高中數(shù)學必修3第二章知識點總結及練習

高中數(shù)學必修3知識點總結

第二章統(tǒng)計

2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本：在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：

，，，

研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；⑵隨機數(shù)表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。

5．隨機數(shù)表法：例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規(guī)則分布�？梢栽谡{查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距

第1頁共5頁離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或層次中的單位數(shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復到總體中各層實際的比例結構。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

第2頁共5頁1、本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)22、．樣本標準差：ss

n3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、

均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理2.3.2兩個變量的線性相關

1、概念:（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)2．最小二乘法3．直線回歸方程的應用

（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存

的數(shù)量關系

（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即

因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控

制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

4．應用直線回歸的注意事項：（1）做回歸分析要有實際意義；

（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。

第3頁共5頁數(shù)學必修3第二章《統(tǒng)計》微型試卷

一、選擇題：(本大題共10小題，每小題4分，共40分)

1.某學校為了了解高一年級學生對教師教學的意見，打算從高一年級201*名學生中抽取50名進行抽查，若采用下面的方法選�。合扔煤唵坞S機抽樣從201*人中剔除7人，剩下201*人再按系統(tǒng)抽樣的方法進行，則每人入選的機會（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.無法確定

2．有20位同學，編號從1至20，現(xiàn)在從中抽取4人作問卷調查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為()

A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8D.5，8，11，14

3．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點，公司為了調查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為(1)；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務情況，記這項調查為(2)。則完成(1)、(2)這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是（）A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法4.頻率分布直方圖中,小長方形的面積等于()

A.相應各組的頻數(shù)B.相應各組的頻率C.組數(shù)D.組距

5.從一群學生中抽取一個一定容量的樣本對他們的學習成績進行分析,已知不超過70分的人數(shù)為8人,其累計頻率為0.4,則這樣的樣本容量是()A.20人B.40人C.70人D.80人

6．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）

（1）（2）（3）（4）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）7.下表是某小賣部一周賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表：氣溫/℃杯數(shù)182413341039451-163若熱茶杯數(shù)y與氣溫x近似地滿足線性關系，則其關系式最接近的是（）A.yx6B.yx42C.y2x60D.y3x78

8．根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖如下．從圖中可以看出，該水文觀測點平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）A．48米B．49米C．50米D．51米

第4頁共5頁頻率組距2%1%0.5%30313233

48495051水位（米）

9．由小到大排列的一組數(shù)據(jù):x1,x2,x3,x4,x5,其中每個數(shù)據(jù)都小于2,則樣本

2,x1,x2,x3,x4,x5的中位數(shù)可以表示為（）

x2x32x5x3x4x2x1A.B.C.D.

2222

二、填空題：（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

11．管理人員從一池塘內撈出30條魚，做上標記后放回池塘。10天后，又從池塘內撈出50條魚，其中有標記的有2條。根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計該池塘內共有條魚。12.某校高中部有三個年級，其中高三有學生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有___學生。13已知200輛汽車通過某一段公路時的時速

頻率的頻率分布直方圖如右圖所示，則時速在

組距[60,70]的汽車大約有_________輛.00400314．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)為

002x0123001y135-a7+a4050607080時速（km）

則y與x的回歸直線方程ybxa必過定點______

15.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10，標準差是2，則xy參考答案

一、選擇題：CABBA，DCCCB

二、填空題：11、75012、370013、8014、(,4)15、96

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擴展閱讀：高中數(shù)學必修3知識點總結及習題

高中數(shù)學必修3知識點

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.2.算法的特點:

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.(2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設計好的步驟加以解決.1.1.2

程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。

1

（二）構成程序框的圖形符號及其作用

程序框起止框輸入、輸出框處理框法中任何需要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標判斷框明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。不可少的。表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算名稱功能表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。（三）、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構。

1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。

順序結構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。2、條件結構：

2

AB條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結構可以有多個判斷框。

3、循環(huán)結構：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類：

（1）、一類是當型循環(huán)結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。

（2）、另一類是直到型循環(huán)結構，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。

AAPP成立成立不成立不成立p

當型循環(huán)結構直到型循環(huán)結構

注意：1循環(huán)結構要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結構來判斷。因此，循環(huán)結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結構中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。1.2.1

輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

圖形計算器格式INPUT“提示內容”；變量INPUT“提示內容”，變量（2）輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；（5）提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

圖形計算器格式PRINT“提示內容”；表達式Disp“提示內容”，變量（2）輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結果功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式

（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左

右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學中的等號意義不同。

1．2．2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IFTHENELSE語句；（2）IFTHEN語句。2、IFTHENELSE語句

IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。

圖形計算器變量＝表達式格式表達式變量IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF滿足條件？是語句1否語句24

圖1圖2

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內容；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。IF條件THEN語句ENDIF（圖3）

是滿足條件？否（圖4）執(zhí)行的操語句注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時

作內容，條件不滿足時，結束程序；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執(zhí)行其它語句。

1．2．3循環(huán)語句

循環(huán)結構是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結構，一般程序設計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL語句。

1、WHILE語句

（1）WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是

循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿足條件？否是（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。

5

2、UNTIL語句

（1）UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體滿足條件？是否（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結構分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學生討論再歸納）（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)

1.3.1輾轉相除法與更相減損術

1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商為m，n的最大公約數(shù)；若（3）：若商

S2R1R0S0和一個余數(shù)

R0R0；（2）：若

S1R0＝0，則n

R1≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)

R1得到一個商

R0和一個余數(shù)

R1；

＝0，則

R2R1為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)

Rn1得到一個

和一個余數(shù)；依次計算直至

Rn＝0，此時所得到的即為所求的最

大公約數(shù)。2、更相減損術

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).

6

分析：（略）

3、輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

（2）從結果體現(xiàn)形式來看，輾轉相除法體現(xiàn)結果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術

則以減數(shù)與差相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進位制

7

1、概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制�，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù)

基礎型訓練

一、選擇題

1．下面對算法描述正確的一項是：（）

A．算法只能用自然語言來描述B．算法只能用圖形方式來表示

C．同一問題可以有不同的算法D．同一問題的算法不同，結果必然不同2．用二分法求方程x220的近似根的算法中要用哪種算法結構（）

A．順序結構B．條件結構C．循環(huán)結構D．以上都用3．將兩個數(shù)a8,b17交換,使a17,b8,下面語句正確一組是()

a=bb=ac=bb=aa=cb=aa=ba=cc=bb=a

A．B．C．D．

4．計算機執(zhí)行下面的程序段后，輸出的結果是（）

a1b3aabbab

PRINTa，b

A．1,3B．4,1C．0,0D．6,05．當a3時，下面的程序段輸出的結果是（）IFa10THEN

y2a

8

else

yaa

PRINTy

A．9B．3C．10D．6

二、填空題

1．把求n!的程序補充完整

“n=”，ni=1s=1i<=ns=s*ii=i+1PRINTsEND2．用“冒泡法”給數(shù)列1,5,3,2,7,9按從大到小進行排序時，經(jīng)過第一趟排序后得到的新數(shù)列為．

3．用“秦九韶算法”計算多項式f(x)5x54x43x32x2x1，當x=2時的值

的過程中，要經(jīng)過次乘法運算和次加法運算．

4．以下屬于基本算法語句的是．

①INPUT語句；②PRINT語句；③IF-THEN語句；④DO語句；⑤END語句；⑥WHILE語句；⑦ENDIF語句．5．將389化成四進位制數(shù)的末位是____________．三、解答題

1．把“五進制”數(shù)1234

2．用秦九韶算法求多項式f(x)7x6x5x4x3x2xx

當x3時的值．

3．編寫一個程序，輸入正方形的邊長，輸出它的對角線長和面積的值．

4．某市公用電話（市話）的收費標準為：3分鐘之內（包括3分鐘）收取0.30元；超過3分鐘部分按0.10元/分鐘加收費．設計一個程序，根據(jù)通話時間計算話費．

9

765432(5)轉化為“十進制”數(shù)，再把它轉化為“八進制”數(shù)．提高型訓練

一、選擇題

1．下列給出的賦值語句中正確的是（）

A．4MB．MMC．BA3D．xy02．給出以下四個問題,

①x,輸出它的相反數(shù)．②求面積為6的正方形的周長．

③求三個數(shù)a,b,c中輸入一個數(shù)的最大數(shù)．

x1,x0④求函數(shù)f(x)的函數(shù)值．

x2,x0n=5s=0WHILEs2．二進制數(shù)111.11轉換成十進制數(shù)是_________________．3．下左程序運行后輸出的結果為_______________．INPUT“a，b，c=”;a，b，c

IFb>aTHENx5

t=a

4．上右程序運行后實現(xiàn)的功能為_______________．ELSEyy3ENDIFPRINTx－y；y－xEND第3題y20IFx0THENxy3a=bb=tENDIFIFc>aTHENt=aa=cc=tENDIFIFc>bTHENt=bb=cc=tENDIF三、解答題

1．已知一個三角形的三邊邊長分別為2,3,4，設計一個算法，求出它的面積．

52．用二分法求方程x3x10在(0,1)上的近似解，精確到c0.001，寫出算

法．畫出流程圖，并寫出算法語句．

11

第二章2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本

統(tǒng)計

在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．

把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．

為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；⑵隨機數(shù)表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽

（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查

例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。5．隨機數(shù)表法：

例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

12

，，，K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規(guī)則分布�？梢栽谡{查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。

（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或層次中的單位數(shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

13

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復到總體中各層實際的比例結構。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

1、本均值：xx1x2xnn

2、．樣本標準差：ss2(x1x)(x2x)(xnx)n222

3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、

均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理2.3.2兩個變量的線性相關1、概念:

（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應用

（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存

的數(shù)量關系

（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即

因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。

14

（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控

制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

4．應用直線回歸的注意事項

（1）做回歸分析要有實際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。

基礎型訓練

一、選擇題

1．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)bcB．bcaC．cabD．cba2．下列說法錯誤的是()

A．在統(tǒng)計里，把所需考察對象的全體叫作總體

B．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)

C．平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D．一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大

3．某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，

那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是()

A．3.5B．3

C．3D．0.54．要了解全市高一學生身高在某一范圍的學生所占比例的大小，需知道相應樣本的()

A．平均數(shù)B．方差

C．眾數(shù)D．頻率分布

5．要從已編號（1~60）的60枚最新研制的某型導彈中隨機抽取6枚來進行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的6枚導彈的編號可能是（）

A．5,10,15,20,B．3,13,23,33,C．1,2,3,4,D．2,4,8,16,32,48

6．容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表：組號123456

78頻數(shù)1013x14151141312131149第三組的頻數(shù)和頻率分別是()

A．14和0.14B．0.14和14C．

和0.14D．

和

二、填空題

1．為了了解參加運動會的201*名運動員的年齡情況，從中抽取100名運動員；就這個問題，下列說法中正確的有；

①201*名運動員是總體；②每個運動員是個體；③所抽取的100名運動員是一個樣本；④樣本容量為100；⑤這個抽樣方法可采用按年齡進行分層抽樣；⑥每個運動員被抽到的概率相等．

2．經(jīng)問卷調查，某班學生對攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中執(zhí)“一般”態(tài)度的比“不喜歡”態(tài)度的多12人，按分層抽樣方法從全班選出部分學生座談攝影，如果選出的2位“喜歡”攝影的同學、1位“不喜歡”攝影的同學和3位執(zhí)“一般”態(tài)度的同學，那么全班學生中“喜歡”攝影的比全班人數(shù)的一半還多人．3．數(shù)據(jù)70,71,72,73的標準差是______________．4．數(shù)據(jù)a1,a2,a3,...,an的方差為2，平均數(shù)為，則

（1）數(shù)據(jù)ka1b,ka2b,ka3b,...,kanb,(kb0)的標準差為，平均數(shù)為．

（2）數(shù)據(jù)k(a1b),k(a2b),k(a3b),...,k(anb),(kb0)的標準差為，

平均數(shù)為．

5．觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在2700,3000的頻率為．頻率/組距0．00240027003000330036003900體重三、解答題

1．對某校初二男生抽取體育項目俯臥撐，被抽到的50名學生的成績如下：成績（次）10987654316

人數(shù)865164731試求全校初二男生俯臥撐的平均成績．

2．為了了解初三學生女生身高情況，某中學對初三女生身高進行了一次測量，所得數(shù)據(jù)整理后列出了頻率分布表如下：

組別145．5～149．5149．5～153．5153．5～157．5157．5～161．5161．5～165．5165．5～169．5合計頻數(shù)14201*8頻率0．020．080．400．300．16MMnN（1）求出表中m,n,M,N所表示的數(shù)分別是多少？（2）畫出頻率分布直方圖．

（3）全體女生中身高在哪組范圍內的人數(shù)最多？

3．某校高中部有三個年級，其中高三有學生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量

為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有多少學生？

4．從兩個班中各隨機的抽取10名學生，他們的數(shù)學成績如下：

甲班乙班7686748482629676667876927882727452886885

畫出莖葉圖并分析兩個班學生的數(shù)學學習情況．

17

提高型訓練

一、選擇題

1．某企業(yè)有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，一般職員90人，現(xiàn)抽取

30人進行分層抽樣，則各職稱人數(shù)分別為（）

A．5,10,1B．3,9,18C．3,10,17D．5,9,162．從N個編號中抽取n個號碼入樣，若采用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取，則分段間隔應為（）

A．

NnB．nC．

NND．nn13．有50件產(chǎn)品編號從1到50,現(xiàn)在從中抽取5件檢驗,用系統(tǒng)抽樣確定所抽取的編號為

()A．5,10,15,20,25B．5,15,20,35,40

C．5,11,17,23,29D．10,20,30,40,50

4．用樣本頻率分布估計總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是（）

A．總體容量越大，估計越精確B．總體容量越小，估計越精確C．樣本容量越大，估計越精確D．樣本容量越小，估計越精確5．對于兩個變量之間的相關系數(shù)，下列說法中正確的是（）A．r越大，相關程度越大

B．r0,，r越大，相關程度越小，r越小，相關程度越大C．r1且r越接近于1，相關程度越大；r越接近于0，相關程度越小D．以上說法都不對

二、填空題

1．相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別是．2．為了了解1200名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣

18

考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為_______________

3．從10個籃球中任取一個，檢驗其質量，則應采用的抽樣方法為_______________．4．采用簡單隨機抽樣從含10個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，個體a前兩次未被抽到，第三次被抽到的概率為_____________________

5．甲，乙兩人在相同條件下練習射擊，每人打5發(fā)子彈，命中環(huán)數(shù)如下

甲68998乙107779則兩人射擊成績的穩(wěn)定程度是__________________．三、解答題

1．如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的

頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：

（1）79.5~89.5這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

（2）估計這次環(huán)保知識競賽的及格率（60分及以上為及格）

2．以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：

（1）畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖；

（2）求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線；

（3）據(jù)（2）的結果估計當房屋面積為150m時的銷售價格．

219

第三章概率

3.1.13.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試

驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例

nAfn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n

nA的比值n，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立

事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)

20

2、概率的基本性質：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.13.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

A包含的基本事件數(shù)②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=總的基本事件個數(shù)

3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：

構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）積）；

P（A）=試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體（3）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

21

基礎型訓練

一、選擇題

1．下列敘述錯誤的是（）

A．頻率是隨機的，在試驗前不能確定，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近

概率B．若隨機事件A發(fā)生的概率為pA，則0pA1C．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件

D．5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到有獎獎券的可能性相同2．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是（）

A．

14B．

12C．

18D．無法確定

3．有五條線段長度分別為1,3,5,7,9，從這5條線段中任取3條，則所取3條線段能構成一個三角形的概率為（）

102104．從12個同類產(chǎn)品（其中10個是正品，2個是次品）中任意抽取3個的必然事件是（）

A．

110B．

3C．

1D．

7

A.3個都是正品B．至少有1個是次品

C．3個都是次品D．至少有1個是正品

5．某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,出現(xiàn)丙級品的概率為0.01,則對產(chǎn)品抽查一次抽得正品的概率是()A．0.09B．0.98C．0.97D．0.96

6．從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質量小于4.8g的概率為0.3，質量小于4.85g的概率為0.32，那么質量在4.8,4.85（g）范圍內的概率是（）

8A．0.62B．0.38C．0.02D．0.6

二、填空題

1．有一種電子產(chǎn)品，它可以正常使用的概率為0.992，則它不能正常使用的概率是．

2．一個三位數(shù)字的密碼鍵,每位上的數(shù)字都在0到9這十個數(shù)字中任選,某人忘記后一個

號碼,那么此人開鎖時,在對好前兩位數(shù)碼后,隨意撥動最后一個數(shù)字恰好能開鎖的概率為___

3．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個正面朝上的概率是．

4．從五件正品，一件次品中隨機取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品，一件次品的概率是．

5．在5張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,然后將它們混合,再任意排列成一行,則得到的數(shù)能被2或5整除的概率是．

三、解答題

22

1．從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表，求：

（１）甲被選中的概率（２）丁沒被選中的概率

2．現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：

（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．

3．某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站，求任一人在該車站等車時間

少于3分鐘的概率（假定車到來后每人都能上）．

4．一個路口的紅綠燈,紅燈的時間為30秒,黃燈的時間為5秒,綠燈的時間為

40秒,當你到達路口時看見下列三種情況的概率各是多少?(1)紅燈(2)黃燈(3)不是紅燈

數(shù)學必修3第三章概率初步試卷

班級：姓名：座號：評分：

一、選擇題：（本大題共10題，每小題5分，共50分）1.下列說法正確的是（）

A.任何事件的概率總是在（0，1）之間B.頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關

C.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

D.概率是隨機的，在試驗前不能確定2.擲一枚骰子，則擲得奇數(shù)點的概率是（）A.

16B.

12C.

13`D.

14

3.拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A.

1999B.

11000C.

9991000D.

12

4.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A=“三件產(chǎn)品全不是次品”，B=“三件產(chǎn)品全是次品”，C=“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結論正確的是（）A.A與C互斥B.B與C互斥C.任何兩個均互斥D.任何兩個均不互斥

5.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質量小于4.8g的概率為0.3，質量小于4.85g的概率為0.32，那么質量在[4.8，4.85]（g）范圍內的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68

6.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個正面朝上的概率是（）A.

12B.

14C.

13D.

18

7.甲，乙兩人隨意入住兩間空房，則甲乙兩人各住一間房的概率是（）A.

13.B.

14C.

12D.無法確定

8.從五件正品，一件次品中隨機取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A.1B.

12C.

13D.

23

9.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出

一球，則取出的兩個球同色的概率是（）A.

12B.

13C.

14D.

25

10.現(xiàn)有五個球分別記為A，C，J，K，S，隨機放進三個盒子，每個盒子只能

24

放

一個球，則K或S在盒中的概率是（）A.

110B.

35C.

310D.

910

11.設A,B為互斥事件,則A,B()

A.一定互斥,B.一定不互斥,C不一定互斥D.與A+B彼此互斥

12.如果A,B互斥,那么()

A,A+B是必然事件B.AB是必然事件C.A與B一定互斥D.

A與B一定不互斥234567891011121二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11.某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，

則其中一名女生小麗當選為組長的概率是___________12.擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為3的概率是_____________

13.某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔任正副班長，

其中至少有1名女生當選的概率是______________

14.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內的概率如下表所示：

年降水量/mm概率[100,150)0.21[150,200)0.16[200,250)0.13[250,300]0.12則年降水量在[200，300]（m,m）范圍內的概率是___________

三、解答題（本大題共3小題，共30分，解答應寫出文字說明，證明過程

或演算步驟）15.（8分）如圖，在邊長為25cm的正方形中挖去邊長為23cm的兩個等腰直角

三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，

問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？

16.（8分）10本不同的語文書，2本不同的數(shù)學書，從中任意取出2本，能取出

數(shù)學書的概率有多大？

17.（14分）甲盒中有紅，黑，白三種顏色的球各3個，乙盒子中有黃，黑，白，

三種顏色的球各2個，從兩個盒子中各取1個球（1）求取出的兩個球是不同顏色的概率.

（2）請設計一種隨機模擬的方法，來近似計算（1）中取出兩個球是不同

顏色的概率（寫出模擬的步驟）.

18.擲紅,藍兩顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),求至少一顆骰子出現(xiàn)偶數(shù)點的概率.

26

19.先后擲兩個均勻正方體骰子(六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點數(shù)分別為X,Y,則log2XY=1的概率為多少?

20.柜子里有4雙不同的鞋,隨機地取出4只,試求下列事件的概率.

(1)取出的鞋子都不成對;(2)取出的鞋恰好有兩只成對;(3)取出的鞋至少有兩只成對;(3)取出的鞋全部成對.

27

第三章概率例題解析

高考試題中每年都會出現(xiàn)概率試題大多數(shù)試題考查相互獨立事件、互斥事件、對立事件的概率，簡單隨機變量的分布列，以及隨機變量的數(shù)學期與方差，這部分綜合性較強，涉及排列、組合、二項式定理和概率，主要考查學生對知識的綜合運用。而知識點將是今后每年必考的內容之一，也將是近幾年高考的一個新熱點。注意以下幾個方面：⑴概率是頻率的近似值，兩者是不同概念⑵等可能事件中概率P(A)mn，P(A)∈[0，1]

⑶互斥事件A，B中有一個發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：BA時，P(A)P(A)1，即對立事件的概率和為1⑷相互獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnP(1-P)，其中P為事件A在一

次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]n展開的第k+1項

一、隨機事件的概率。

例題1、設有關于x的一元二次方程x2axb0．

1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上（Ⅰ）若a是從0，22kkn-k

述方程有實根的概率．

（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解:

練習1、如圖，面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下面方

DC28

MAB法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為

mnS，假設正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方

形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目．（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間(0.0，3內的概率．)k附表：P(k)kCt0t100000.250.75t10000t

242525740.957025750.95902424P(k)0.04030.0423解:

二、互斥事件與相互獨立事件的概率。

例題2、如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2，當元件A、B、C都正常

工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2.

解:

練習2、某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則

29

即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為

1545、、

5325、

，且各輪問題能否正確回答互不影響.

（Ⅰ）求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率.（注：本小題結果可用分數(shù)表示）解:

練習3、設一射手平均每射擊10次中靶4次,求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率;(2)第

二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率;(4)第二、三兩次擊中的概率;(5)至少擊中1次的概率.

解:

三、求離散型隨機變量分布列、期望、方差。

例題3、已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任取2個球．（Ⅰ）求取出的4個球均為黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

（Ⅲ）設為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．解:

例題4、設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程

xbxc0實根的個數(shù)（重根按一個計）．

2（Ⅰ）求方程xbxc0有實根的概率；（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程xbxc0有實根的概率．解:

30

練習4、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為

17，現(xiàn)有甲、乙

兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)。

（I）求袋中原有白球的個數(shù)；(Ⅱ)甲取到白球的概率。（III）求隨機變量的概率分布列及期望。解:

概率答案

高考試題中每年都會出現(xiàn)概率試題大多數(shù)試題考查相互獨立事件、互斥事件、對立事件的概率，簡單隨機變量的分布列，以及隨機變量的數(shù)學期與方差，這部分綜合性較強，涉及排列、組合、二項式定理和概率，主要考查學生對知識的綜合運用。而知識點將是今后每年必考的內容之一，也將是近幾年高考的一個新熱點。注意以下幾個方面：⑴概率是頻率的近似值，兩者是不同概念⑵等可能事件中概率P(A)mn，P(A)∈[0，1]

⑶互斥事件A，B中有一個發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：BA時，P(A)P(A)1，即對立事件的概率和為1⑷相互獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P為事件A在一

次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]展開的第k+1項

一、隨機事件的概率。

31

n例題1、設有關于x的一元二次方程x22axb20．

（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

解:設事件A為“方程a22axb20有實根”．

當a0，b0時，方程x22axb20有實根的充要條件為a≥b．（Ⅰ）基本事件共12個：

(0，0)，(0，，1)(0，2)，，(10)，，，，(11)(12)，(2，0)，(2，，1)(2，2)，(3，0)，(3，，1)(3，2)．其中第一個數(shù)表示a的

取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為

P(A)91234．

D（Ⅱ）試驗的全部結束所構成的區(qū)域為(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2．構成事件A的區(qū)域為(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b．

32122C

M所以所求的概率為23223．

AB

練習1、如圖，面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下

面方法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為

mnS，假設正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向

正方形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目．（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間(0.0，3內的概率．)k附表：P(k)kCt0t100000.250.75t10000t

242525740.957025750.959032

2424P(k)0.04030.04解:每個點落入M中的概率均為pEX10000142500．

14．依題意知

1X~B100，004．（Ⅰ）

（Ⅱ）依題意所求概率為P0.03410.0310000X，

C100000.250.75tt10000tXP0.03410.03P(2425X2575)10000257424252574t2426．

t2426Ct100000.250.75t10000tCt0t100000.250.75t1000010.95700.04230.9147二、互斥事件與相互獨立事件的概率。

例題2、如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2，當元件A、B、C都正常

工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2.

解:記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，由已知條件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率

P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648

(2)系統(tǒng)N2正常工作的概率P2=P(A)［1－P(BC)］=P(A)［1－P(B)P(C)］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792練習2、某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則

即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為

1545、、

5325、

，且各輪問題能否正確回答互不影響.

（Ⅰ）求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率.

（注：本小題結果可用分數(shù)表示）

2，3，4)，則P(A1)解:（Ⅰ）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為Ai(i1，

45，

P(A2)35，P(A3)25，P(A4)15，

該選手進入第四輪才被淘汰的概率

P4P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(P4)4535254596625．

（Ⅱ）該選手至多進入第三輪考核的概率

P3P(A1A1A2A1A2A3)P(A1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)

154525453535101125．

練習3、設一射手平均每射擊10次中靶4次,求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率;(2)第二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率;(4)第二、三兩次擊中的概率;(5)至少擊中1次的概率.

解:由題設,此射手射擊1次,中靶的概率為0.4,此射手射擊5次,是一獨立重復試驗,可用公式

Pn(k)CnP(1P)kknk14（1）由n5,k1,得P5(1)C5P(1P)0.2592

(2)事件“第二次擊中”表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可,它不同于“擊中一次”,也不同于“第二次擊中,其他各次都不中”,不能用獨立重復試驗的概率公式,其實,“第二次擊中”的概率,就是此射手“射擊一次擊中”的概率為0.4.（3）由n5,k2,得P5(2)C52P2(1P)30.3456

(4)“第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中,所以概率為0.4×0.4=0.16

(5)設“至少擊中一次”為事件B,則B包括“擊中一次”,“擊中兩次”,“擊中三次”,“擊中四次”,“擊中五次”,所以概率為

P(B)P5(1)P5(2)P5(3)P5(4)P5(5)0.25920.34560.23040.07680.010240.92224

事件B是用“至少”表述的,可以考慮它的對立事件.B的對立事件是“一次也沒有擊中”,所以B事件的概率可以這樣計算:

05P(B)1P(B)1P5(0)1C5(10.4)0.92224

三、求離散型隨機變量分布列、期望、方差。

34

例題3、已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任取2個球．（Ⅰ）求取出的4個球均為黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

（Ⅲ）設為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．

解:（Ⅰ）設“從甲盒內取出的2個球均為黑球”為事件A，“從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件B．由于事件A，B相互獨立，且P(A)C3C2241212，P(B)2515C4C22625．

故取出的4個球均為黑球的概率為P(AB)P(A)P(B)．

（Ⅱ）設“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件D．由于事件C，D互斥，且

CC41P(D)3225C4C612CCC4P(C)3222415C4C6211，

．

41515715故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P(CD)P(C)P(D)1，2，3．由（Ⅰ）（Ⅲ）解：可能的取值為0，，（Ⅱ）得P(0)1．

71515，P(1)，

C113P(3)3P(2)1P(0)P(1)P(3)．從而．2210C4C630的分布列為

P01571513107152130310763130的數(shù)學期望E015123．

例題4、設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程

xbxc0實根的個數(shù)（重根按一個計）．

2（Ⅰ）求方程xbxc0有實根的概率；（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程xbxc0有實根的概率．

35

解:（I）基本事件總數(shù)為6636，

若使方程有實根，則b24c0，即b2c。

當c1時，b2,3,4,5,6；當c2時，b3,4,5,6；當c3時，b4,5,6；當c4時，b4,5,6；當c5時，b5,6；當c6時，b5,6,目標事件個數(shù)為54332219,因此方程x2bxc0有實根的概率為

1936.

1736(II)由題意知，0,1,2，則P(0)故的分布列為

，P(1)236118,P(2)1736，

0

17361

173611181182

1736P

17361.

的數(shù)學期望E02(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，“方程ax2bxc0有實根”為事件N，則P(M)1136，P(MN)736，P(NM)P(MN)P(M)711.

17練習4、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙

兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)。

（I）求袋中原有白球的個數(shù)；(Ⅱ)甲取到白球的概率。（III）求隨機變量的概率分布列及期望。

解:（1）設袋中原有n個白球，由題意可得

17CnC722n(n1)76n3

376351352235（2）因為甲先取，甲只能在第1次，3次，5次取到白球P(A)（3）1,2,3,4,5

36

37

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