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高數(shù)定理 高等數(shù)學(xué) 大一

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高數(shù)定理 高等數(shù)學(xué) 大一

第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性

在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1為下界;如果有f(x)≤K2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。2、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性(指最小正周期)3、數(shù)列的極限

定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂,那么數(shù)列{xn}一定有界。如果數(shù)列{xn}無界,那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界,卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂,例如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a。

●如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的,如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1,{xnk}收斂于-1,{xn}卻是發(fā)散的;同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

4、函數(shù)的極限

函數(shù)極限的定義中00(或A0(或f(x)>0),反之也成立。●函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等則limf(x)不存在。

●一般的說,如果lim(x→∞)f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞,則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

5、極限運(yùn)算法則

定理有限個無窮小之和也是無窮。挥薪绾瘮(shù)與無窮小的乘積是無窮;常數(shù)與無窮小的乘積是無窮;有限個無窮小的乘積也是無窮小;

定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b。6、極限存在準(zhǔn)則

●兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1!駣A逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立!駟握{(diào)有界數(shù)列必有極限。

7、函數(shù)的連續(xù)性

●設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限存在,且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)!癫贿B續(xù)情形:1、在點(diǎn)x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

●如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn),但左極限及右極限都存在,則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn),不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

●定理有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)!穸ɡ砣绻瘮(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

●定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn),那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

●定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m≤f(x)≤M!穸ɡ恚泓c(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號,因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。

6、函數(shù)的極值

●如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的一個點(diǎn),如果存在著點(diǎn)x0的一個去心鄰域,對于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x,f(x)f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。

●在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數(shù)不一定取得極值,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)),但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。

●定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零,即f’(x0)=0。

●定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導(dǎo),且f’(x0)=0,那么:

(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為正;當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為負(fù),那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;

(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為正,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;

(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時,f’(x)恒為正或恒為負(fù),那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。

●定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么:

(1)當(dāng)f’’(x0)0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;●駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn),不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。7、函數(shù)的凹凸性及其判定

設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù),如果對任意兩點(diǎn)x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<

[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

●定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)>0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u。2、對于初等函數(shù)來說,在其定義區(qū)間上,它的原函數(shù)一定存在,但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

第五章定積分

1、定積分解決的典型問題

(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動的路程2、函數(shù)可積的充分條件

●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,即連續(xù)=>可積!穸ɡ碓O(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點(diǎn),則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。3、定積分的若干重要性質(zhì)

●性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值,則

m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

●性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點(diǎn)ξ,使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。4、關(guān)于廣義積分

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a

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第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界,K1為下界;如果有f(x)≤K2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂,那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無界,那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界,卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂,例如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的,如數(shù)列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1,{xnk}收斂于-1,{xn}卻是發(fā)散的;同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中00(或A0(或f(x)>0),反之也成立。

函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等則limf(x)不存在。

一般的說,如果lim(x→∞)f(x)=c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞,則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運(yùn)算法則定理有限個無窮小之和也是無窮。挥薪绾瘮(shù)與無窮小的乘積是無窮;常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;有限個無窮小的乘積也是無窮。欢ɡ砣绻鸉1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.

5、極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限存在,且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。不連續(xù)情形:1、在點(diǎn)x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn),但左極限及右極限都存在,則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn),不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

定理有限個在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn),那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo);函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F"(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零,那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f"(ξ)/F"(ξ)成立。

4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么:(1)如果在(a,b)內(nèi)f"(x)>0,那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f"’(x)在做函數(shù)圖形的時候,如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。第四章不定積分

1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對任一x∈I都有F"(x)=f(x);簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u.

2、對于初等函數(shù)來說,在其定義區(qū)間上,它的原函數(shù)一定存在,但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。第五章定積分

1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動的路程

2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,即連續(xù)=>可積。

定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點(diǎn),則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值,則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點(diǎn)ξ,使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)都無限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,y0)時,即使函數(shù)無限接近某一確定值,我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來,如果當(dāng)P(x,y)以不同方式趨于P0(x0,y0)時,函數(shù)趨于不同的值,那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù):f(x,y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,P0(x0,y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D,如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)。

性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上一定有最大值和最小值。性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù),則它在該點(diǎn)必定連續(xù),但對于多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時,函數(shù)值f(P)趨于f(P0),但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時,函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件,但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件,即可微=>可偏導(dǎo)。

5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x,y)連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值,則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。

定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:(1)AC-B2>0時具有極值,且當(dāng)A0時有極小值;(2)AC-B2注意:在考慮函數(shù)的極值問題時,除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。

第八章二重積分

1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫√[1+f2x(x,y)+f2y(x,y)]dσ)平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=1/A∫∫xdσ,y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量(Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ;其中ρ(x,y)為在點(diǎn)(x,y)處的密度。

平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力(FxFyFz)

2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時,極限存在,故函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分必定存在。

3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上,f(x,y)≤ψ(x,y),則有不等式∫∫f(x,y)dxdy≤∫∫ψ(x,y)dxdy,特殊地由于-|f(x,y)|≤f(x,y)≤|f(x,y)|又有不等式|∫∫f(x,y)dxdy|≤∫∫|f(x,y)|dxdy.性質(zhì)設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,σ是D的面積,則有mσ≤∫∫f(x,y)dσ≤Mσ。

性質(zhì)(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),σ是D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ,η)使得下式成立:∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)*σ4、二重積分中標(biāo)量在直角與極坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換把二重積分從直角坐標(biāo)系換為極坐標(biāo)系,只要把被積函數(shù)中的x,y分別換成ycosθ、rsinθ,并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxd

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