【人教版】初中數學九年級知識點總結：28銳角三角函數

【人教版】初中數學九年級知識點總結

28銳角三角函數

【編者按】本章內容主要學習正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念以及研究直角三角形中的邊角關系和解直角三角形的內容。通過本章的學習應該掌握銳角三角函數以及直角三角函數的相關內容。一、目標與要求

1.通過實例認識直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數值，并會由一個特殊角的三角函數值說出這個角；2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值會求它的對應的銳角．3.運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單的實際問題．

4.理解直角三角形中邊與邊的關系，角與角的關系和邊與角的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數解直角三角形，并會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題；初步感受高等數學中的微積分思想．

5.通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．

6.能綜合運用直角三角形的勾股定理與邊角關系解決簡單的實際問題．二、重點與難點1．重點

（1）銳角三角函數的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函數值也很重要，應該牢牢記住．

（2）能夠運用三角函數解直角三角形，并解決與直角三角形有關的實際問題．2．難點

（1）銳角三角函數的概念．

（2）經歷探索30°，45°，60°角的三角函數值的過程，鍛煉學生觀察、分析，解決問題的能力．三、知識框架

四、知識點、概念總結1.Rt△ABC中

∠A的對邊

(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝斜邊∠A的鄰邊

(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝斜邊∠A的對邊

(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝∠A的鄰邊∠A的鄰邊

(4)∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作cota＝∠A的對邊2.特殊值的三角函數：

a30°45°60°3.互余角的三角函數間的關系

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.4.同角三角函數間的關系平方關系：

sin(α)+cos(α)=1tan(α)+1=sec(α)cot(α)+1=csc(α)積的關系：

sinα=tanαcosαcosα=cotαsinαtanα=sinαsecα

222222

sinacosatanacota1222323222123313313

cotα=cosαcscαsecα=tanαcscαcscα=secαcotα倒數關系：

tanαcotα=1sinαcscα=1

cosαsecα=15.三角函數值

（1）特殊角三角函數值（2）0°～90°的任意角的三角函數值，查三角函數表。（3）銳角三角函數值的變化情況（i）銳角三角函數值都是正值（ii）當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減�。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減小）而減�。ɑ蛟龃螅┱�切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減�。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�（iii）當角度在0°≤∠A≤90°間變化時，0≤sinα≤1,1≥cosA≥0,當角度在0°0.特殊的三角函數值（包含90度角）sinAcosAtanAcotA0°010None30°1/2√3/2√3/3√345°√2/2√2/21160°√3/21/2√3√3/390°10None06.解直角三角形的基本類型

解直角三角形的基本類型及其解法如下表：

類型兩邊已知條件兩直角邊a、b解法c=a2b2，tanA=a，∠B=90°-∠Ab一直角邊a，斜邊cb=c2a2，sinA=a，∠B=90°-∠Ac一邊一銳角一直角邊a，銳角A∠B=90°-∠A，b=acotA，c=asinA斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=csinA，b=ccosA7.仰角、俯角

當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．

（參考教材：初中數學九年級人教版）

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【人教版】初中數學九年級知識點總結

【編者按】本章內容主要學習正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念以及研究直角三角形中的邊角關系和解直角三角形的內容。通過本章的學習

應該掌握銳角三角函數以及直角三角函數的相關內容。

一、目標與要求

1.通過實例認識直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數值，并會由一

個特殊角的三角函數值說出這個角；

2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值會求它的對應的銳角．

3.運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單的實際問題．

4.理解直角三角形中邊與邊的關系，角與角的關系和邊與角的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數解直角三角

形，并會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題；初步感受高等數學中的微積分思想．

5.通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．

6.能綜合運用直角三角形的勾股定理與邊角關系解決簡單的實際問題．

二、重點與難點

1．重點

（1）銳角三角函數的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函數值也很重要，應該牢牢記�。�

（2）能夠運用三角函數解直角三角形，并解決與直角三角形有關的實際問題．

2．難點

（1）銳角三角函數的概念．

（2）經歷探索30°，45°，60°角的三角函數值的過程，鍛煉學生觀察、分析，解決問題的能力．

三、知識框架

四、知識點、概念總結

1.Rt△ABC中

∠A的對邊

斜邊∠A的鄰邊

斜邊

(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝

(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝2

(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝

∠A的對邊∠A的鄰邊∠A的鄰邊

∠A的對邊

(4)∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作cota＝

2.特殊值的三角函數：

asinacosatanacota30°123233345°2222121160°323333.互余角的三角函數間的關系

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.

4.同角三角函數間的關系

平方關系：

22

sin(α)+cos(α)=1

22

tan(α)+1=sec(α)

22

cot(α)+1=csc(α)

積的關系：

sinα=tanαcosα

cosα=cotαsinα

tanα=sinαsecα

cotα=cosαcscα

secα=tanαcscα

cscα=secαcotα

倒數關系：

tanαcotα=1

sinαcscα=1

cosαsecα=1

5.三角函數值

（1）特殊角三角函數值3

（2）0°～90°的任意角的三角函數值，查三角函數表。（3）銳角三角函數值的變化情況（i）銳角三角函數值都是正值（ii）當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅┱�切值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p小（或增大）（iii）當角度在0°≤∠A≤90°間變化時，0≤sinα≤1,1≥cosA≥0,當角度在0°0.特殊的三角函數值（包含90度角）0°30°45°60°90°sinA01/2√2/2√3/21cosA1√3/2√2/21/20tanA0√3/31√3NonecotANone√31√3/306.解直角三角形的基本類型

解直角三角形的基本類型及其解法如下表：

類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、b一直角邊a，斜邊c一邊一銳角一直角邊a，銳角Aa，∠B=90°-∠Abab=c2a2，sinA=，∠B=90°-∠Aca∠B=90°-∠A，b=acotA，c=sinAc=a2b2，tanA=斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=csinA，b=ccosA7.仰角、俯角

當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．（參考教材：初中數學九年級人教版）4

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