高二數(shù)學(xué)必修5 第二章 數(shù)列知識點歸納及測試201*.10.09

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高二數(shù)學(xué)必修5第二章數(shù)列知識點歸納及測試

基礎(chǔ)知識點歸納

1．概念與公式：

①等差數(shù)列：1°.定義：若數(shù)列{an}滿足an1and(常數(shù)),則{an}稱等差數(shù)列；

2°.通項公式：ana1(n1)dak(nk)d;3°.前n項和公式：公式：Sn②等比數(shù)列：1°.定義若數(shù)列{an}滿足n(a1an)n(n1)na1d.22an1q（常數(shù)），則{an}稱等比數(shù)列；an2°.通項公式：ana1qn1akqnk;3°.前n項和公式：

a1anqa1(1qn)Sn(q1),當(dāng)q=1時Snna1.

1q1q2．簡單性質(zhì)：①首尾項性質(zhì)：設(shè)數(shù)列{an}:a1,a2,a3,,an,1°.若{an}是等差數(shù)列，則a1ana2an1a3an2;2°.若{an}是等比數(shù)列，則a1ana2an1a3an2.②中項及性質(zhì)：1°.設(shè)a，A，b成等差數(shù)列，則A稱a、b的等差中項，且Aab;22°.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，則G稱a、b的等比中項，且Gab.③設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且pqrs,1°.若{an}是等差數(shù)列，則apaqaras;

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沒有人能讓我輸，除非我不想贏名成教育輔導(dǎo)中心TEL:15859099020(張老師)QQ:9054912242°.若{an}是等比數(shù)列，則apaqaras;④順次n項和性質(zhì)：

n

2n3n1°.若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak,k1nkn1a,akk2n12n3nkk組成公差為n2d的等差數(shù)列；

2°.若{an}是公差為q的等比數(shù)列，則ak,k1kn1a,ak2n1k組成公差為qn的等比數(shù)列.

（注意：當(dāng)q=－1，n為偶數(shù)時這個結(jié)論不成立）⑤若{an}是等比數(shù)列，則順次n項的乘積：a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n組成公比這qn的等比數(shù)列.⑥若{an}是公差為d的等差數(shù)列,1°.若n為奇數(shù)，則Snna中且S奇S偶a中(注:a中指中項,即a中an1,而S奇、S

2偶

2指所有奇數(shù)項、所有偶數(shù)項的和）；nd.2°.若n為偶數(shù)，則S偶S奇2

提高練習(xí)一、選擇題1、設(shè){an}是等差數(shù)列，若a23,a713,則數(shù)列{an}前8項的和為()A.128B.80C.64D.562、記等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S24,S420，則該數(shù)列的公差d（）A、2B、3C、6D、7

S4{a}Saq23、設(shè)等比數(shù)列n的公比，前n項和為n，則2（）

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A．2B．4

15C．217D．2

4、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9（）A．63B．45C．36D．271an1anln(1)n，則an（）5、在數(shù)列{an}中，a12，A．2lnnB．2(n1)lnnC．2nlnnD．1nlnn二、填空題6．已知an為等差數(shù)列，a3a822，a67，則a5____________7．設(shè)數(shù)列an中，a12,an1ann1，則通項an___________。8．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a128,S99,則S16。

xf(x)29．已知函數(shù),等差數(shù)列{ax}的公差為2.若f(a2a4a6a8a10)4,則log2[f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)].10、將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n3）從左向右的第3個數(shù)為三、解答題2a2ana1n1{a}an1，n1,2,3,…．3，11．已知數(shù)列n的首項（Ⅰ）1n1}{}證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列an的前n項和

{Sn．

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12．?dāng)?shù)列｛an｝是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負.

（1）求數(shù)列的公差；（2）求前n項和Sn的最大值；（3）當(dāng)Sn＞0時，求n的最大值．

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沒有人能讓我輸，除非我不想贏

擴展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修五第二章《數(shù)列》知識點歸納及單元檢測題

第三章數(shù)列單元檢測

一、選擇題

1.已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，若A．18B．36C．54D．722.已知

為等差數(shù)列，

為等比數(shù)列，其公比

B．

等于（），且C．

D．

，若

或，

，則（）A．

3.在等差數(shù)列{a}中，3（a+a）+2（a+a+a）=24，則此數(shù)列的前13項之和為()A．156B．13C．12D．26

4.已知正項等比數(shù)列數(shù)列{an}，bn=logaan,則數(shù)列{bn}是（）

A、等比數(shù)列B、等差數(shù)列C、既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D、以上都不對5.數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，并且等于（）

是等比數(shù)列

的相鄰三項，若

，則

A.B.C.D.

6.數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項的值是（）A.42B.45C.48D.51

7.一懂n層大樓，各層均可召集n個人開會，現(xiàn)每層指定一人到第k層開會，為使n位開會人員上下樓梯所走路程總和最短，則k應(yīng)�。ǎ�Ａ．Ｄ．ｎ為奇數(shù)時，ｋ＝

（ｎ１）或ｋ＝

ｎＢ．（ｎ１）Ｃ．（ｎ＋１）

ｎ

（ｎ＋１），ｎ為偶數(shù)時ｋ＝

8.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，，Sn是數(shù)列的前n項和，則（）

A.S4＜S5B.S4＝S5C.S6＜S5D.S6＝S59.等比數(shù)列

的首項

,前項和為

若

，則公比等于()

C.2D.－2

10.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S6=36，Sn=324，Sn－6=144（n＞6），則n等于（）A．15B．16C．17D．18

11.已知A.

B.

，（），則在數(shù)列｛

C.

｝的前50項中最小項和最大項分別是（）

為整數(shù)的數(shù)n為劣數(shù)，則在

D.

12.已知：，若稱使乘積

區(qū)間（1，201*）內(nèi)所有的劣數(shù)的和為（）A．2026B．2046C．1024D．1022二、填空題13.在等差數(shù)列

中，已知a1+a3+a5=18，an-4+an-2+an=108，Sn=420，則n=___________.

，則

（k∈N+，

14.在等差數(shù)列中，公差，且k≤60）的值為________________.15.已知16.已知三、解答題

，則

則通項公式=_____________.

=____________．

=_____________;

17.若數(shù)列前n項和可表示為，則是否可能成為等比數(shù)列？若可能，求出a值；若不可能，說明理由．

18.設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分別求出{an}及{bn}的前n項和S10及T10.

19.已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，且S3，S9，S6成等差數(shù)列（1）求證：a2,a8,a5也成等差數(shù)列

（2）判斷以a2,a8,a5為前三項的等差數(shù)列的第四項是否也是數(shù)列{an}中的一項，若是求出這一項，若不是請說明理由.20.等比數(shù)列的首項為

項的和.

，公比為

，用

表示這個數(shù)列的第n項到第m項共

（Ⅰ）計算，，，并證明它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列；

（Ⅱ）受上面（Ⅰ）的啟發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律，并證明.21.某城市201*年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?

第三章數(shù)列單元檢測參考答案

1.D;2.B;3.D;4.A;5.B;6.B;7.D;8.B;9.B;10.D;11.C;12.A;13.20;14.7;15.16.

17.【解】因

的前n項和

)．要使

.，故適合

=,

時通項公式，則必有

，，;

an=2n+a－2n－1－a=2n－1(

此時，，

故當(dāng)a=－1時，數(shù)列成等比數(shù)列，首項為1，公比為2，時，不是等比數(shù)列．18.【解】∵{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，∴a2+a4=2a3,b2b4=b32,已知a2+a4=b3,b2b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3=由a1=1,a3=由b1=1,b3=

，知{an}的公差d=－,知{bn}的公比q=

,∴S10=10a1+或q=－

,

d=－

.

,a3=

.

19.【解】（1）S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,而a1≠0，所以S3，S9，S6不可能成等差數(shù)列……2分所以q≠1，則由公式

即2q6=1+q3∴2q6a1q=a1q+q3a1q,∴2a8=a2+a5所以a2,a8,a5成等差數(shù)列（2）由2q6=1+q3=－

要以a2,a8,a5為前三項的等差數(shù)列的第四項是數(shù)列{an}中的第k項，必有ak－a5=a8－a2,所以由k是整數(shù)，所以數(shù)列{an}中的一項.20.【解】（Ⅰ）因為（Ⅱ）一般地

，，

所以

成等比數(shù)列.

萬輛，以后各年末汽車保有量依次為

，兩式相減得：，則

（2）若

項，以（i）若（ii）當(dāng)由

為公比的等比數(shù)列，所以，

，則對于任意正整數(shù)

時，

，得

，

，均有，則數(shù)列

為以.，所以，

，所以，

，此時，

，

，即

，此時

為首

萬輛，萬輛，……，

,所以

、所以

不可能成立，所以a2,a8,a5為前三項的等差數(shù)列的第四項不可能也是

,

,成等比數(shù)列.

且m、n、p、r均為正整數(shù)）也成等比數(shù)列，

，

21.【解】設(shè)201*年末汽車保有量為每年新增汽車萬輛，則所以，當(dāng)

時，

，

（1）顯然，若

，則對于任意正整數(shù)，均有

要使對于任意正整數(shù)

即

，均有恒成立，

對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關(guān)于x的一元一次不等式,得上式恒成立的條件為：

所以，.

，由于關(guān)于的函數(shù)

,

單調(diào)遞減，數(shù)列知識點總結(jié)

一、數(shù)列的定義：（1）按一定次序排成的一列數(shù)

(2)數(shù)列可以看作是項數(shù)n的函數(shù)f(n)=an,其定義域為正整數(shù)集或它的子集。

二、數(shù)列的分類：

1、按項數(shù)分類：有窮數(shù)列

無窮數(shù)列

+

2、按增減性分類：遞增數(shù)列對于任何nN，具有an1>an遞減數(shù)列對于任何nN，具有an1k>0）nSn=（a1+an）

2n(n1)dSn=na1+

2an=a1qn1(q0)an=an1qan=amqnm

G2ab。推廣：G=ankank（n,k

。任意兩數(shù)a、c不一定N+;n>k>0）

有等比中項，除非有ac＞0，則等比中

項一定有兩個

前n項和

性質(zhì)

a1(1qn)Sn=

1qaanqSn=11q（1）若mnpq，則amanapaq；（1）若mnpq，則

anapaq（2）數(shù)列a2n1,a2n,a2n1仍為等差數(shù)am列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍為等差數(shù)（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍

n2為等比數(shù)列,公比為q列，公差為nd；

（3）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為

ad，a，ad

（4）若an，bn是等差數(shù)列，且前n項和分別為Sn，Tn，則

amS2m1bmT2m（5）an為等差數(shù)列Snan2bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）（6）d=

aman(mn)

mn(7)d>0遞增數(shù)列d例6、在數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=an2,求通項an.（4）倒數(shù)法。

若題目特征符合遞推關(guān)系式a1=A,Ban+Can+1+Danan+1=0(A,B,C,D均為常數(shù))時，可用倒數(shù)法求數(shù)列的通項公式。例7、在數(shù)列{an}中，已知a1=1,an+1=

,求數(shù)列的通項an.

n

（5）歸納法。

這是一種通過計算、觀察、歸納規(guī)律，進而猜想、驗證（證明）的思維方法，是一種普遍適用的方法。在前面所有的問題中，只要轉(zhuǎn)化為遞推公式，就可以由初始條件逐次代入遞推關(guān)系，觀察計算結(jié)果，直到看出規(guī)律為止。

2

例9、在數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=an,求數(shù)列的通項公式an.

十、求數(shù)列的前n項和的方法1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d22(q1)na1n等比數(shù)列求和公式：Sna1(1q)a1anq

(q1)1q1q[例1]已知log3x123n，求xxxx的前n項和.log23Sn的最大值.

(n32)Sn1[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)2、錯位相減法求和：這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{anbn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①[例4]求數(shù)列

2462n,2,3,,n,前n項的和.22223、倒序相加法求和：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1an).[例5]求sin1sin2sin3sin88sin89的值

4、分組法求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例6]求數(shù)列的前n項和：11,222221114,27,,n13n2，…aaa[例7]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.5、裂項法求和：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：

sin1（1）anf(n1)f(n)（2）tan(n1)tanncosncos(n1)111(2n)2111（3）an（4）an1()

n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(6)ann212(n1)n1111nn,則S1nn1nnn(n1)2n(n1)2n2(n1)2(n1)2112,123,,1nn1,的前n項和.

[例9]求數(shù)列

[例10]在數(shù)列{an}中，an12n2，又bn，求數(shù)列{bn}的前n項的和.n1n1n1anan1111cos1[例11]求證：

cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin216、合并法求和：針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°++cos178°+cos179°的值.[例13]數(shù)列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S201*.

[例14]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.7、利用數(shù)列的通項求和：先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.[例15]求1111111111之和.n個18[例16]已知數(shù)列{an}：an,求(n1)(anan1)的值.

(n1)(n3)n1十一、在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)a1>0,d

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