數學必修5復習小結

遠東二中導學稿★高二數學必修五★知識復習小結專稿“解三角形”復習與小結

1、三角函數知識儲備：

(1)任意角三角函數的定義①三角函數定義②定義域

③三角函數值在各個象限的符號(2)同角三角函數間的基本關系式：平方關系商數關系倒數關系(3)誘導公式

(4)正、余弦函數與正切函數的關系

(5)兩角和與差的正弦，余弦、正切公式(6)二倍角的正弦、余弦、正切公式(7)半角公式（8）降冪公式（9）輔助角公式2、正余弦定理及應用解斜三角形時可用的定理公式余弦定理222a=b+c-2bccosA222b=a+c-2accosB222c=b+a-2bacosC正弦定理三角形面積公式適用類型(1)已知三邊(2)已知兩邊及其夾角備注類型（1）（2）有解時只有一解備注：1、判斷三角形解的情況的方法2、正余弦定理的作用“不等式”小結復習1、不等式解法（1）一元二次不等式解法（圖像法）：（2）絕對值不等式解法：（3）分式不等式解法：

（4）高次不等式的解法（穿線法）：（5）含參不等式的解法（分類討論）：2、重要不等式：

22

如果a、b∈R，那么a＋b≥2ab（當且僅當a＝b時取“＝”號）

3、基本不等式：

代數意義：幾何意義：數列意義：

4、四個平均數大小關系：5、利用基本不等式求最值：

x、y都是正數時

(1)若x+y=s（和為定值），則當_______________時，積__________________.(2)若xy=p（積為定值）,則當_______________時，和__________________.(3)利用基本不等式求最值時必須滿足三個條件:一正二定三相等【典型題】導學稿第31期，認真領會5、圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：【關鍵】體會（1）平行直線系中縱截距與目標函數的關系；（2）uyb的幾何意義：；xa22（3）w(xa)(yb)的幾何意義：。數列復習與小結

一、方法總結

1．數列是特殊的函數，有些題目可結合函數知識去解決，體現了函數思想、數形結合的思想．

2．等差、等比數列中，a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”，體現了方程(組)的思想、整體思想，有時用到換元法．

3．求等比數列的前n項和時要考慮公比是否等于1，公比是字母時要進行討論，體現了分類討論的思想．

4．數列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯位相減法，裂項法，累加法，等價轉化等．

二、等差數列1相關公式：

（1）定義：an1and(n1,d為常數)

（2）通項公式：①ana1(n1)d【推導方法】②

（2）前n項和公式：

①Snn(a1an)n(n1)d【推導方法】②Snna1222.等差數列{an}的一些性質

（1）對于任意正整數n，都有an1ana2a1（2）對于任意的整數p,q,r,s，如果pqrs，那么apaqaras（3）對于任意的正整數n>1，有2anan1an1（4）等差中項：

（5）等距和性：Sn是等差數列an的前n項和，則Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等差數列，即S3m3(S2mSm)（6）對于任意的非零實數b，數列{ban}是等差數列，則{an}是等差數列（7）已知{bn}是等差數列，則{anbn}也是等差數列（8）{a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等差數列3.等差數列的判定方法：

（1）定義法：（2）等差中項法：

（3）通項公式法：（4）前n項和法：三、等比數列1相關公式：

（1）定義：

an1q(n1,q0)an（2）通項公式：①ana1qn1【推導方法】

②anamqnmq1na1（3）前n項和公式：Sna1(1qn)q11q2.等比數列{an}的一些性質（1）對于任意的正整數n，均有

an1a2ana1（2）對于任意的正整數p,q,r,s,如果pqrs，則apaqaras（3）對于任意的正整數n>1,有anan1an1（4）等比中項：（5）等距和性：Sn是等比數列an的前n項和，

①當q=－1且k為偶數時，Sk,S2kSk,S3kS2k不是等比數列.②當q≠－1或k為奇數時，Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等比數列2（6）對于任意的非零實數b，{ban}也是等比數列（7）已知{bn}是等比數列，則{anbn}也是等比數列（8）如果an0，則{logaan}是等差數列（9）數列{logaan}是等差數列，則{an}是等比數列（10）{a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等比數列3.等比數列的判定方法：

（1）定義法：（2）等差中項法：

（3）通項公式法：（4）前n項和法：

四、常見數列求和方法（1）公式法：（2）分組求和法：（3）裂項相消法：①

111

n(n1)nn1②

（4）錯位相減法

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必修5知識點總結

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數形結合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當a但不能到達，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略

附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7、數列：按照一定順序排列著的一列數．8、數列的項：數列中的每一個數．9、有窮數列：項數有限的數列．10、無窮數列：項數無限的數列．

11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+1>an）．12、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差數列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq．22、等差數列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若項數為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．符號表示：

an1anq（注：①等比數列中不會出現值為0的項；②同號位上

的值同號）

注：看數列是不是等比數列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數).

④正數列{an}成等比的充要條件是數列{logxan}（x1）成等比數列.

25、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，

22則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1q．

27、通項公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q129、等比數列an的前n項和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、對任意的數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若d不為0，則是等差數列充分條件）.②等差{an}前n項和Sndddd22AnBnna1n→

222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若

為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件.

③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）．．附：幾種常見的數列的思想方法：⑴等差數列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列等差數列等比數列數列等差數列前n項和公式通項公式(a1d2)n利用二次函數的性質求n的值.

對應函數（時為一次函數）（指數型函數）對應函數（時為二次函數）等比數列（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數列分析：因為

中，，則.

是等差數列，所以是關于n的一次函數，

一次函數圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，

所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數

列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數列

中，

，前n項和為

，若

，n為何值時

最大？

分析：等差數列前n項和可以看成關于n的二次函數=，

是拋物線=上的離散點，根據題意，，

則因為欲求最大。

最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時，

例題：3遞增數列，對任意正整數n，

遞增得到：

恒成立，設

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因為是遞的最大值即

分析：構造一次函數，由數列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對一切

對于一切

，所以看成函數

的取值范圍是：

構造二次函數，，它的定義域是

增數列，即函數為遞增函數，單調增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數f(x)

為離散函數，要函數單調遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應圖像上看，對稱軸的左側

在

也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依照等比數列前

n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，

公差是兩個數列公差d1，d2的最小公倍數.

2.判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證anan1(anan1)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差數列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,d把①式兩邊同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數列前n項和公式的推導方法.5.常用結論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零點分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x23x26x80的解集為：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例題：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數yax22

000bxc有兩相異實根x1,x2(x1x2)（a0）的圖象一元二次方程ax2有兩相等實根x1x2b2abxc0a0的根2無實根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對于a0(或

f(x)g(x)（2）轉化為整式不等式（組）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

xx11

1的解集。

3.含絕對值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當x2時，（去絕對值符號）原不等式化為：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函數圖像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標系中作出此分段函數及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數圖像來分析：y設ax2+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0o對稱軸x=b2ax

0b0②若兩根都小于0，即0,0，則有2af(0)0y

11

對稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數m,n之間，即mn，

0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個根在三個實數之間，即mtn，

yf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來求解出現在a、b、c位置上的參數

例如：若方程x2(m1)xm2m30有兩個正實數根，求m的取值范圍。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個正實數根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

55220m(1)4(m1)02解：因為有兩個不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．41、設a、b是兩個正數，則

ab2稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、極值定理：設x、y都為正數，則有：

⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值

s42．⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2例題：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函數f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化為：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

當54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）時取到“=”號

也就是說當x1時有f(x)max2

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