高二數(shù)學(xué)必修5數(shù)列通項(xiàng)公式的求法歸納(精)

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

編輯：張杰201*.12.15

一、定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類(lèi)型的題目．

2例1．等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5a5．求數(shù)列an的通項(xiàng)公

式.

解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d0)

2∵a1,a3,a9成等比數(shù)列，∴a3a1a9，即(a12d)2a1(a18d)d2a1d

∵d0，∴a1d………………………………①

2∵S5a5∴5a154d(a14d)2…………②2由①②得：a133333，d∴an(n1)n】55555點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫(xiě)出通項(xiàng)。

二、公式法

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式anS1n1求解。

SSn2n1n例2．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2an(1)n,n1．求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由a1S12a11a11

naSS2(aa)2(1),n2nnn1nn1當(dāng)時(shí)，有

an2an12(1)n1,

an12an22(1)n2,……，a22a12.

an2n1a12n1(1)2n2(1)22(1)n12n1(1)n[(2)n1(2)n2(2)]2n12[1(2)n1](1)3n2[2n2(1)n1].3

經(jīng)驗(yàn)證a11也滿(mǎn)足上式，所以an2n2[2(1)n1]點(diǎn)評(píng)：利用公式an三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法

Snn1求解時(shí)，要注意對(duì)n分類(lèi)討論，但若能合寫(xiě)時(shí)一定要合并．

SnSn1n2對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通�？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。

類(lèi)型1遞推公式為an1anf(n)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1解：由條件知：an1an11，an1an2，求an。2nn1111

n2nn(n1)nn1分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)

1111111(1)()()()

22334n1n所以ana11類(lèi)型2

（1）遞推公式為an1f(n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

111131a1，an1n22n2nan1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2nan，求an。，an13n1例4.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1解：由條件知

an1n，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累乘之，即ann1aaa2a3a4123n11nn

na1a2a3an1234a1n又a122，an33n注：由an1f(n)an和a1確定的遞推數(shù)列an的通項(xiàng)還可以如下求得：

所以anf(n1)an1，an1f(n2)an2，，a2f(1)a1依次向前代入，得

anf(n1)f(n2)f(1)a1，類(lèi)型3

遞推式：an1panfn

解法：只需構(gòu)造數(shù)列bn，消去fn帶來(lái)的差異．其中fn有多種不同形式

①fn為常數(shù)，即遞推公式為an1panq（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)0)）。解法：轉(zhuǎn)化為：an1tp(ant)，其中tq，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1p例5.已知數(shù)列an中，a11，an12an3，求an.

解：設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)即an12antt3.故遞推公式為

an132(an3),令bnan3，則b1a134,且

bn1an132.所以bn是以b14為首項(xiàng)，2為bnan3公比的等比數(shù)列，則bn42n12n1,所以an2n13.②fn為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為an1panrns例6．設(shè)數(shù)列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

解：設(shè)bnanAnB，則anbnAnB，將an,an1代入遞推式，得

bnAnB3bn1A(n1)B2n13bn1(3A2)n(3B3A1)

A3A2B3B3A1A1B1取bnann1…（１）則bn3bn1,又b16，故bn63n123n代入（１）得

an23nn1

備注：本題也可由an3an12n1,an13an22(n1)1（n3）兩式相減得

anan13(an1an2)2轉(zhuǎn)化為bnpbn1q求之.

③f(n)為n的二次式，則可設(shè)bnanAn2BnC;類(lèi)型4

遞推公式為an1panqn（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）。（或an1panrqn,其中p，q,r均為常數(shù)）

解法：該類(lèi)型較類(lèi)型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得：引入輔助數(shù)列bn（其中bnan1pan1nn1qqqqanp1bb），得：再應(yīng)用類(lèi)型3的方法解決。n1nqqqn例7.已知數(shù)列an中，a1解：在an1511,an1an()n1，求an。632112an()n1兩邊乘以2n1得：2n1an1(2nan)132322bn1,應(yīng)用例7解法得：bn32()n33令bn2nan，則bn1所以an類(lèi)型5

bn1n1n3()2()n232遞推公式為an2pan1qan（其中p，q均為常數(shù)）。

解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1san)其中s，t滿(mǎn)足法求解。

例8.已知數(shù)列an中，a11,a22,an2解：由an2stp，再應(yīng)用前面類(lèi)型3的方

stq21an1an，求an。3321an1an可轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1san)33即an221sts1s3(st)an1stan31或tst13t131s1s這里不妨選用3，大家可以試一試），則1（當(dāng)然也可選用t3t111an2an1(an1an)an1an是以首項(xiàng)為a2a11，公比為的等比數(shù)列,所以

331an1an()n1,應(yīng)用類(lèi)型1的方法，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

311()n11113ana1()0()1()n2

133313又a11，所以an731n1()。4

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數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

一、定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類(lèi)型的題目．

例1．等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5a52．求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d0)

∵a1,a3,a9成等比數(shù)列，∴a32a1a9，即(a12d)2a1(a18d)d2a1d∵d0，∴a1d………………………………①∵S5a52∴5a1由①②得：a135542d(a14d)…………②

3535352，d35∴an(n1)n】

點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫(xiě)出通項(xiàng)。

二、公式法

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式anS1n1SnSn1n2求解。

例2．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2an(1)n,n1．求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由a1S12a11a11

aSnSn12(anan1)2(1),當(dāng)n2時(shí)，有nan2an12(1)n1n,

,an12an22(1)an2n1n2……，a22a12.

2n1a12nn1(1)2n1n2(1)2(1)n2

2223n1(1)[(2)(1)n2n(2)n1(2)]n12[1(2)3n1][2(1)].

23[2n2經(jīng)驗(yàn)證a11也滿(mǎn)足上式，所以an(1)n1]

Snn1a點(diǎn)評(píng)：利用公式n求解時(shí)，要注意對(duì)n分類(lèi)討論，但若能合寫(xiě)時(shí)一定要合并．

SSn2n1n三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法

對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通�？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。

類(lèi)型1遞推公式為an1anf(n)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1解：由條件知：an1an12，an1an1n(n1)1nn2，求an。

1n11nn21n

分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)(112)(1213)(1314)(1n11n)

所以ana11類(lèi)型2

1na112，an1211n321n

（1）遞推公式為an1f(n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

an1an23f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例4.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1解：由條件知

a2a1a3a2a4a323，an1nn1an，求an。

an1annn1anan1，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累乘之，即

122334n1nana11n

又a1，an23n

注：由an1f(n)an和a1確定的遞推數(shù)列an的通項(xiàng)還可以如下求得：

所以anf(n1)an1，an1f(n2)an2，，a2f(1)a1依次向前代入，得

anf(n1)f(n2)f(1)a1，

類(lèi)型3

遞推式：an1panfn解法：只需構(gòu)造數(shù)列bn，消去fn帶來(lái)的差異．其中fn有多種不同形式

①fn為常數(shù)，即遞推公式為an1panq（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)0)）。解法：轉(zhuǎn)化為：an1tp(ant)，其中tq1p，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

例5.已知數(shù)列an中，a11，an12an3，求an.

解：設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)即an12antt3.故遞推公式為

an132(an3),令bnan3，則b1a134,且

bn1bnan13an32.所以bn是以b14為首項(xiàng)，2為

公比的等比數(shù)列，則bn42n12n1,所以an2n13.②fn為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為an1panrns例6．設(shè)數(shù)列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

解：設(shè)bnanAnB，則anbnAnB，將an,an1代入遞推式，得

bnAnB3bn1A(n1)B2n13bn1(3A2)n(3B3A1)

A1A3A2B1B3B3A1取bnann1…（１）則bn3bn1,又b16，故bn63an23n1

nn123代入（１）得

n備注：本題也可由an3an12n1,an13an22(n1)1（n3）兩式相減得

anan13(an1an2)2轉(zhuǎn)化為bnpbn1q求之.

③f(n)為n的二次式，則可設(shè)bnanAn2BnC;類(lèi)型4

遞推公式為an1panqn（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)）。（或an1panrqn,其中p，q,r均為常數(shù)）

解法：該類(lèi)型較類(lèi)型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得：引入輔助數(shù)列bn（其中bn例7.已知數(shù)列an中，a1解：在an1156an1qn1pqanqn1q

anqn），得：bn11pqbn1q再應(yīng)用類(lèi)型3的方法解決。

,an11n1an()，求an。321n12nn1n1an()兩邊乘以2得：2an1(2an)13令bn2nan，則bn1所以an類(lèi)型5

bn2n2nbn1,應(yīng)用例7解法得：bn32()3321n1n3()2()

23遞推公式為an2pan1qan（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1法求解。

例8.已知數(shù)列an中，a11,a22,an2解：由an2231323an113an，求an。

stp，再應(yīng)用前面類(lèi)型3的方san)其中s，t滿(mǎn)足stqan1an可轉(zhuǎn)化為an2san1t(an1san)

即an2(st)an121sts1s3stan31或tt1st1331s1s這里不妨選用3，大家可以試一試），則1（當(dāng)然也可選用tt13an2an113(an1an)an1an是以首項(xiàng)為a2a11，公比為13的等比數(shù)列,所以

1n1an1an(),應(yīng)用類(lèi)型1的方法，分別令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之，即

31n11()10111n23ana1()()()133313又a11，所以an7431n1()。

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