高中數(shù)學(xué)必修5知識總結(jié)

第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，則有ab為C的sinsincsinC2R（R外接圓的半徑）正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，

c2RsinC；②

sina，

，

c；③

2Rsinb2RsinC2Ra:b:csin:sin:sinC；④

abcabc．sinsinsinCsinsin

sinC2、三角形面積公式：S1C2bcsin12absinC12acsin．3、余弦定理：在

C中，有a2b2c22bccos，

b2a2c22accos，c2a2b22abcosC．

4、余弦定理的推論：cosb2c2a2，a2c2b2，2bccos2accosCa2b2c2．

2ab5、射影定理：abcosCccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA

6、

C中①若a2b2c2，則C90；②若a2b2c2，

則C90；③若a2b2c2，則C90．

第二章數(shù)列

1．（1）數(shù)列的概念：數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，，n｝）的特殊函數(shù)，如果數(shù)列an的第n項an與n之間

的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做數(shù)列的通項公式。

（2）數(shù)列的前n項和性質(zhì)：a=,(n1)s1n

snsn1,(n2)2．等差數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）等差數(shù)列的判斷方法：①定義法：an1and(常數(shù))an為等差數(shù)

列。②中項法：2an1anan2an為等差數(shù)列。③通項公式法：

anknb（k,b

為常數(shù)）an為等差數(shù)列。④前n

項和公式法：

s2nAnBn（A,B為常數(shù)）an為等差數(shù)列。

（2）等差數(shù)列的通項：ana1(n1)d或anam(nm)d。（3）等差數(shù)列的前n和：Snn(a1an)n(n2，S1)nna12d。（4）等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，

且Aab

2提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、

d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。5個元素中知3求2。

（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，

a2d,ad,a,ad,a2d（公差為d）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可

設(shè)為，a3d,ad,ad,a3d,（公差為2d）

3．等比數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）等比數(shù)列的判斷方法：①定義法an1q(q為常數(shù)），其中q0,an0an②中項法：

an1ana(n2)③通項公式法：anncq；④前n項和公nan1式法：snAAqn(A0,q0且q1)。

（2）等比數(shù)列的通項：a1mna1qn或anamqn。

（3）等比數(shù)列的前n和：當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，

Sa1(1qn)n1qa1anq1q。特別提醒：求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要討論

（4）等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項。

A=ab提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項.4．等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差d0時，ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次

函數(shù)；前n和Sn(n1)nna12dd2n2(ad12)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差d0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d0，則為遞減等差數(shù)

列，若公差d0，則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)

mnpq時,則有amanapaq，特別地，當(dāng)

mn2p時，則有aman2ap.

（4）若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常數(shù))、{a*pnq}(p,qN)、Sn,S2nSn,S3nS2n也成等

差數(shù)列，而{aan}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且an0，則

{lgan}是等差數(shù)列.

（5）在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇nd；項數(shù)為

奇數(shù)2n1時，S奇S偶a中，S2n1(2n1)a中（這里a中即an）,

S奇Sn。偶n1（6）若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則amS2m1

bmT2m1（7）已知an成等差數(shù)列，求

sn的最值問題：法一:若a10,d0且滿足asn0,,則n10n最大；若a1asn最小.法二：二次an10函數(shù)法，但要注意數(shù)列的特殊性nN*。

(8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究anbm.

5．等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）mnpq時，則有am.anap.aq，特別地，當(dāng)mn2p時，

則有a2m.anap.

(2)若{an}是等比數(shù)列，則{|an|}、{apnq}(p,qN*)、{kan}成等比數(shù)列；若{a}、{ann}、{bn}成等比數(shù)列，則{anbnb}成等比數(shù)列；若{an}n是等比數(shù)列，且公比q1，則數(shù)列Sn,S2nSn,S3nS2n，也是等比數(shù)列，公比為qn.。當(dāng)q1，且n為偶數(shù)時，數(shù)列Sn,S2nSn,S3nS2n，

是常數(shù)數(shù)列0，不是等比數(shù)列.

(3)若a10,q1或a10,0q1,，則{an}為遞增數(shù)列；若a10,q1或

a10,0q1,則{an}為遞減數(shù)列；若，若q0，則{an}為擺動數(shù)列；

若q1，則{an}為常數(shù)列.

(4)當(dāng)

q1時，Sa1nqna11qaqnb，這里ab0，但

1qa0,b0，這是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn，

判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列。(5)SmnSmqmSnSnqnSm

(6)在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶qS奇；項數(shù)為奇數(shù)

2n1時，S奇a1qS偶.

(7)數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列。6.數(shù)列的通項的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。⑵作差法：已知Sn求an，用aSS1,(nS1)n,(n。

nn12)⑶作商法：已知a1a2anf(n)求an，用

f(1),(anf(n)n1)。f(n1),(n2)⑷累加法：若an1anf(n)求an用an(anan1)(an1an2)(a2a1)⑸累乘法：已知an1f(n)求an，用aanan1a2(n2)。

annaa1n1an2a1⑹構(gòu)造法（1）形如annkan1b、ankan1b（k,b為常數(shù)）的遞

推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an。（2）形

如aan1nka的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。

n1b注意：（1）用anSnSn1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成

立的條件了嗎？（n2，當(dāng)n1時，a1S1）；（2）一般地當(dāng)已知條件中

含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式anSnSn1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解。

7.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：直接利用或可通過轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和公式求解。特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；③常用公式：123n12n(n1)，

1222n21n(n1)(2n1)，132333n3[n(n1)262].

（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常把數(shù)列的各項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列，然后利用公式求和。如求：Sn1357(1)n(2n1)

（3）倒序相加法：與首末等距離的兩項之和等于首末兩項之和，采用此法。

（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，即數(shù)列是一個“差比”數(shù)列，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.

（5）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)抵消，從而前n項化成首尾若干少數(shù)項之和。如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

①

n(n11)1nn11；②1n(nk)1k(1n1nk)；

③

1k21111k212(k1k1)，1111111(k1)kk(k1)kk11；

kk2k④1(2n1)(2n1)12(12n112n1)

⑤111n(n1)(n2)2[n(n1)1(n1)(n2)]；

⑥

11nknk(nkn)；第三章不等式

1、實數(shù)大小比較：

ab0ab；ab0ab；

ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①反對稱性abba；②傳遞性ab,bcac；③可加性abacbc；④可乘性ab,c0acbc，

ab,c0acbc；⑤同向可加性ab,cdacbd；⑥同向可

乘性

a0b,cd0；a⑦cb可d乘

方

ab0anbnn,n1；

⑧可開方

ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：5、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則

ab2稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．6、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab2ab．7、常用的基本不等式：①

a2b22aba,bR；②

aba2b222a,bR；③

ababa0,b；④

20a2b2a22b2a,bR．8、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時，積xy取得最大值

s24．⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2p．

數(shù)列基礎(chǔ)知識點訓(xùn)練

1、數(shù)列的概念：

（1）已知annn2156(nN*)，則在數(shù)列{an}的最大項為（答：125）（2）數(shù)列{an}的通項為aann，其中a,b均為正數(shù)，則bn1an與an1的大

小關(guān)系為（答：anan1）

；（3）已知數(shù)列{an}中，ann2n，且{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍（答：3）；

2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等差數(shù)列{an}中，a1030，a2050，則通項an（答：2n10）；

（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的范圍是_____（答：83d3）

（3）數(shù)列{an}中，anan11(n2,nN*)，152an3，前n項和2Sn2，則a1＝＿，n＝＿（答：a13，n10）；

（4）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn12nn2，求數(shù)列{|an|}的前n項和

T2n（答：T12nn(n6,nN*)n）.n212n72(n6,nN*)

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列{an}，Sn18,anan1an23,S31，n＝_（答：27）

；（2）在等差數(shù)列

an中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n項和，則（答：B）A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、

S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，

S6,S7都大于0

D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0

（3）等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。（答：

225）

（4）在等差數(shù)列中，S11＝22，則a6＝______（答：2）；

（5）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)

列的中間項與項數(shù)（答：5；31）.

（6）設(shè){an}與{bn}是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和分別為Sn和Tn，若

SnT3n1，那么an_________（答：6n2）n4n3bn8n7（7）等差數(shù)列{an}中，a125，S9S17，問此數(shù)列前多少項和最大？并

求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；（8）若{an}是等差數(shù)列，首項a10,a201*a201*0，a201*a201*0，

則使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）

4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等比數(shù)列的判斷方法：

①一個等比數(shù)列{an}共有2n1項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，

則a（答：5n1為____6）；

②數(shù)列{an}中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求證：

數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列。

（2）等比數(shù)列的通項：

設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1an66，a2an1128，前n項和Sn＝126，

求n和公比q.（答：n6，q1或2）

2

（3）等比數(shù)列的前n和：

①等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99（答：44）

；

（4）等比中項：①已知兩個正數(shù)a,b(ab)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小

關(guān)系為______（答：A＞B）

②有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或

0,4，8,16）奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，aa2q2,q,a,aq,aq（公比

為q）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為

aq3,aq,aq,aq3，，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為q2。5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）在等比數(shù)列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整數(shù)，

則a10=___（答：512）；

（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列

{an}中，若a5a69，則

lo3ga1lo3ag2lao3g10（答：10）。（3）已知a0且a1，設(shè)

數(shù)列

{xn}滿

足

loaxg1n1xal(nonNg*，且x1x2x11000，0則x101x102x200（答：

100a100）；

（4）在等比數(shù)列

{an}中，

Sn為其前n項和，若

S3013S10,S10S30140，則S20的值為______（答：40）

（5）若{an}是等比數(shù)列，且Sn3nr，則r＝（答：－1）

（6）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差數(shù)列，則q的值為_____（答：－2）（7）設(shè)數(shù)列

an的前n項和為Sn（nN），關(guān)于數(shù)列an有下列三個命

題：①若anan1(nN)，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；

②若Snan2bna、bR，則an是等差數(shù)列；

③若Sn11n，則an是等比數(shù)列。

這些命題中，真命題的序號是（答：②③）6.數(shù)列的通項的求法：

（1）已知數(shù)列314,518,7116,9132,試寫出其一個通項公式：__________（答：an11n22n1）（2）已知{an}的前n項和滿足log2(Sn1)n1，求an②計算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如

（答：

an

3,n1）；

2n,n2111a12a2nan2n5，求an（答：222(1101)2表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是

1231220211201*，那么將二進(jìn)制(11111)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)

201*個1制數(shù)是_______（答：2（2）分組求和法：

201*1）

Sn1357(1)n(2n1)（答：

（3）數(shù)列{an}滿足

(1)nn）

an

14,n1）

2n1,n2（4）數(shù)列{an}中，a11,對所有的n2都有a1a2a3ann2，則

61）16a3a5______（答：

（5）已知數(shù)列{an}滿足a11，anan11n1n(n2)，則

an=________（答：ann121）

（6）已知數(shù)列{an}中，a12，前n項和Sn，若Snn2an，求an（答：

an

4）

n(n1)；1,an3an12，求an（答：an23n11）；3n12n1）1,an3an12n，求an（答：an5（7）已知a1

（8）已知a1

（9）已知a1

1,an1an1，求an（答：an）；

3n23an11an求an（答：an1ananan1，1n2）

（10）已知數(shù)列滿足a1=1，

（11）數(shù)列

{an}滿足）

an5a14,SnSn1an3，1求

an（答：

4,n1n134n,27.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：

①等比數(shù)列{an}的前n項和Sｎ＝2－１，則a1ｎ

2222a2a3an4n1＝_____（答：）；

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必修5知識點總結(jié)

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無交點：當(dāng)無交點則B無解、當(dāng)有一個交點則B有一解、當(dāng)有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當(dāng)a但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。本題解答過程略

附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．9、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．10、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+1>an）．12、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq．22、等差數(shù)列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若項數(shù)為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號表示：

an1anq（注：①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項；②同號位上

的值同號）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

25、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，

22則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1q．

27、通項公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、對任意的數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關(guān)系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{an}前n項和Sndddd22AnBnna1n→

222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若

為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：⑴等差數(shù)列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列前n項和公式通項公式(a1d2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.

對應(yīng)函數(shù)（時為一次函數(shù)）（指數(shù)型函數(shù)）對應(yīng)函數(shù)（時為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數(shù)列分析：因為

中，，則.

是等差數(shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，

一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，

所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)

列通項公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數(shù)列

中，

，前n項和為

，若

，n為何值時

最大？

分析：等差數(shù)列前n項和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，

是拋物線=上的離散點，根據(jù)題意，，

則因為欲求最大。

最大值，故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為，即當(dāng)時，

例題：3遞增數(shù)列，對任意正整數(shù)n，

遞增得到：

恒成立，設(shè)

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因為是遞的最大值即

分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對一切

對于一切

，所以看成函數(shù)

的取值范圍是：

構(gòu)造二次函數(shù)，，它的定義域是

增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數(shù)f(x)

為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸的左側(cè)

在

也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前

n項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，

公差是兩個數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證anan1(anan1)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)a1>0,d把①式兩邊同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零點分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x23x26x80的解集為：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例題：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數(shù)yax22

000bxc有兩相異實根x1,x2(x1x2)（a0）的圖象一元二次方程ax2有兩相等實根x1x2b2abxc0a0的根2無實根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對于a0(或

f(x)g(x)（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

xx11

1的解集。

3.含絕對值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當(dāng)x2時，（去絕對值符號）原不等式化為：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函數(shù)圖像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標(biāo)系中作出此分段函數(shù)及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：y設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0o對稱軸x=b2ax

0b0②若兩根都小于0，即0,0，則有2af(0)0y

11

對稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數(shù)m,n之間，即mn，

0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個根在三個實數(shù)之間，即mtn，

yf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)

例如：若方程x2(m1)xm2m30有兩個正實數(shù)根，求m的取值范圍。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個正實數(shù)根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

55220m(1)4(m1)02解：因為有兩個不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x,y，所有這樣的有序數(shù)對x,y構(gòu)成的集合．

38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．41、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則

ab2稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：

⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時，積xy取得最大值

s42．⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2例題：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化為：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

當(dāng)54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）時取到“=”號

也就是說當(dāng)x1時有f(x)max2

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