初中三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
銳角三角函數(shù)
1、勾股定理:直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。a2b2c22、如下圖,在Rt△ABC中,∠C為直角,則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B):
定義表達(dá)式取值范圍0sinA1關(guān)系(A+B=90)sinAcosBcosAsinBA的對(duì)邊正sinA斜邊弦A的鄰邊余cosA弦斜邊A的對(duì)邊正tanA切A的鄰邊A的鄰邊余cotAA的對(duì)邊切(∠A為銳角)0cosA1(∠A為銳角)tanA0sin2Acos2A1tanAcotBcotAtanBtanA1cotA(∠A為銳角)cotA0(倒數(shù))(∠A為銳角)tanAcotA13、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。
BsinAcosB由AB90得B90AcosAsinBsinAcos(90A)cosAsin(90A)A斜邊cb對(duì)a邊C
鄰邊
4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值;任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
tanAcotBcotAtanB由AB90得B90AtanAcot(90A)cotAtan(90A)5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)
三角函數(shù)sin0°-30°45°60°90°-costancot6、正弦、余弦的增減性:
當(dāng)0°≤≤90°時(shí),sin隨的增大而增大,cos隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性:
當(dāng)0°
1、解直角三角形的定義:已知邊和角(兩個(gè),其中必有一邊)→所有未知的邊和角。
依據(jù):①邊的關(guān)系:a2b2c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義。(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)
2、應(yīng)用舉例:
(1)仰角:視線在水平線上方的角;俯角:視線在水平線下方的角。
鉛垂線仰角俯角視線水平線hih:lα視線
lhl(2)坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即i形式,如i1:5等。
把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角),那么ihltan。
。坡度一般寫成1:m的
3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角,叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC、OD的方向角分別是:45°、135°、225°。
4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是:北偏東30°(東北方向),南偏東45°(東南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。
5、已知一個(gè)三角函數(shù)值,求其他三角函數(shù)值。例:sinA25,則cosA,tanA,cotA
6、三角形面積公式:
s12ah12abcosC(C為a,b邊的夾角)
另附習(xí)題:
1、計(jì)算
(1)
22sin45°+sin60°-2cos45°;(2)(1+2)0-|1-sin30°|1+(
115412)-1;
(3)sin60°+
11tan60-30
;(4)2-(201*+π)-cos60°-.22、(1)計(jì)算:tan1°tan2°tan3°…tan88°tan89°(2)已知sinα+cosα=值
,求sinαcosα的
(3)α為銳角,若sinα
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初三下學(xué)期銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題
1、勾股定理:直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。a2b2c22、如下圖,在Rt△ABC中,∠C為直角,則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B):定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系A(chǔ)的對(duì)邊正0sinA1asinAsinAc斜邊弦(∠A為銳角)A的鄰邊余0cosA1bcosAcosAc(∠A為銳角)斜邊弦A的對(duì)邊tanA0正atanAtanAb(∠A為銳角)A的鄰邊切sinAcosBcosAsinBsin2Acos2A1B3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinAcosBcosAsinB
由AB90得B90AsinAcos(90A)cosAsin(90A)A斜邊c對(duì)a邊Cb鄰邊
5、30°、45°、60°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)sin30°1245°222260°3212costan3233136、正弦、余弦的增減性:當(dāng)0°≤≤90°時(shí),sin隨的增大而增大,cos隨的增大而減小。7、正切、的增減性:
當(dāng)0°
鉛垂線仰角俯角視線水平線h
ih:llα視線
h。坡度一般寫成1:ml(2)坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即i的形式,如i1:5等。
htan。l3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角,叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC、OD的方向角分別是:45°、135°、225°。
4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是:北偏東30°(東北方向),南偏東45°(東南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。
把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角),那么i
3例1:已知在Rt△ABC中,C90°,sinA,則tanB的值為()
54453A.B.C.D.
3544
ab,tanBca3b4x4和a2b2c2;由s如果設(shè)a3x,則c5x,結(jié)合a2b2c2得b4x;∴tanBniA知,,
5a3x3【解析】本題考查三角函數(shù)的定義和勾股定理,在RTΔABC中,∠C=90°,則sinA所以選A.
例2:4cos30sin60(2)1(201*201*)0=______.
【解析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值.零指數(shù)冪.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的有關(guān)運(yùn)算,
4cos30sin60(2)1(201*201*)0=4331331,故填.22222
1.某人想沿著梯子爬上高4米的房頂,梯子的傾斜角(梯子與地面的夾角)不能大于60°,否則就有危險(xiǎn),那么梯子的長(zhǎng)至少為(C)
A.8米
-2-2
B.83米C.
83米3D.
43米
2.一架5米長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上,測(cè)得它與地面的夾角是40°,則梯子底端到墻的距離為(B)
55A.5sin40°B.5cos40°C.D.
tan40°cos40°3.如圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖.其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線,∠ABC=150°,BC的長(zhǎng)是8m,則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是(B)A.83mB.4m31AB
BChD
C.43mD.8m
4.河堤橫斷面如圖所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比是1:3(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),則AC的長(zhǎng)是(A)
A.53米B.10米C.15米D.103米
CA5.如圖,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠EDC∶∠EDA=1∶3,且AC=10,則DE的長(zhǎng)度是(D)A.3B.5C.52D.
252
6.如圖所示,小明在家里樓頂上的點(diǎn)A處,測(cè)量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高,在點(diǎn)A處看電梯樓頂部點(diǎn)B處的仰角為60°,在點(diǎn)A處看這棟電梯樓底部點(diǎn)C處的俯角為45°,兩棟樓之間的距離為30m,則電梯樓的高BC為82.0米(精確到0.1).(參考數(shù)據(jù):2≈1.4143≈1.732)
7.如圖,熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球A看一棟大樓頂部B的俯角為30°,看這棟大樓底部C的俯角為60°,熱氣球A的高度為240米,求這棟大樓的高度.
解:過點(diǎn)A作直線BC的垂線,垂足為點(diǎn)D.
則CDA90°,CAD60°,BAD30°,CD=240米.
ACD在Rt△ACD中,tanCAD,B
AD-3-3
ADCD240803.
tan60°3
在Rt△ABD中,tanBADBDADtan30°803BD,AD380.3BCCDBD24080=160.答:這棟大樓的高為160米.
8.如圖所示,城關(guān)幼兒園為加強(qiáng)安全管理,決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°降為30°,已知原滑滑板AB的長(zhǎng)為4米,點(diǎn)D、B、C在同一水平面上.
(1)改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少米?
(2)若滑滑板的正前方能有3米長(zhǎng)的空地就能保證安全,原滑滑板的前方有6米長(zhǎng)的空地,像這樣改造是否可行?請(qǐng)說明理由.
(參考數(shù)據(jù):21.141,31.732,62.449,以上結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位.)
解:(1)在Rt△ABC中,∠ABC=45°
∴AC=BC=ABsin45°=42222在Rt△ADC中,∠ADC=30°AC1∴AD=2242o2sin30∴AD-AB=4241.66∴改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)約1.66米.(2)這樣改造能行,理由如下:∵CDAC322264.989
3tan30o∴BDCDBC26222.07∴6-2.07≈3.93>3
∴這樣改造能行.
3169.求值|32|201*3tan30°1.解:原式=2313333
0112sin60°3tan30°(1)201*3010.計(jì)算:2.原式=2-4-4
33311=0.
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