中學(xué)數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)教案

英才教育初中數(shù)學(xué)試題

二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識點(diǎn)：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b、c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a、b、c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．

二次函數(shù)的基本形式

ya(xh)2k的性質(zhì)：

總結(jié)：

a的符號

開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸xh性質(zhì)時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨a0向上h，kX=hx的增大而減小；xh時，y有最小值k．時，y隨x的增大而減��；xh時，y隨xha0向下h，kX=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．

二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)；⑵保持拋物線yax的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(h,k)處，具體平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k英才教育初中數(shù)學(xué)試題

二次函數(shù)yaxbxc的性質(zhì)對稱軸為x2b2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b2a,4acb4ab2ab2a2)

1.當(dāng)a0時，拋物線開口向上，．當(dāng)xb2ab2a時，y隨x的增大而減��；當(dāng)xb2ab時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時，ymin4acb4a2．2.

當(dāng)a0時，拋物線開口向下，當(dāng)x時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x2a時，y隨x的增大而減�。划�(dāng)xy時，

ymax4acb4a2．

六、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc(a,b,c為常數(shù)，a0)；

2.頂點(diǎn)式：ya(xh)k(a,h,k為常數(shù)，a0)，其中h2b2a4a3.兩根式：ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

，k4acb2；

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲�，一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)：

①當(dāng)b24ac0時，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)，其中的x1,x2是一元二次方程

axbxc0(a0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB|x1x2|2b4ac|a|2.

②當(dāng)0時，圖象與x軸只有一個交點(diǎn)；

③當(dāng)0時，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

1"當(dāng)a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

2"

當(dāng)a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．

22.拋物線yaxbxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a、b、c的符號，或由二次函數(shù)中a、b、c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點(diǎn)坐標(biāo).

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二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識點(diǎn)：

2b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．

2yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征：2.二次函數(shù)

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．⑵a，二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax的性質(zhì)：

2oo

結(jié)論：a的絕對值越大，拋物線的開口越小�？偨Y(jié)：a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨a0向上00，y軸x的增大而減�。粁0時，y有最小值0．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下00，y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值0．2yaxc的性質(zhì)：2.

結(jié)論：上加下減。

總結(jié)：

a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨a0向上c0，y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值c．x0時，y隨x的增大而減��；x0時，y隨a0向下c0，y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值c．3.yaxh的性質(zhì)：

2結(jié)論：左加右減。

總結(jié)：a的符號

開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨a0向上0h，X=hx的增大而減小；xh時，y有最小值0．xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y隨a0向下0h，X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值0．4.yaxhk的性質(zhì)：

總結(jié)：a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨a0向上h，kX=hx的增大而減��；xh時，y有最小值k．xh時，y隨x的增大而減�。粁h時，y隨a0向下h，kX=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：

k；⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，2k處，具體平移方法如下：⑵保持拋物線yax的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h22yaxbxcya(xh)k，確定五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式

其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們0，c0，c2h，c選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、

x，0x，0與x軸的交點(diǎn)1，2（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.

畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

2五、二次函數(shù)yaxbxc的性質(zhì)

b4acb2b，x2a4a．a(chǎn)02a1.當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

bbbxxx2a時，y隨x的增大而減��；當(dāng)2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)2a當(dāng)

4acb2時，y有最小值4a．

b4acb2b，x2a4a．當(dāng)a02a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2.當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為

bbbxxx2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)2a時，y隨x的增大而減��；當(dāng)2a時，y4acb2有最大值4a．

六、二次函數(shù)解析式的表示方法

21.一般式：yaxbxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點(diǎn)式：ya(xh)k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫

成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b4ac0時，拋物線的解析式才可以用交

點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

22七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a

2yaxbxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．二次函數(shù)

⑴當(dāng)a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；

⑵當(dāng)a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小．2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．

⑴在a0的前提下，

b0當(dāng)b0時，2a，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；

b0當(dāng)b0時，2a，即拋物線的對稱軸就是y軸；

b0當(dāng)b0時，2a，即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)．⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

b0當(dāng)b0時，2a，即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；

b0當(dāng)b0時，2a，即拋物線的對稱軸就是y軸；

b0當(dāng)b0時，2a，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)．

總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲担�一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

二、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對稱

2關(guān)于cx軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxbxyaxhk關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

2.關(guān)于y軸對稱

2關(guān)于cy軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxbxyaxhk關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；3.關(guān)于原點(diǎn)對稱

2關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是cyax2bxc；yaxbx22kyaxhk；yaxh關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是

4.關(guān)于頂點(diǎn)對稱

22b2yaxbxc2yaxbxc2a；關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是

2yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是yaxhk．

22n對稱5.關(guān)于點(diǎn)m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m，22根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．

二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

22一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)：

20，Bx2，0(x1x2)，①當(dāng)b4ac0時，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，其中的x1，x22是一元二次方程axbxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離

b24acABx2x1a.

②當(dāng)0時，圖象與x軸只有一個交點(diǎn)；③當(dāng)0時，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

1"當(dāng)a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；2"當(dāng)a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．

2yaxbxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；2.拋物線

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，

b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點(diǎn)坐標(biāo).

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