,在計(jì)算n時(shí)的情況比n-1時(shí)的情況增添了多少,然后寫出一個(gè)遞推式,這樣就可以利用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解決,但一般要求根據(jù)遞推式求通項(xiàng)的能力要比較強(qiáng),適合擅長(zhǎng)數(shù)列的同學(xué)使用。設(shè)m為大于1的正整數(shù),數(shù)列{an}滿足:a1+a2++an模m余0,0注:此題即為很好的映射計(jì)數(shù)例子。因?yàn)榧幢悴挥糜成湮覀兛梢园袮(n)求出來(lái),再把B(n+2)求出來(lái),然后比較后會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者相等,但這顯然是超大工作量,如果使用了映射計(jì)數(shù),我們只需用一些技巧,在A(n)和B(n+2)中建立雙射,此題即得到證明。
二,建立單射或滿射
設(shè)n為正整數(shù),我們稱{1,2,,2n}的一個(gè)排列{x1,x2,,x2n}具有性質(zhì)P:如果存在1≤i≤2n-1,使得|xi-xi+1|=n,求證:對(duì)任何n,具有性質(zhì)P的排列比不具有性質(zhì)P的排列個(gè)數(shù)多。
注:映射計(jì)數(shù)可能會(huì)有一定難度,如果覺(jué)得掌握不了也不要灰心,只要多練,時(shí)間一長(zhǎng)自然就會(huì)了。
不等式與最值1平均不等式設(shè)aiR(i=1,2,…,n)調(diào)和平均值:Hnn1i1ain
幾何平均值:Gnnai1nini
算術(shù)平均值:Anai1nn
方冪平均值:Gnai12in
HnGnAnGn
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an注意:運(yùn)用平均不等式需注意各項(xiàng)均為正數(shù)!題外話:有很多同學(xué)十分“痛恨”
這兩個(gè)符號(hào),總是看不懂,其實(shí)這兩個(gè)符號(hào)是
絕對(duì)好用的,并且以后會(huì)常常遇到,在大學(xué)課本中更是家常便飯,多看幾次自然也就習(xí)慣了。例題:
求證:4a14b14c14d16a,b,c,dR,且abcd1,分析:
為了湊出a+b+c+d,以便充分利用條件,將4a+1,4b+1,4c+1,4d+1視作整體,利用平均不等式。
2柯西不等式及其變形設(shè)ai,biR(i=1,2,…,n),則
nn2n2aibiaibii1i1i1其中等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)
2ai為定值bi注:這個(gè)式子在競(jìng)賽中極為常用,只需簡(jiǎn)記為“積和方小于方和積”。等號(hào)成立條件比較特殊,要牢記。此外應(yīng)注意在這個(gè)式子里不要求各項(xiàng)均是正數(shù),因此應(yīng)用范圍較廣。常用變形一:
若aiR,biR(i=1,2,…,n),則nainai2i1ni1bibii12注:要求bi為正數(shù)常用變形二:
若ai,biR(i=1,2,…,n),則
nainaii1ni1biaibii12注:要求ai,bi均為正數(shù)。當(dāng)然,這兩個(gè)式子雖常用,但是記不記并不太重要,只要將柯西不等式原始的式子記得很熟,這兩個(gè)式子其實(shí)是一眼就能看出來(lái)的,這就要求我們對(duì)柯西不等式要做到活學(xué)活用。例:若5a6b7c4d1,求3a2b5cd的最小值。并指出等號(hào)成立的條件。分析:
由于a,b,c,d各項(xiàng)系數(shù)不同,而且既有1次項(xiàng),又有2次項(xiàng),顯然要用柯西不等式。而且使用柯西不等式不受-7c這項(xiàng)的影響。使用時(shí),注意寫明等號(hào)成立條件,檢驗(yàn)最小值能否取到。
柯西不等式推廣赫爾德不等式若ai,biR(i=1,2,…,n),p>1,q>1且
1p1q2222111則pqpqababiiii
i1i1i1注:這個(gè)式子成立的前提挺多,不難看出當(dāng)p=q=2時(shí),這個(gè)式子即為柯西不等式。3排序不等式4琴生不等式
首先來(lái)了解凸函數(shù)的定義
一般的,設(shè)f(x)是定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩數(shù)x1,x2都有
nnnxx2fx1fx2f122則稱f(x)是(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù),一般說(shuō)的凸函數(shù),也就是下凸函數(shù),例如y=x2,從圖像上即
可看出是下凸函數(shù),也不難證明其滿足上述不等式。如果對(duì)于某一函數(shù)上述不等式的等號(hào)總是不能成立,則稱此函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)。注:凸函數(shù)的定義為我們提供了極為方便地證明一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù)的方法。這個(gè)方法經(jīng)常使用。此外利用二階求導(dǎo)也可以判斷一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù),凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是非負(fù)數(shù)。凸函數(shù)具有的常用性質(zhì)性質(zhì)一:
對(duì)于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)f(x),有
nxifi1nfxii1nn
注:此即常說(shuō)的琴生不等式。性質(zhì)二:加權(quán)的琴生不等式對(duì)于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù),若
ai1ni1,則
nnfaixiaifxii1i注:加權(quán)琴生不等式很重要,當(dāng)ai1時(shí),即為原始的琴生不等式。n注:另外,對(duì)于上面有關(guān)凸函數(shù)和琴生不等式的部分,如果將不等號(hào)全部反向,則得到的便是凹函數(shù),以及凹函數(shù)的琴生不等式。例
n設(shè)xi>0(i=1,2,…,n),
xi1i1,求證:i1nxi1xii1nxi
n1注:不僅要用琴生不等式,注意知識(shí)綜合利用。
5利用二次函數(shù)的性質(zhì)
一般來(lái)說(shuō),許多題目是涉及x,y,z三個(gè)量的證明題,由于二次函數(shù)的性質(zhì)十分好用,因此湊出一個(gè)關(guān)于其中一個(gè)字母的二次函數(shù),進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決最值問(wèn)題。例
設(shè)x,y,z≥0,且x+y+z=1,求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。提示:
43z1zz214z3z2將x=1-y-z代入,整理成關(guān)于y的二次函數(shù),最值即為
43z1整理后不難得到z=0和z=1式分別取到最大值即可。
2,
1和最小值0,然后只需舉一例證明能夠取到
友情提示:本文中關(guān)于《初中高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽常用公式表達(dá)式總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,初中高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽常用公式表達(dá)式總結(jié):該篇文章建議您自主創(chuàng)作。
來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)整理 免責(zé)聲明:本文僅限學(xué)習(xí)分享,如產(chǎn)生版權(quán)問(wèn)題,請(qǐng)聯(lián)系我們及時(shí)刪除。