高一數(shù)學(xué)必修四第二章 平面向量章末總結(jié)

高一數(shù)學(xué)章末總結(jié)【人教版】

必修四平面向量

班級：高一（13）班姓名：劉碧林

注：此總結(jié)所有內(nèi)容均為我個人所編，沒有任何抄襲現(xiàn)象，如與百度文庫中文件有絲毫雷同，純屬意外。

2.1平面向量的實際背景及基本概念

考點1向量的相關(guān)概念

※方法：明確向量及其相關(guān)概念的聯(lián)系和區(qū)別。①區(qū)分向量與數(shù)量：向量既強調(diào)大小，又強調(diào)方向，而數(shù)量只與大小有關(guān)。②明確向量與有向線段的區(qū)別：有向線段有三要素：起點、方向、長度，只要起點不同，另外兩個要素相同也不是同一條有向線段，但決定向量的要素只有兩個：大小與方向，與表示向量的有向線段的起點無關(guān)。③零向量和單位向量都是通過模的大小來確定的。零向量的方向是任意的。④平行向量也叫共線向量，當兩共線向量的方向相同且模相等時，兩向量為相等向量。

考點2向量的模

※方法：向量的模實質(zhì)是表示它的有向線段的長度，因此求向量的模時，首先要找到其對應(yīng)的有向線段的起點與終點，再利用直角坐標系中兩點之間的距離，求的有向線段的長。

考點3共線向量與相等向量

※方法：此問題即為向量的計數(shù)問題，將向量與幾何圖像相結(jié)合，把滿足題意的情形按照統(tǒng)一的標準分類，做到不重復(fù)不遺漏。

考點4向量的實際應(yīng)用

①尋找共線向量與相等向量

※方法：將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，再通過求模的方法進行求解。②證明向量相等

※方法：證明兩個非零向量相等，首先證明它們是共線向量，再證明它們的方向相同，且模相等。例題例1：下列四個命題：①若|a|=0，則a為零向量；②若|a|=|b|，則a=b或a=-b；③若a//b，則|a|=|b|；④若a=0，則-a=0.其中正確的有（B）。A、1個B、2個C、3個D、4個

【解析】②中兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，并不意味著它們的方向是相同或相反的；③中兩個向量平行，只能說明這兩個向量的方向相同或相反，對向量的模沒有要求，故只有①④正確。

例2：求證：以A（-4，-1，-9），B（-10，1，-6），C（-2，-4，-3）為頂點的三角形是等腰直角三角形．

【解析】先利用空間兩點的距離公式分別求出AB，AC，BC的長，然后利用勾股定理進行判定是否為直角三角形，以及長度是否有相等，從而判定是否是等腰直角三角形．

例3：【解析】 2.2平面向量的線性運算

考點1向量的線性運算

①向量的加法、減法運算

※方法：向量的基本運算要抓住兩條主線，一是基于“形”，通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和（或差）；二是基于“數(shù)”，它是對上述操作的概括（或說“形式化”），要熟練掌握AB+BC+CD=AD.（字母為黑體均表示向量）②向量的數(shù)乘運算

※方法：關(guān)于實數(shù)與向量的積的有關(guān)運算，可按照實數(shù)積的運算方法進行，不過是將向量符號a，b，c等看作一般字母符號，其中向量數(shù)乘之間的和差運算，相當于合并同類項或提取公因式，這里的“同類項”與“公因式”指的是向量。③利用向量的線性運算將向量線性表示

※方法：（1）充分利用平面幾何的一些結(jié)論，轉(zhuǎn)化為相等向量、相反向量、共線向量及比例關(guān)系，建立已知向量與未知向量有直接關(guān)系的向量來解決問題。（2）注意幾何條件的應(yīng)用：如△ABC中，DE//BC→△ADE∽△ABC等。（3）此類問題直接轉(zhuǎn)化困難時，可建立相關(guān)向量的方程求解。

④利用向量的線性運算求參數(shù)

※方法：含有參數(shù)的向量線性運算問題，只需要把參數(shù)當做已知條件，列出向量方程，根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)乘運算化簡方程為已知形式，對比系統(tǒng)就可求出參數(shù)的值。

考點2共線問題

①證明兩向量共線或三點共線

※方法：（1）證明兩向量a，b共線可直接利用向量共線的條件，判斷是否存在實數(shù)λ，使得b=λa（a≠0）。（2）證明三點共線時可分兩步，第一步證明兩個向量共線，第二步證明兩個向量都經(jīng)過同一點。②利用向量共線求各參數(shù)的取值

※方法：根據(jù)向量共線及題目中所給條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，再解方程求出參數(shù)。

考點3向量的模的問題

①利用加減運算求向量的模

※方法：（1）理解向量的幾何意義，能準確運用向量的線性運算。（2）恰當構(gòu)造相關(guān)圖形，靈活運用幾何性質(zhì)求解未知量。②求向量的模的取值范圍

※方法：靈活運用公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

（1）在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，當a與b的方向相反且|b|≤|a|時，|a|-|b|=|a+b|；當a與b的方向相同時，|a+b|=|a|+|b|.（2）在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，當a與b的方向相同且|b|≤|a|時，|a|-|b|=|a-b|；當a與b的方向相反時，|a-b|=|a|+|b|.例題例1：【解析】例2：【解析】

2.3平面向量的基本定理及坐標表示

考點1平面向量基本定理的概念問題

※方法：解關(guān)于平面向量基本定理的概念問題時，關(guān)鍵是深刻理解平面向量基本定理，并注意定理中的一組基底是由兩個不共線的向量構(gòu)成。

考點2用基底表示向量

※方法：將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：第一種是利用向量的線性運算及法則對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；第二種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解。

考點3向量的夾角問題

※方法：求向量的夾角時，首先做出圖形，找到所要求的角，再結(jié)合圖形的特征以及幾何知識求出角度。

考點4求向量的坐標

※方法：求向量的坐標有兩種方法：其一是平移法，把向量的起點移至坐標原點，終點坐標即為向量的坐標；其二是用表示向量的有向線段的終點的相應(yīng)坐標減去起點的相應(yīng)坐標。例題例1：【解析】例2：【解析】

2.4平面向量的數(shù)乘積 2.5平面向量應(yīng)用舉例

考點1向量數(shù)量積得計算問題

①利用向量數(shù)量積得定義解題

※方法：解此類題應(yīng)嚴格按照向量數(shù)量積的定義ab=|a||b|cosα，注意家教的范圍為α∈[0°，180°]。a與b共線時有α=0°和α=180°兩種情況。主要應(yīng)用化歸的思想。②利用向量數(shù)量積的坐標運算解題

※方法：若題目中直接給出向量的坐標，則可直接利用公式ab=x1x2+y1y2進行求解；若題目中涉及圖形的數(shù)量積的運算，要充分利用向量終點坐標與起點坐標之差表示出向量坐標，再由向量坐標運算求解數(shù)量積。

考點2向量夾角計算問題

※方法：先表示出兩向量的數(shù)量積及其模，再利用數(shù)量積的夾角公式計算即可。

考點3結(jié)論a⊥b→ab=0的應(yīng)用

※方法：對于非零向量a，b，a⊥b→ab=0，可用來證明兩向量垂直，或由兩向量垂直列方程求解向量，以及解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直的問題。

考點4利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀

※方法：判斷三角形或四邊形形狀時，一般是由邊長和角的關(guān)系來進行判斷，充分利用向量的數(shù)量積公式求圖形的邊長、角度，再根據(jù)幾何圖形的特征判斷圖形形狀。

考點5利用向量解決幾何中的垂直問題

※方法：垂直問題的解決，一般的思路是將目標線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，而在此過程中，需運用向量的線性運算，將目標向量用基底表示，通過基底的數(shù)量積運算使問題獲解。當然基底的選取應(yīng)以能夠方便運算為準，及它們的夾角是明確的，且長度易知。

考點6利用向量解決幾何中的長度與角度問題

※方法：根據(jù)圖形已知向量表示出目標向量，再求出目標向量的模即為長度，再根據(jù)公式可求出向量的夾角。例題例1：【解析】

例2：

【解析】

例3：【解析】

例4：

【解析】

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高一數(shù)學(xué)必修4第2章平面向量章末測試

一、選擇題

1．下列命題中，真命題的個數(shù)為(其中a≠0，b≠0)()①|(zhì)a|＋|b|＝|a＋b|a與b方向相同②|a|＋|b|＝|a－b|a與b方向相反③|a＋b|＝|a－b|a與b有相等的模④|a|－|b|＝|a－b|a與b方向相同

A．0B．1C．2D．3

2．(201*廣東文，5)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝()A．6B．5C．4D．3

3．已知兩個力F1、F2的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°，則F1的大小為()A．53NB．5NC．10ND．52N

4．直角坐標系xOy中，i、j分別是與x、y軸正方向同向的單位向量．若直角三角形ABC中，＝2i＋j，＝3i＋kj，則k的可能值個數(shù)是()

A．1B．2C．3D．4

5．已知|a|＝3|b|≠0，且關(guān)于x的方程2x2＋2|a|x＋3ab＝0有實根，則a與b夾角的取值范圍是()πππ2ππ

0，B.，πC.，D.，πA.63336

6．(201*膠州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與b垂直，則λ等于()A．－1B．1C．－2D．2

7．(201*新鄉(xiāng)市模考)設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD為()

A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四邊形

8．已知O為原點，點A、B的坐標分別為A(a,0)、B(0，a)，其中常數(shù)a>0，點P在線段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，則的最大值為()

A．a(chǎn)B．2aC．3aD．a(chǎn)29．給出下列等式：

bab00②0a0③0ABBA④a①a⑤若a0,b0,則ab0,則a與b中至少有一個為0b0⑥a22⑦a與b是兩個單位向量，則ab

以上各式成立的是

A．①②③⑥⑦B．③④⑦C．②③④⑤D．③⑦

10已知a(5,2),b(4,3)c(x,y),若a2b3c0,則c的坐標為8138C.(13,4)134A.(1,)B.(,)D.(,)

333833311.設(shè)i,j是平面直角坐標系內(nèi)分別于x軸，y軸方向相同的兩個單位向量，

O為坐標原點，若OA4i3j,OB3i4j，2OAOB的坐標是

A.(1,2)B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)

bc(ab)//c,(bc)//a，則下列結(jié)論中12已知.a、、是兩兩不共線的非零向量，且不正確的是

A．a(chǎn)c與b共線B．a(chǎn)bc=0

C．a(chǎn)c與2b共線D．a(chǎn)2bc=0

二、填空題

13．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件為________．

14．已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，則a與b的夾角θ＝________.15．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則b在a方向上的投影為________．

16.已知點M是ABC的重心，AB=e1,ACe2用e1,e2表示MC_____

三、解答題

17．如右圖所示，在△AOB中，若A，B兩點坐標分別為(2,0)，(－3,4)，點C在AB上，且平分∠BOA，求點C的坐標．

18．在正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，求證：AF⊥DE.

19．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求a與b的夾角θ.

20．（10分）已知矩形ABCD，且AD=2AB,又△ADE為等腰直角三角形，F(xiàn)為ED的中點，

EA=e1,EF=e2,以1,

ee2為基底，

試表示向量AF，AB，AD及BD.

c421.（10分）已知cmanb(23,2)，a與c垂直,b與c的夾角120，且b求實數(shù)m，n的值及a與b的夾角

22.（12分）已知：

,a22，

a、b、c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中

a=（1，2）

（Ⅰ）若|

c|25，且c//a，求

c的坐標；

垂直，求

（Ⅱ）若|b|=

5,且2a2b與aba與b的夾角θ.

答案

[解析]對于③當a與b互相垂直時，構(gòu)成矩形時才有|a＋b|＝|a－b|因此③錯，對于④當a與b方向相同且|b|≤|a|時才有|a|－|b|＝|a－b|因此④錯，①②正確，故選C.

2[答案]C

[解析](8a－b)c＝(6,3)(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.故選C.3[答案]B

[解析]|F1|＝|F|cos60°＝5.4[答案]B

[解析]不妨取A(0,0)，則B(2,1)，C(3，k)，＝(1，k－1)．當AB⊥BC時，＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.當AB⊥AC時，＝6＋k＝0，∴k＝－6.當AC⊥BC時，＝3＋k2－k＝0，無解．所以滿足要求的k的可能值有2個．5[答案]B

[解析]∵關(guān)于x的方程2x2＋2|a|x＋3ab＝0有實根，∴Δ＝4|a|2－24ab≥0，即|a|2≥6ab.

∴|a|2≥6|a||b|cos〈a，b〉，又∵|a|＝3|b|≠0.1∴cos〈a，b〉≤，

2π

∵0≤〈a，b〉≤π，∴≤〈a，b〉≤π.

36[答案]C

[解析]λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b與b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)(4，－2)＝4(λ

＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.

7[答案]D

[解析]解法一：設(shè)AC的中點為G，則＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G為BD的中點，∴四邊形ABCD的兩對角線互相平分，∴四邊形ABCD為平行四邊形．

解法二：＝－＝b－a，＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，∴ABCD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．8[答案]D[解析]∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝(a－at，at)∴＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴≤a2.9D10D11D12D1

13[答案]m∈R且m≠

2

[解析]若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則這三點不共線．∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，1

∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.21

即實數(shù)m≠，滿足條件．

214[答案]120°

[解析]ab＝(2e1＋e2)(－3e1＋2e2)7＝－6|e1|2＋e1e2＋2|e2|2＝－，

2|a|＝(2e1＋e2)2＝7，|b|＝(－3e1＋2e2)2＝7，ab1

cosθ＝＝－，∴θ＝120°.

|a||b|215[答案]

13ab13[解析]b在a方向上的投影為＝＝13.

|a|13

1216.e1e2

33

17[解析]設(shè)點C坐標為(x，y)，由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且cos∠AOC＝，cos∠BOC＝，∴＝，

(2，0)(x，y)(－3，4)(x，y)∴＝，

25∴y＝2x.①

又∵與共線，＝(x＋3，y－4)，＝(x－2，y)，∴(x＋3)y－(x－2)(y－4)＝0，∴4x＋5y－8＝0.②

由①，②聯(lián)立解之得8

y＝7.

48∴C點的坐標為7，7.

4

x＝，7

18[證明]設(shè)＝a，＝b，則|a|＝|b|，ab＝0，

11

由條件知，＝a，＝b，

221

∴＝－＝a－b，

211

＝＋＝＋＝a＋b，

221a＋1ba－b∴＝22111

＝a2＋ab－ba－b2＝0.242即，∴DE⊥AF.

19[解析]∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4a2－4ab－3b2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴ab＝－6.

ab1∴cosθ＝＝－.∴θ＝120°.

|a||b|2

20.解答AF=e2-e1,AB=e2,AD=2e2-e1,BD=e2-e1

221.解答∵ac∴ac0又∵cmacnbc

cbccos120∴4n124∴n4且b1∴4b4()∴b2

222從而acma4bc∴ab2m又∵bcm(ab)4b

∴42m216∴m26∴m6

ab263當m6時，ab26∴cos∴

6ab222235當m6時，ab26∴cos∴

62因此m

22.解：（Ⅰ）設(shè)c(x,y),|c|25,x2y225,x2y220c//a,a(1,2),2xy0,y2x

x2x2y2x由2∴或∴c(2,4),或c(2,4)2y4y4xy206,n4,6；m6,n4,56（Ⅱ）(a2b)(2ab),(a2b)(2ab)2a3ab2b0,2|a|23ab2|b|20……（※）|a|25,|b|2(2255525),代入（※）中,253ab20ab

42245ab,cos2|a||b|552521

|a|5,|b|

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