大一高等數(shù)學(xué)小公式來(lái)匯總

高等數(shù)學(xué)公式

導(dǎo)數(shù)公式：

(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna基本積分表：

(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2nx2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22三角函數(shù)的有理式積分：

2u1u2x2dusinx，　cosx，　utg，　dx

21u21u21u一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：

exex雙曲正弦:shx2exex雙曲余弦:chx2shxexex雙曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x

三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：

函數(shù)角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+αsinlimsinx1x0x1lim(1)xe2.718281828459045...xxcostg-tgαctgαctg-ctgαtgα-ctgαctgαtgα-ctgαctgα-sinαcosαcosαcosαsinαsinα-sinα-ctgα-tgα-cosα-tgα-sinα-cosαtgα-cosα-sinαctgα-cosαsinα-sinαcosαsinαcosα-tgαtgα-ctgα-tgα

和差角公式：和差化積公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg()1tgtgctgctg1ctg()ctgctg

sinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cos倍角公式：

sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2

半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg

21cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cosabc2R余弦定理：c2a2b22abcosCsinAsinBsinC2正弦定理：

反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：

當(dāng)F(x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線(xiàn)斜率的傾角變化量；s：MM弧長(zhǎng)。sydM點(diǎn)的曲率：Klim.

23s0sds(1y)直線(xiàn)：K0;1半徑為a的圓：K.a定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功：WFs水壓力：FpAmm引力：Fk122,k為引力系數(shù)

rb1函數(shù)的平均值：yf(x)dxbaa1均方根：f2(t)dtbaa

bm(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n!2n1x3x5xsinxx(1)n1　　　(x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx微分方程的相關(guān)概念：

一階微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C稱(chēng)為隱式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即寫(xiě)成的函數(shù)，解法：dxxydydududxduy設(shè)u，則ux，u(u)，分離變量，積分后將代替u，xdxdxdxx(u)ux齊次方程：一階微分方程可以寫(xiě)成即得齊次方程通解。一階線(xiàn)性微分方程：dy1、一階線(xiàn)性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx當(dāng)Q(x)0時(shí),為齊次方程，yCeP(x)dxP(x)dx當(dāng)Q(x)0時(shí)，為非齊次方程，y(Q(x)edxC)e

dy2、貝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C應(yīng)該是該全微分方程的通解。二階微分方程：

f(x)0時(shí)為齊次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)，2dxdxf(x)0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫(xiě)出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y,y,y的系數(shù)；2、求出()式的兩個(gè)根r1,r23、根據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫(xiě)出(*)式的通解：r1，r2的形式兩個(gè)不相等實(shí)根(p4q0)兩個(gè)相等實(shí)根(p24q0)一對(duì)共軛復(fù)根(p24q0)2(*)式的通解yc1er1xc2er2xy(c1c2x)er1xyex(c1cosxc2sinx)r1i，r2i4qp2p，22二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程ypyqyf(x)，p,q為常數(shù)f(x)exPm(x)型，為常數(shù)；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

(1)(a^x)(n)a^x(lna)^n(a0)(2)sin(kx)(n)k^nsin(kxn*/2)(3)cos(kx)(n)k^ncos(kxn*/2)(4)(x^m)(n)m(m1)....(mn1)x^(mn)(5)(lnx)(n)(1)^(n1)[(n1)!/(x^n)](6)萊布尼茲公式：(uv)(n)c(i,n)u(i)v(ni)i0n

曲率半徑1/k

中值定理。

1。洛爾定理

設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足在[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且f(a)f(b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f"()02。拉格浪日定理

f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)使

f(b)f(a)f"()(ba)3．柯西中值定理

f(x),g(x)滿(mǎn)足在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且g(x)0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)，使[f(b)f(a)]/[g(b)g(a)]f"()/g"()

4．臺(tái)勞公式

f(x)f(0)f"(0)x1/2!f""(0)x^2....1/n!f^(n)(0)x^nRn(x)5.五種常見(jiàn)函數(shù)的臺(tái)勞展開(kāi)

(1)e^x1x1/2!x^2.....1/n!x^n1/(n1)!x^(n1)e^（2）sinxx1/3!x^3...1/n!(x^n)sin(n/2)o(x^n)（3）cosx11/2!x^2....1/n!(x^n)cos(n/2)o(x^n)(4)

ln(1x)x1/2*x^21/3*x^3....(1)^(n1)1/n(x^n)o(x^n)

(5)

(1x)^m1mxm*(m1)/2!(x^2)...m(m1)...(mn1)/n!(x^n)o(x^n)

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高等數(shù)學(xué)公式

導(dǎo)數(shù)公式：

2(tgx)secx(arcsinx)(arccosx)(arctgx)11x11x22(ctgx)cscx11x22(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(a)alna(logaxxx)1xlna(arcctgx)11x2基本積分表：

三角函數(shù)的有理式積分：

tgxdxctgxdxsecaxalncosxClnsinxCcossindx2xxseccsc2xdxtgxCxdxctgxCdx22xdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx2secxtgxdxcscxctgxdxaxsecxCcscxCCxdxadxxdx221a1arctglnlnxaCCCxaxaaxaxxadxaxlna222a12ashxdxchxdx2chxCshxCln(xxa)C2222ax2arcsinCdxxa222Insin02nxdxcos0nxdx2n1naaa2In2xa)CxaxaC2222sinx2u1uxadxxadxaxdx22222x2x2x2xaxaax2222222ln(xlnxarcsin22C2，　cosx2x2du，　utg，　dx22

21u1u1/12

1u

一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：

ee2ee2shxchx2xxxx雙曲正弦:shx雙曲余弦:chx雙曲正切:thxarshxln(xarchxln(xarthx12ln1x1xlimsinxx1xx01)e2.7182818284x

59045...lim(1xeeeexxxx

x1）x1)2三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：

函數(shù)角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+αsincostg-tgαctgαctg-ctgαtgα-ctgαctgαtgα-ctgαctgα-sinαcosαcosαcosαsinαsinα-sinα-ctgα-tgα-cosα-tgα-sinα-cosαtgα-cosα-sinαctgα-cosαsinα-sinαcosαsinαcosα-tgαtgα-ctgα-tgα

和差角公式：和差化積公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctgctg1ctgctgsinsin2sinsinsin2cos2cossin222coscos2coscoscos2sin2cossin2ctg()22

2/12

倍角公式：sin22sincoscos22cos112sincossinctg2tg2ctg12ctg2tg1tg222222sin33sin4sincos34cos3costg33tgtg13tg2333

半角公式：

sintg21cos21cos1cosasinA　　　　　　　　　　1cossinbsinB　　cos　　ctg21cos21cos1cos22

1cossin22csin1cos2sin1cos正弦定理：

sinC2R余弦定理：cab2abcosC

反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：

n(uv)u(n)Ck0knu(nk)v(k)(n)vnu(n1)vn(n1)2!u(n2)vn(n1)(nk1)k!

u(nk)v(k)uv(n)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f()F()拉格朗日中值定理。f(b)f(a)F(b)F(a)

當(dāng)F(x)x時(shí)，柯西中值定理就是曲率：

弧微分公式：平均曲率：Kdss1ydx,其中ytg.:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線(xiàn)斜率的傾角變sddsy(1y)232化量；s：MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率：直線(xiàn)：K0;Klims0.

半徑為a的圓：K

1a.3/

定積分的近似計(jì)算：

b矩形法：f(x)abban(y0y1yn1)梯形法：f(x)abba1[(y0yn)y1yn1]n2ba3n[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]

拋物線(xiàn)法：f(x)a定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功：WFs水壓力：FpA引力：Fkm1m2r2,k為引力系數(shù)

函數(shù)的平均值：y1babbaa1bf(x)dx均方根：af(t)dt2空間解析幾何和向量代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：向量在軸上的投影：dM1M2(x2x1)(y2y1)(z2z1)222PrjuABABcos,是AB與u軸的夾角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一個(gè)數(shù)量?jī)上蛄恐�間的夾角：cosk,axbxaybyazbzaxayazbxbybz222222icabaxbxjaybyaz,cabsin.例：線(xiàn)速度：bzaybycyazbzczvwr.ax向量的混合積：[abc](ab)cbxcx代表平行六面體的體積。abccos,為銳角時(shí)，

4/12

平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)AxByCzD0xaybzc1dAx0By0Cz0DABC空間直線(xiàn)的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：xx0mtxx0yy0zz0t,其中s{m,n,p};參數(shù)方程：yy0ntmnpzzpt02222二次曲面：1、橢球面：2、拋物面：3、雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面：雙葉雙曲面：xaxa2222xa222yb2zc1xy2p2qz（,p,q同號(hào)）ybyb2222zczc22221（馬鞍面）1

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dzzxdxzydy　　　duuxdxuydyuzdz全微分的近似計(jì)算：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法zdzfx(x,y)xfy(x,y)y：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx當(dāng)uu(x,y)，vv(x,y)時(shí)，duuxdxuydy　　　dvvxdxvydy　隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：FFFdydydy隱函數(shù)F(x,y)0，　　x，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隱函數(shù)F(x,y,z)0，　，　　xFzyFz5/12

FF(x,y,u,v)0(F,G)隱函數(shù)方程組：　　　JuG(u,v)G(x,y,u,v)0uuxuy1(F,G)v1(F,G)　　　　J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G)　　　　J(y,v)yJ(u,y)FvFuGGuvFvGv

微分法在幾何上的應(yīng)用：

x(t)xx0yy0zz0空間曲線(xiàn)y(t)在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切線(xiàn)方程：(t0)(t0)(t0)z(t)在點(diǎn)M處的法平面方程：若空間曲線(xiàn)方程為：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0,GzGzFzFz,GxGxFxFxFyGyFyF(x,y,z)0,則切向量T{GyG(x,y,z)0}曲面F(x,y,z)0上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)，則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程3、過(guò)此點(diǎn)的法線(xiàn)方程：：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0Fx(x0,y0,z0)yy0Fy(x0,y0,z0)zz0Fz(x0,y0,z0)方向?qū)��?shù)與梯度：

函數(shù)zf(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù)zf(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)它與方向?qū)��?shù)的關(guān)系是單位向量。l多元函數(shù)的極值及其求法：f是gradf(x,y)在l上的投影。ffijxyl的方向?qū)��?shù)為：flfxcosfysinf：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，為l方向上的l

設(shè)fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)為極大值2ACB0時(shí)，A0,(x0,y0)為極小值2則：值A(chǔ)CB0時(shí)，　　　　　　無(wú)極ACB20時(shí),　　　　　　　不確定

6/12

重積分及其應(yīng)用：

Df(x,y)dxdyDf(rcos,rsin)rdrdzz1dxdyxy22曲面zf(x,y)的面積ADx平面薄片的重心：xMMx(x,y)dD(x,y)dD,　　yMMyDDy(x,y)d(x,y)dD

x(x,y)d2平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：平面薄片（位于Fxf對(duì)于x軸IxDy(x,y)d,　　對(duì)于y軸Iy2xoy平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：，　　Fyf3D(x,y)xd222D(x,y)yd222，　　Fzfa3D(x,y)xd3(xya)2(xya)2(xya)2222柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

xrcos柱面坐標(biāo)：yrsin,　　　f(x,y,z)dxdydzzz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐標(biāo)：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2F(r,,z)rdrddz,

r(,)f(x,y,z)dxdydz1MF(r,,)rsindrdd1M2dd00F(r,,)rsindr02重心：x轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：xdv,　　yydv,　　z1M2zdv，　　其中Mx22dvIx(yz)dv，　　Iy22(xz)dv，　　Iz2(xy)dv曲線(xiàn)積分：

第一類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分）：x(t)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,　　(t),則：y(t)Lf(x,y)dsxt22f[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情況：y(t)7/12

第二類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)坐設(shè)L的參數(shù)方程為標(biāo)的曲線(xiàn)積分）：x(t)，則：y(t)P(x,y)dxLQ(x,y)dy{P[(t),L(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)L上積分起止點(diǎn)處切向量格林公式：系：PdxQdy的方向角。)dxdy(PcosLQcos)ds，其中和分別為(DQxPyPdxLQdy格林公式：(DQxPy)dxdy12PdxLQdyQP當(dāng)Py,Qx，即：2時(shí)，得到xy平面上曲線(xiàn)積分與路徑1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；無(wú)關(guān)的條件：D的面積：ADdxdyxdyLydx2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，二元函數(shù)的全微分求積在Qx＝Py注意方向相反�。�，且Qx＝Py。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng)

u(x,y)的全微分，其中：時(shí)，PdxQdy才是二元函數(shù)(x,y)u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy，通常設(shè)x0y00。曲面積分：

對(duì)面積的曲面積分：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：f(x,y,z)dsDxyf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxyQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：號(hào)；R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正Dyz

號(hào)；號(hào)。QcosRcos)dsP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正Dzx兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：PdydzQdzdxRdxdy(Pcos高斯公式：

(PxQyRz)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式的物理意義通量與散度：div0,則為消失...PQR散度：div,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可寫(xiě)成：divAdvAnds8/12

斯托克斯公式曲線(xiàn)積分與曲面積分的關(guān)系：

(RyQz)dydz(PzRx)dzdx(dzdxyQQxPy)dxdycosxPPdxQdyRdzcoszR上式左端又可寫(xiě)成：dydzxPdxdyzRRycosyQ空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)ixPjyQ關(guān)的條件：kzRQPRQP，　，　zzxxy

旋度：rotA向量場(chǎng)A沿有向閉曲線(xiàn)的環(huán)流量：PdxQdyRdzAtds常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：

等比數(shù)列：1qq2qn11qn1q等差數(shù)列：123n調(diào)和級(jí)數(shù)：112131n(n1)n2

是發(fā)散的級(jí)數(shù)審斂法：

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：設(shè)：limnn1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂un，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1時(shí)，不確定1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1時(shí)，不確定散。2、比值審斂法：Un1Un

設(shè)：limn3、定義法：snu1u2un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的審斂法如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足unun1，那么級(jí)數(shù)收斂且其和limu0nn萊布尼茲定理：

su1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnun1。絕對(duì)收斂與條件收斂：

9/12

(1)u1u2un，其中un為任意實(shí)數(shù)；(2)u1u2u3un如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱(chēng)為絕對(duì)如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(chēng)調(diào)和級(jí)數(shù)：　　級(jí)數(shù)：1nn發(fā)散，而收斂；ｐ１時(shí)發(fā)散　　p1時(shí)收斂收斂級(jí)數(shù)；(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。n

(1)n收斂；12　　p級(jí)數(shù)：1np冪級(jí)數(shù)：

23n1xxxx　　x1時(shí)，收斂于x1時(shí)，發(fā)散11x對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0a1x　a2xanx，如果它不是僅在原點(diǎn)xR時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使2n收斂，也不是在全xR時(shí)發(fā)散，其中R稱(chēng)為收斂半徑。xR時(shí)不定

0時(shí)，R求收斂半徑的方法：設(shè)liman1an，其中an，an1是(3)的系數(shù)，則1n0時(shí)，R時(shí)，R0函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：

函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：余項(xiàng)：Rnf(n1)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n1f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)n()(n1)!,f(x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的f(0)2!2充要條件是：limRn0n

x00時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)f(0)f(0)xxf(n)(0)n!xn一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：

(1x)m1mxx3m(m1)2!x2xm(m1)(mn1)n!xn　　　(1x1)

sinxx3!x52n15!(1)n1(2n1)!　　　(x)歐拉公式：

ixixeecosx2cosxisinx　　　或ixixsinxee2eix

三角級(jí)數(shù)：

10/12

f(t)A0n1Ansin(ntn)a02(an1ncosnxbnsinnx)其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積上的積分＝0。在[,]

傅立葉級(jí)數(shù)：

f(x)a02(an1ncosnxbnsinnx)，周期21an其中1bn1　122f(x)cosnxdx　　　(n0,1,2)f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)1321421521622811222133214422

6（相加）224121212122（相減）12正弦級(jí)數(shù)：an0，bn20f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)ba02nsinnx是奇函數(shù)余弦級(jí)數(shù)：bn0，an0f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)ancosnx是偶函數(shù)周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：

f(x)a02(an1ncosnxlbnsinnxl)，周期2ll1nxdx　　　(n0,1,2)anf(x)coslll其中l(wèi)1nxbnf(x)sindx　　　(n1,2,3)lll

微分方程的相關(guān)概念：

一階微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0：一階微分方程可以化為g(y)dyf(x)dx的形式，解法：可分離變量的微分方程g(y)dyyxf(x)dx　　得：G(y)F(x)C稱(chēng)為隱式通解。程可以寫(xiě)成dudx，ududxdydxf(x,y)(x,y)，即寫(xiě)成dxxduyx的函數(shù)，解法：yx

齊次方程：一階微分方設(shè)u，則dydxux(u)，(u)u分離變量，積分后將代替u，即得齊次方程通解。一階線(xiàn)性微分方程：

1、一階線(xiàn)性微分方程：dydxP(x)yQ(x)P(x)dxyCe當(dāng)Q(x)0時(shí),為齊次方程，

P(x)dxP(x)dxdxC)e當(dāng)Q(x)0時(shí)，為非齊次方程，2、貝努力方程：dydxy(Q(x)enP(x)yQ(x)y，(n0,1)11/12

全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函數(shù)的全微du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：u(x,y)C應(yīng)該是該全微分方程的u分方程，即：uP(x,y)，Q(x,y)xy

通解。二階微分方程：dydx22P(x)dydxQ(x)yf(x)，f(x)0時(shí)為齊次f(x)0時(shí)為非齊次

二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫(xiě)出特征方程：()r2、求出()式的兩個(gè)根2prq0，其中r，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是r1,r22(*)式中y,y,y的系數(shù)；3、根據(jù)r1,r2的不同情況，按下表寫(xiě)r1，r2的形式出(*)式的通解：

(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p24q0)兩個(gè)相等實(shí)根(p24q0)一對(duì)共軛復(fù)根(p24q0)r1i，r2iyc1er1xc2er2xy(c1c2x)eyexr1x(c1cosxc2sinx)p2，4qp22二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程ypyqyf(x)，p,q為常數(shù)f(x)ePm(x)型，為常數(shù)；f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型xx

12/12

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