高考三角函數(shù)公式全面總結(jié)與典型題目應(yīng)用

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一、基本公式：

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sintan

coscoscotsin

cos1cot1cscsin1sectan222222sincos1sectan1csccot1

2、誘導(dǎo)公式：把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

2

4、三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三

sinxsin(2kx)sinxsinx()sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)coxscosx22x=cosxsecx=11+tanx=secxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)cotx角與角之間的互換

公式組一公式組二cos()coscossinsinsin22sincoscos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2tan2sin()sincoscossinsin()sincoscossinsin

2tan1ta2n1cos2

2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()公式組三公式組四公式組五2tansin21tan21tan2cos1tan22221sinsin2

1cossinsinsin21coscoscoscos2cossinsinsin2221sinsincoscos2coscos2coscossincos221cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin

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2tantan2

coscos2sinsinsin2sin22sincos221tan221tan()cot21sin()cos2sin15cos75624

sin75cos1562tan15cot7523.tan75cot15234

3、圖像的平移對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋)＋k(A＞0,0,≠0,k≠0),．．．．ω．＞．．．．．．．．．．．

(1)振幅變換（縱向伸縮變換）：是由A的變化引起的．A＞1,伸長；A＜1,縮短．(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由ω的變化引起的．ω＞1，縮短；ω＜1,伸長．

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(3)相位變換(橫向平移變換)：是由φ的變化引起的．＞0,左移；＜0，右移．(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移

兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系

sin()=sincoscossin

cos()=coscossinsin

和差化積公式tantantan()1tantan積化和差公式半角公式sin1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2sincos=21cos2，cos21cos2tan2sin1cos1cos=sin1cos1cos升冪公式1+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin2222222cos2)2

22sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22

sincos-cos=-2sin2212

tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot21+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin22sin+sin=2sincossin=2sin降冪公式+cos2cos21cos221cos22cos2sin2sin2+cos2=11sin22sincos=222cos2)2三倍角公式：sin33sin4sin；cos34cos3cos；

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高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

一、基本公式：

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sintan

coscoscotsin

cos1cot1cscsin1sectan

222222sincos1sectan1csccot12、誘導(dǎo)公式：

把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”2

4、三角函數(shù)的公式：

（一）基本關(guān)系

公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos2k(x)coxscosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan2k(x)tanxsinxco2tk(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組一sinx()sinxcos(x)coxs

tan(x)tanxcot(x)coxt

公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)coxs

tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)coxt

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二cos()coscossinsinsin22sincos

cos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2

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sin()sincoscossintan2sin()sincoscossinsin2tan1tan2

21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()

公式組三公式組四公式組五2tansinsin15cos7562421tan21tan2cos1tan22221sinsin2

1cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2sincos1cos()sin21sin()cos22tantan1tan

22sinsin2sinsinsin2cos2cos1tan()cot21cos()sin22tan(1)cot22sin22coscos2cos2cos21sin()cos2coscos2sin6242sin2sin75cos15,

tan15cot7523,.tan75cot1523

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修4

注意：巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，

13）；（8，15，17）；

四、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)

1．周期函數(shù)定義

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定義對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(xT)f(x)都成立，那么就把函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．

請(qǐng)你判斷下列函數(shù)的周期

ysinxycosxy|cosx|ycos|x|y|sinx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|ysin|x|

例求函數(shù)f(x)=3sin(不大于1

注意理解函數(shù)周期這個(gè)概念，要注意不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如常

函數(shù)f(x)＝c（c為常數(shù)）是周期函數(shù)，其周期是異于零的實(shí)數(shù)，但沒有最小正

周期．

kx)(k0)的周期。并求最小的正整數(shù)k,使他的周期53xR，那么函數(shù)f(x)的周期結(jié)論：如函數(shù)f(xk)f(xk)對(duì)于任意的xR，那么函數(shù)f(x)的對(duì)T=2k;如函數(shù)f(xk)f(kx)對(duì)于任意的稱軸是x2．圖像

(xk)(kx)k

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3、圖像的平移

對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋)＋k(A＞0,0,≠0,k≠0),其圖象的基本變換有：．．．．ω．＞．．．．．．．．．．．(1)振幅變換（縱向伸縮變換）：是由A的變化引起的．A＞1,伸長；A＜1,縮短．(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由ω的變化引起的．ω＞1，縮短；ω＜1,伸長．(3)相位變換(橫向平移變換)：是由φ的變化引起的．＞0,左移；＜0，右移．(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移

四、三角函數(shù)公式：

倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan22tan1tan

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兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系和差化積公式積化和差公式sincoscoscossinsin()=sincossinsincos()=costan()tantan1tantan半角公式1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2=sin21cos2，cos21cos2tan21cos1cossin=sin1cos1cos升冪公式1+cos=2cos2222sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22sincos-cos=-2sin2212tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot221+cos=2cossin+sin=2sincos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin22222cos2)2+cos2cossin=2sin降冪公式21cos221cos2cos22sin22sin2+cos2=1121-cos=2sinsin33sin三倍角公式：224sin；cos33sinsincos34cos=3cos2；cos1±sin=(sin五、三角恒等變換：22)2三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角

與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的

差異，使問題獲解，對(duì)角的變形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；3是

3的

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二倍；

3是

6的二倍；

22是

o4的二倍。

30o②1545306045；問：sin；

122oooocos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通�；�切、割為弦，變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例

如常數(shù)“1”的代換變形有：

1sincossectantancotsin90tan45

（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處

理的方法。常用降冪公式有：；。降冪并非絕對(duì)，2222oos常用升冪化為有理式，常用升冪公式有時(shí)需要升冪，如對(duì)無理式1co有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：

1tan1tan___________；_______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；

2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；asinbcos=；

；（其中tan）

1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

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基本規(guī)則是：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理

化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin50o(13tan10o)；tancot；coscos24cos；

99935coscoscos；推廣：

777246coscoscos；推廣：

777

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

班級(jí)姓名

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、利用單位圓探究得到誘導(dǎo)公式五，六，并且概括得到誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)。2、理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來的化歸思想。3、能初步運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值與化簡。教學(xué)重點(diǎn)：

誘導(dǎo)公式的探究，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值與化簡，提高對(duì)單位圓與三角函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)。教學(xué)難點(diǎn)：

誘導(dǎo)公式的靈活應(yīng)用教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)：1．復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式一、二、三、四；

2．對(duì)“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”的理解。

二、新課：

1、如圖,設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y),由于角終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱,角

-α的終邊與角α的2-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于直線y=x對(duì)稱,因此點(diǎn)2P2的坐標(biāo)是(y,x),于是,我們有sinα=y,cosα=x,cos(-α)=y,sin(-α)=x.

22從而得到誘導(dǎo)公式五:

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-α)=sinα,2sin(-α)=cosα.2cos(

2、提出問題

能否用已有公式得出

3、誘導(dǎo)公式六

+α的正弦、余弦與α的正弦、余弦之間的關(guān)系式?2+α)=cosα,2cos(+α)=-sinα.2Sin(4、用語言概括一下公式五、六：

±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原2函數(shù)值的符號(hào).簡記為“:函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.”

作用：利用公式五或公式六,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.5、提出問題

學(xué)了六組誘導(dǎo)公式后,能否進(jìn)一步用語言歸納概括誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)？（奇變偶不變,符號(hào)看象限.）6、示例應(yīng)用

例1將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

（1）sin

331(2)cos10021′(3)sin(4)tan32432′5

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例2、證明(1)sin(

33-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.22變式練習(xí)求cos2(

)cos2()的值。4411sin(2a)cos(a)cos(a)cos(a)22例3化簡.

9cos(a)sin(3a)sin(a)sin(a)2

cos()2sin(2)cos(2)變式練習(xí)化簡1、（1）

5sin()2

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tan(3600)（2）cos()

sin()2

2、已知sinα是方程5x-7x-6=0的根,且α為第三象限角,

2

sin(a求

33)sin(a)tan2(2a)tan(a)22的值.

cos(a)cos(a)22

三、小結(jié)

應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的一般步驟：

1用“”公式化為正角的三角函數(shù)；

2用“2k+”公式化為[0，2]角的三角函數(shù)；3用“±”或“四、作業(yè)：習(xí)題1.3B組第1題

±α”公式化為銳角的三角函數(shù)2五、探究

1、習(xí)題1.3B組第2題

12、已知sin，sin()1,求sin(2)

3

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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一．【課標(biāo)要求】

1．能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；

2．借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在（－π/2，π/2）上的性質(zhì)

（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等）；

3．結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（wx+φ）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y=Asin

（wx+φ）的圖像，觀察參數(shù)A，w，φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.

二．【命題走向】

近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

預(yù)測(cè)201*年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察為：

1．題型為1道選擇題（求值或圖象變換），1道解答題（求值或圖像變換）；

2．熱點(diǎn)問題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是y=Asin（wx+φ）的圖象及其變換；

三．【要點(diǎn)精講】

1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724xy=cosx-4-72-5-321-1o2322523724xyyy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

ysinx的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，

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遞減區(qū)間是2k2，2k3(kZ)；2ycosx的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，

遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)，

ytanx的遞增區(qū)間是k，k(kZ)，

22（其中A0，0）3．函數(shù)yAsin(x)B最大值是AB，最小值是BA，周期是T初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線xk22，頻率是f，相位是x，2(kZ)，凡是該圖象與直線yB的

交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心.

4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn).無論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。

途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)

先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象.

途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。

先將y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南蛴?＜0＝平移

1倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或

||5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式：

個(gè)單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。

給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ωx+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（－0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。．．

6．對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：

，ysinx的對(duì)稱軸為xk2，對(duì)稱中心為(k,0)kZ；

ycosx的對(duì)稱軸為xk，對(duì)稱中心為(k2,0)；

對(duì)于yAsin(x)和yAcos(x)來說，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最

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值點(diǎn)聯(lián)系。

7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù).利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；

8．求三角函數(shù)的周期的常用方法：

經(jīng)過恒等變形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法.

9．五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+）的簡圖：

五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+，由x取0、再描點(diǎn)作圖。

π3π、π、、2π來求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，22四．【典例解析】

題型1：三角函數(shù)的圖象

例1．（201*浙江理）已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)1asinax的圖象不可能是()．．．

解析對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為T求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2．答案：D

2,a1,T2，而D不符合要a例2．（201*遼寧理，8）已知函數(shù)f(x)=Acos(x)的圖象如圖所示，f()22，則3f(0)=（）

A.2211B.C.-D.3322答案C

題型2：三角函數(shù)圖象的變換

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1π例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象.

331π解析：y=sin（2x+）

331π2倍橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的ysin（x）縱坐標(biāo)不變33π圖象向右平移個(gè)單位13ysinx縱坐標(biāo)不變33倍縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的ysinx橫坐標(biāo)不變另法答案：

1ππ1（1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin2x的圖象；

336311（2）再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=sinx的

33圖象；

1（3）再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到

3y=sinx的圖象。

例4．(201*山東卷理)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移所得圖象的函數(shù)解析式是().

個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,4A.ycos2xB.y2cos2xC.y1sin(2x解析將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移

4)D.y2sin2x個(gè)單位,得到函數(shù)ysin2(x)即

44ysin(2x2)cos2x的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為

y1cos2x2cos2x,故選B.

答案:B

【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.

7.(201*山東卷文)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移象的函數(shù)解析式是().

個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得圖422A.y2cosxB.y2sinxC.y1sin(2x4)D.ycos2x解析將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移

個(gè)單位,得到函數(shù)ysin2(x)即

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ysin(2x2)cos2x的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為

y1cos2x2cos2x,故選A.

答案:A

【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.

題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用

例5．已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為IAsin(t)。（１）右圖是IAsin(t)（ω＞0，||2）

在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求IAsin(t)的解析式；

I300（２）如果t在任意一段

1秒的時(shí)間內(nèi)，電流150-1900o1180tIAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正

-300整數(shù)值是多少？

解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．

（１）由圖可知A＝300。設(shè)t1＝－

11，t2＝，900180則周期T＝2（t2－t1）＝2（∴ω＝

111＋）＝。180900752＝150π。T11又當(dāng)t＝時(shí)，I＝0，即sin（150π＋）＝0，

180180而||2，∴＝

。6故所求的解析式為I300sin(150t（２）依題意，周期T≤

6)。

121，即≤，（ω>0）150150∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，

故最小正整數(shù)ω＝943。

點(diǎn)評(píng):本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言．其中，讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑.

圖

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例6．（1）（201*遼寧卷理）已知函數(shù)f(x)=Acos(x)的圖象如圖所示，f()22，3則f(0)=()A.2211B.C.－D.3322

2π解析由圖象可得最小正周期為3于是f(0)＝f(

2π2ππ7π

),注意到與關(guān)于對(duì)稱33212

2ππ2所以f()＝－f()＝

323答案B

（2）（201*寧夏海南卷理）已知函數(shù)y=sin（x+）（>0,-

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（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。

ππ，2kπ+），k∈Z}。22點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.

故所求定義域?yàn)閧x｜x∈（2kπ－

6cos4x5cos2x1例8．已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，

cos2x并求其值域.

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+

2，解得x≠

k，k∈Z，所以f（x）的定義域?yàn)閧x|x24∈R且x≠

k，k∈Z}，24因?yàn)閒（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

6cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f（－x）==f（x）。cos(2x)cos2x所以f（x）是偶函數(shù)。又當(dāng)x≠

k（k∈Z）時(shí)，246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)3cos2x1。f（x）=

cos2xcos2x11所以f（x）的值域?yàn)閧y|－1≤y

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3π9π≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)減區(qū)間；88π2xπ3π由2kπ+≤－≤2kπ+。

23423kπ－

9π21π≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)增區(qū)間。

883π9π∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，

883kπ+

遞增區(qū)間為［3kπ+（2）y=－|sin（x+kπ+

9π21π，3kπ+］（k∈Z）。

88ππ3ππ）|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，4444π］。4-5434-4-yo4345474x

sinx

例10．（201*京皖春文，9）函數(shù)y=2的單調(diào)增區(qū)間是（）A．［2kπ－

，2kπ＋22］（k∈Z）

B．［2kπ＋

3，2kπ＋22］（k∈Z）

C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）

D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

xsinx

解析：A；函數(shù)y=2為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.

題型6：三角函數(shù)的奇偶性

例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=lg（sinx+1sin2x）。

分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再看f（x）與f（－x）的關(guān)系。解析：定義域?yàn)镽，又f（x）+f（－x）=lg1=0，即f（－x）=－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件。例12．（201*上海春）關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題：①對(duì)任意的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)；②不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；③存在，使f（x）是奇函數(shù)；

④對(duì)任意的，f（x）都不是偶函數(shù)。

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其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時(shí)，該命題的結(jié)論不成立.答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，

2+kπ（k∈Z）；或者④，

2+kπ（k∈Z）

解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2（k+1）π，k∈Z時(shí)f（x）=－sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2kπ+

2，k∈Z時(shí)，f（x）=cosx，或當(dāng)=2kπ－

2，k∈Z時(shí)，

f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個(gè)空全答對(duì)才能得分.

題型7：三角函數(shù)的周期性

例13．求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時(shí)，y有最大值。分析：將原函數(shù)化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解.

解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）

323522

=1－3sinxcosx=1－sin2x=cos4x+。

488∴T=

π。2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax=1。2當(dāng)cos4x=1，即x=

例14．設(shè)f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f(（1）求、a、b的值；

12)4，

（2）若、、為方程f(x)0的兩根，、、終邊不共線，求tan()的值。

解析：(1)f(x)a2b2sin(x)，T，2，

又f(x)的最大值。

f(12)4，4a2b2①，且4asin22bcos②，1212由①、②解出a=2,b=3.

(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x4sin(23)，f()f()0，

3)4sin(23)，

232k23，或232k(23)，

即k(、共線，故舍去)，或k6，

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tan()tan(k6)3(kZ)。3點(diǎn)評(píng)：方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法；在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的

周期性。

題型8：三角函數(shù)的最值

例15．（201*安徽卷文）設(shè)函數(shù)則導(dǎo)數(shù)A.

的取值范圍是B.

2，其中，

x1C.D.

解析f(1)sinx3cosxsin3cos2sin()

325，選D0,sin(),1f(1)2,21232

例16．（201*江西卷理）若函數(shù)f(x)(13tanx)cosx，0x值為

A．1B．2C．31D．32答案：B

解析因?yàn)閒(x)(13tanx)cosx=cosx3sinx=2cos(x當(dāng)x

2，則f(x)的最大

3)3

五．【思維總結(jié)】

是，函數(shù)取得最大值為2.故選B

1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的.

2．作函數(shù)的圖象時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域.

3．對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。

4．求定義域時(shí)，若需先把式子化簡，一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。5．求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

6．函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個(gè)子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。

7．判斷y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的單調(diào)區(qū)間，只需求y=Asin（ωx+）的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結(jié)合.而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝單調(diào)區(qū)間時(shí)，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎�的，再設(shè)法求之.

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4.6正弦型三角函數(shù)練習(xí)

姓名：_________________班級(jí)：________________

1.把函數(shù)y2sin(2x的

4)的圖象向右平移

,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來81,則所得圖象的解析式是()23)B.y2sin(4x)C.y2sin4xD.y2sinxA.y2sin(4x88

2.已知函數(shù)yAsin(在一個(gè)周期內(nèi),當(dāng)xx)(A0,0)當(dāng)x12時(shí),取得最大值2,

7時(shí),取得最小值2,那么()121A.ysin(x)B.y2sin(2x)C.y2sin(2x)D.

2336xy2sin()

26

3.將函數(shù)yf(x)cosx的圖象上平移1個(gè)單位,得到的圖象再向右平移到y(tǒng)2sin2x的圖象,那么函數(shù)f(x)可以是()A.

個(gè)單位,最后得4cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx

3個(gè)單位,或向左平移個(gè)單

884.把函數(shù)ysin(x)(其中為銳角)的圖象向右平移

位,都可使對(duì)應(yīng)的新函數(shù)成為奇函數(shù),則原函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程是()A.x

5.函數(shù)y2sin的周期是______,函數(shù)y2|six的周期是______,函數(shù)x3n32

B.x

4

C.x8D.x581y2|sixn3的|2周期是______,函數(shù)y2|sin3x2|的周期是______.

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6.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),它的最小正周期為T,則f(

7.函數(shù)f(x)sinxsin(x

8、若函數(shù)f(x)asin(x

9、如圖，一個(gè)水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開始計(jì)算時(shí)間。（1）將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間？

T)的值為______.24)的單調(diào)遞減區(qū)間為______________________.

對(duì)實(shí)數(shù)a之值為______.)3sin(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

44x)((0,10.已知函數(shù)f(x)3sin(2函數(shù)f(x)的解析式.

11.已知函數(shù)f(x)4sinxsin(22)),其圖象向左平移

后關(guān)于y軸對(duì)稱.求出6x)cos2x.

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(1)求函數(shù)yf(32x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(x)acos2x對(duì)于xR恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第28課時(shí)：第四章三角函數(shù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式一．課題：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

二．教學(xué)目標(biāo)：掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式；并能運(yùn)用這些公式

進(jìn)行求值、化簡與證明．三．教學(xué)重點(diǎn)：公式的恰當(dāng)選用及利用公式時(shí)符號(hào)的正確選�。�四．教學(xué)過程：（一）主要知識(shí)：

1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）倒數(shù)關(guān)系：tancot1；

sincos,cot（2）商數(shù)關(guān)系：tan；cossin（3）平方關(guān)系：sin2cos21．

2．誘導(dǎo)公式，奇變偶不變，符號(hào)看象限．

（二）主要方法：

1．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)要細(xì)心觀察題目的特征，注意公式的合理選用，特別要注意開方時(shí)的符號(hào)選取，切割化弦是常用的方法；

2．學(xué)會(huì)利用方程的思想解三角題，對(duì)于sincos,sincos,sincos三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)式子的值，可求其余兩個(gè)式子的值．（三）例題分析：

sintan例1．化簡tan(cossin)

cotcsc分析：切割化弦是解本題的出發(fā)點(diǎn)．

sinsinsin(cossin)cossin．解：原式cos1cossinsin例2．化簡（1）sin()cos()；

44311)的值．（2）已知2,cos(9)，求cot(52解：（1）原式sin()cos[()]sin()sin()0．

4244433（2）cos()cos(9)，∴cos，

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4sin4，tan，5cos31134∴cot()cot()tan．

223cossin例3．（1）若tan2，求值①；②2sin2sincoscos2．

cossin∵2，∴sin1sin6xcos6x（2）求值．

1sin4xcos4xsincos12322．解：（1）①原式sin121cos11②∵cos2，21tan31∴原式cos2(2tan2tan1)21．3（2）∵sin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2xcos2xcos4x)

(sin2xcos2x)23sin2xcos2x13sin2xcos2x．

又∵sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x12sin2xcos2x．

1sin6xcos6x3．∴原式441sinxcosx2例4．已知sin,cos是方程4x24mx2m10的兩個(gè)根，

32，求角2．

sincosm2m1解：∵sincos，代入(sincos)212sincos，

4216(m2m1)0得m32m1132，∴sincos0，，又242313312，,cos，又∵，∴sin2222sincosm

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5．6（四）鞏固練習(xí)：

∴1．若f(cosx)cos2x，f(sin15)（D）

(A)1133(B)(C)(D)2222132．已知sincos(0)，則tan．

54五．課后作業(yè)：

一：三角函數(shù)線：

yyyMPr1xxcosxOM有向線段MP,OM,AT,BS分別稱作

r1yMPATtanAT角的正弦線,余弦線,正切線,余切線

xOMOAxOMBSBScotS2S1ByMPOBP11．sinP2oAT2T1π），試證明：sinα＜α＜tanα.2證明：如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓，設(shè)角α以x軸正半軸為始邊，終邊與單位圓交于P點(diǎn).例1：設(shè)α∈（0，

yPOMATx∵S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT，111∴|MP|＜α＜|AT|.∴sinα＜α＜tanα.222例2：求函數(shù)ylog211的定義域。sinx(2k,2k6][2k5,2k)

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二：點(diǎn)坐標(biāo)和三角比的關(guān)系

1.角α的終邊過點(diǎn)P（－8m，－6cos60°）

4且cosα=－，則m的值是___________。

58m4解：P（－8m，－3），cosα==－.

564m2911或m=－（舍去）.22二：角的象限判定？

∴m=

例1：已知是第三象限角且cos20，問

是第幾象限角？2(kZ)

解：∵(2k1)(2k1)∴k則

222k3(kZ)4是第二或第四象限角2又∵cos0則是第二或第三象限角

22∴必為第二象限角2(可用圖分析判斷例2：.已知sin

34，cos=－，那么α的終邊在

5252A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

247解析：sinα=2sincos=－＜0，cosα=cos2－sin2=＞0，

22252225∴α終邊在第四象限.

(需要算兩個(gè)三角比來確定象限)

三：如何確定角的象限。（象限角不包括坐標(biāo)軸）

（1）若sin0，

則角的終邊可能位于第三、第四象限，也可能位于y軸的非正半軸（2）若tan0，

則角的終邊可能位于第一或第三象限

四：三角比值范圍：1sin1;1cos1；

=

2，3的范圍)A2B2AsinBcosA2B2

42mm3,cos,例1．已知m5m5是第四象限角，sin2

求m的值。

解：∵sin+cos=1∴(2

42m2m32)()1m5m5化簡，整理得：

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m(m8)0

輔助角公式

m10,(與是第四象限角不合）m28

例2．若cosxcosy1，則cos(xy)。1

asinbcosa2b2sin(arctgba)acosbsinabcos(arctg)ba22

例1．已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(x∈R),且f()=2,

4f(x)的最大值是10，求a,b的值。

例2．使方程2sinx5cosx(C)

A．(,0)(0,)B．R

1有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是m111,]333五：sinAcos與tanA的互化應(yīng)用（弦化切割）例1：已知sin2cos，

sin4cos及sin22sincos的值。求

5sin2cossin4costan421解：sin2costan25sin2cos5tan2126C．(,][,)D．[13sin22sincostan22tan426sin2sincos222415sincostan12

強(qiáng)調(diào)（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式2“化1法”

2sincos5，求3cos2+4sin2的值。

sin3cos2sincos5∴cos0(否則2=5)解：∵

sin3cos2tan15解之得：tan=2∴

tan33(1tan2)42tan3(122)4227∴原式222251tan1tan1212例2：已知

例3：已知sin(+)=,sin()=求

2325tantan的值

解：∵sin(+)=∴sincos+cossin=①

223322sin()=∴sincoscossin=②

558tansincos15=

2tancossin4

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①+②：sincos=8

15①②：cossin=2

15sincos轉(zhuǎn)化應(yīng)用。六：sincos與sincos、3，求tancot及sincos的值。313解：將sincos兩邊平方，得：sincos

33125；tancot3(sincos)212sincos1

sincos33例：已知sincossincos153

七：關(guān)于開方的化簡例1：1sin440

22解：原式1sin(36080)1sin802cos280cos80

例2：已知是第三象限角，化簡解：原式1sin1sin

1sin1sin(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)

(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)2(1sin)21sin1sin|cos||cos|1sin21sin2是第三象限角，cos01sin1sin原式2tan（注意象限、符號(hào)）

coscos八：“平方的化簡及轉(zhuǎn)化應(yīng)用”例1、已知

asecctand,bsecdtanc,求證：a2b2c2d2

asecctand(1)證：由題設(shè)：

bsecdtanc(2)22(1)2(2)2：(a2b2)sec(c2d2)tanc2d2

(a2b2)sec2(c2d2)sec2

a2b2c2d2xsincos(1)例2、消去式子中的：

ytancot(2)

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(1)：x212sincossincosx2：由12(3)

由(2)：ysincoscossin1sincossincos1y(4)

將(3)代入(4)：y2x21（平方消去法）

例3、若sinxsiny22，則cosxcosy的取值范圍為_______________。令

cosxcosytt212(sinxsiny)2(cosxcosy)222cos(xy)4t2714142t[2,2]

九：倍角公式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例1．已知cos(4x)3575，且4x4，求sin2x2sin2x1tanx的值．

解：由cos(4x)35，得sin2xcos[2(4x)]

[2cos2(4x)1]725,x(57574,4)，2x(2,2)

由sin2x724sin2x2cos2x12825，得cos2x25．∴原式．11cos2x75sin2x例2.已知sin(x334)5,，4x4,則cos2x的值是.2425；

九：函數(shù)應(yīng)用

例1：若關(guān)于x的方程2cos2

(+x)sinx+a=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：原方程變形為：2cos2xsinx+a=0即22sin2xsinx+a=0

∴a2sin2xsinx22(sinx124)178∵1≤sinx≤1

∴當(dāng)sinx1時(shí)，a174min8；當(dāng)sinx1時(shí)，amax1∴a的取值范圍是[178,1]，

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例2：在ABC中，已知ABC，acosB，bcosA，csinC．（1）求ABC的外接圓半徑R和角C的值；（2）求abc的取值范圍．（1）由正弦定理，

cosBcosAsinC12R1，∴R，sin2Asin2B．sinAsinBsinC2∵ABC，∴2A2B，即AB2．∴C2．

4（2）∵abcsinAcosA12sinA1，A0,，∴abc2,21．

4

例3：求函數(shù)yasinxacosxaR的最值。

ya2asinxcosxsinxcosx

t21設(shè)sinxcosxt，于是yata2，t2,2，aR，

22a21當(dāng)0a2，ta即sinxcosxa時(shí)ymin，t2，即

22sixncoxs2時(shí)ymaxa2a1；

22當(dāng)a2時(shí)，t2，即sinxcosx2時(shí)ymina2a1；t2，即

22sinxcosx2時(shí)ymaxa2a1。

2

十：常用形式轉(zhuǎn)換：

1tan（1）tan(a)；

1tan41tantan(a)1tan4（2）tantantan(a)(1tantan)

（3）

1sin1sin=

sin|cos|（4）1sin|sin（5）tancot2cos2|

12

sincossin2sin2xcos2x2cos2x（6）tgxctgx

sinxcosxsin2x

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sin)1cossin222cot222（7）21cossin2sin(sincos)2sin22sincos2222221sin40cos40cos80（8）cos20cos40cos80=sin20cos20cos40cos802sin20sin201*sin160sin80cos801848sin20sin202cos22sincos2cos(cos

三角恒等式的角的變換名稱的變換：

角的變換：不同角化為相同角；已知角轉(zhuǎn)化為結(jié)論所需角。名稱變換：弦化切割；切割化弦。

例1.已知：tg224tg2，求證：tgtg23sin。

53cos6tg2∵tg24tg,∴tg23tg1tg23sin22,又，故22233tg53cos14tg14tg1tg2tg22252221tg2tg23tg2命題得證。例2.已知tg例3.設(shè)

2,tg3,求cos的值

11,(1cos2)(1cos2)，則tgtg的值為2312cos2()cos2()_________。

由

cos2()cos2()4coscossinsin1；3；

(1cos2)(1cos2)4cos2cos2兩式相除得tgtg例

4.若

3.2433，且cos(),sin()2,，則

5522cos2=________。

=_______________。

34,cos()，∴cos2cos[()()]1，55332,，∴2又，結(jié)合cos21，故2，。22222由已知，sin()

先化簡在求值

cos3xcosx例1.已知4sinx－6sinx－cosx＋3cosx＝0，x∈(0,),求的值。

1ctgx22

2

解：∵4sin2x－6sinx－cos2x＋3cosx＝0，∴(2sinx＋cosx)(2sinx－cosx)－3(2sinx－cosx)＝0,

(2sinx－cosx)(2sinx＋cosx－3)＝0,∵2sinx＋cosx－3≠0,

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2525cos3xcosx∴2sinx＝cosx,ctgx＝2,cosx＝,∴＝.

5251ctgx三角形形狀判定

例1.已知sinAcosB，則△ABC是（）

（A）直角三角形或鈍角三角形；（B）等腰三角形；

（C）等邊三角形；（D）等腰或直角三角形例2．在ABC中，根據(jù)下列條件，判斷三角形的形狀：

(1)已知acosBbcosA，則ABC為______________________.

(2)已知cosA:cosBb:a，則ABC為________________________________.（3）已知

a2b2(1)等腰三角形(2)等腰三角形或直角三角形（3）等腰或直角三角形。

tgA，則ABC是______________。.tgB大邊對(duì)大角與sinA0的兩解性

例1．(1)在ABC中,已知a80,b100,A30，這樣的三角形可能有________個(gè).2

(2)在ABC中,已知a100,b80,A30，這樣的三角形可能有________個(gè).1

(3)在ABC中,已知a40,b100,A30，這樣的三角形可能有________個(gè).0

BB105，tgctg．

22313AB求：（1）cosAB的值；（2）cos的值．

2例2．在ABC中，cosA512BB103，得sinA，由tgctg，得sinB，13132235312456sinBsinAbaBAcosBcosAB而．

513565（1）由cosAB、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且sinB例3．ABC中，角A、a:b:c________________．2:1:3或1:1:3

銳角三角形的充要條件。

31，sinC，則

22例1．已知銳角三角形ABC中，sin(AB),sin(AB).

（1）求tan(AB),（2）求證：tanA2tanB；（3）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.

35153AB，sin(AB),2531（2）證明：sin(AB),sin(AB),

55（1）解：3tan(AB),

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3sinAcosBcosAsinB,sinAcosB51sinAcosBcosAsinB.cosAsinB5所以tanA2tanB.

（3）解：tan(AB)理得

2tan2B4tanB10.解得tanB2,5tanA2.1tanB53tanAtanB3,即，將tanA2tanB代入上式并整41tanAtanB42626，舍去負(fù)值得tanB，22tanA2tanB26.設(shè)AB邊上的高為CD.

則AB=AD+DB=

CDCD3CD.tanAtanB26由AB=3，得CD=26.所以AB邊上的高等于26.

銳角三角形

例1．已知k1、k2、k3為鈍角三角形的三條邊，且此三角形的最大角不超過120，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______________．[,2)

邊角互化

1、在△ABC中，求證：sin212Asin2Bsin2C2cosAsinBsinC

1．已知函數(shù)f(x)loga(aax)，(a0且a1)，（1）

求f(x)的定義域和值域；（2）討論f(x)的單調(diào)性；（3）解方程

f(x22)f1(x)。

（2）（1）a1時(shí)，DA(,1)；0a1時(shí)，DA(1,)。

（2）a1時(shí)，f(x)在(,1)上遞減；0a1時(shí)，f(x)在(1,)上遞減。（3）f1(x)loga(aax)，f(x22)f1(x)loga(aax22)loga(aax)x2x20。

a1時(shí)，x1（x2舍去）；0a1時(shí)，x2（x1舍去）。

2．已知函數(shù)f(x)log2(x1)，并且g(x)值。

解：∵g(x)1f(3x)，求函數(shù)p(x)g(x)f(x)的最大211f(3x)，∴g(x)log2(3x1)，

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213113x112139p(x)log2(3x1)log2(x1)log2log2log22，22222x12x148(x1)(x1)413∴當(dāng)x1，即x時(shí)，p(x)maxlog23。

3323．已知函數(shù)f(x)loga(x21x),(a1)

1（1）求f(x)的定義域；（2）求f(x)的反函數(shù)f圍．

（3）求使得f(x)2的x的取值范(x)；

解：（1）由x21x0，得x1，∴D(,1]．（2）設(shè)yloga(x1x)，得f21axax(x)(x0)．

2（3）f(x)2，即loga(x21x)logaa2,∵a1，∴x21xa2，

xa2xa201a41a41a42222由x1(ax)，得x．∵a1，∴x(,1]．2222a2a2ax1x1別解：

f(x)2等價(jià)于當(dāng)f1(x)中的自變量x2時(shí)，求f1(x)的范圍。易知f1(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，∴f

4224．設(shè)s1，t1，mR，xlogstlogts，ylog4stlogtsm(logstlogts)。（1）將y表示成x的函數(shù)yf(x)，并求出定義域；

1(2)f1(x)f1a2a21a4f1(x)1，即f(x)2中的x((0),1]。22a2（2）若關(guān)于x的方程f(x)0有唯一的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

224422解：（1）∵xlogstlogts，∴l(xiāng)og2stlogtsx2，logstlogts(x2)2，

∴y(x22)22m(x22)x4(m4)x2m2，x[2,)。

（2）令x2t4，則關(guān)于x的方程f(x)0等價(jià)于關(guān)于t的方程g(t)t2(m4)t2m20在g(4)0[4,)內(nèi)有唯一解。∵m280，∴只要g(4)0或4m即可，解得m1。

42

a23a22a26a422xlog25．若函數(shù)yxlog2的值恒小于零，求實(shí)數(shù)a的取值

a20a20范圍。

220．令log2a23a2a20t，原不等式等價(jià)于ytx222xt10恒成立，

14t0t0a23a2a23a2t2，即log220∴a20a2084t(t1)0t2或t1，

3(a1)(a2)(a20)020a1或a2a(,1)(2,4)。(a4)(4a3)a20或3a4404a

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友情提示：本文中關(guān)于《高考三角函數(shù)公式全面總結(jié)與典型題目應(yīng)用》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高考三角函數(shù)公式全面總結(jié)與典型題目應(yīng)用：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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