對(duì)于我一個(gè)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)有時(shí)是十分困難的，但是有些時(shí)候認(rèn)真思考，仔細(xì)解題。就會(huì)體會(huì)到一種峰回路轉(zhuǎn)的美感。
前幾天，我讀了一本數(shù)學(xué)方面的好書《數(shù)學(xué)證明》。這本書圍繞數(shù)學(xué)證明的方法，歷史和作用展開。像這本書的第八章《存在性證明》，這一章介紹了存在性證明的歷史等內(nèi)容。這一章并沒有直接說存在性證明的相關(guān)內(nèi)容，而是用了一個(gè)事例，也就是我比較熟悉的抽屜原理作為開始。抽屜原理是一組在中小學(xué)奧數(shù)中應(yīng)用很廣泛的，經(jīng)常被用于進(jìn)行存在性證明。我看到這條之后就想起了它之前在學(xué)習(xí)中帶給我的那種“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的那種令人感到茅塞頓開的美。
(第一抽屜原理：原理1：把多于n+1個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件。 證明(反證法)：如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n×1，而不是題設(shè)的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘n)+1(n不為0)個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有不少于(m+1)的物體 。證明(反證法)：若每個(gè)抽屜至多放進(jìn)m個(gè)物體,那么n個(gè)抽屜至多放進(jìn)mn個(gè)物體,與題設(shè)不符，故不可能。原理3：把無窮多件物體放入n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜里 有無窮個(gè)物體。證明：設(shè)有限集合A1-An均含有p個(gè)元素，其中每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)無限集合B中的一個(gè)元素，那么∵A1-An均為有限集，且n≠∞，p≠∞∴全集A為A1∪A2∪….∪An也為有限集，又∵A與B之間的元素有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系∴A與B等大，有窮等于無窮∴假設(shè)不成立，得證。第二抽屜原理：把(mn-1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有(m-1)個(gè)物體。上面是我從搜狗百科上面查到“抽屜原理”詞條，第三個(gè)證明是我自己寫的，可能有問題)
書上原文是這樣敘述的：把多于n件東西放在n個(gè)抽屜里，其中必有一個(gè)抽屜盛超過兩件東西。這個(gè)敘述讀起來比較容易理解。同時(shí)還有一個(gè)證明香港必有兩個(gè)頭發(fā)根數(shù)相同的人的事例來幫助理解：在寫這本書時(shí)香港一共有約600萬居民。而人的頭發(fā)至多有20萬，遠(yuǎn)小于600萬，所以一定有頭發(fā)根數(shù)相同的兩人。
這個(gè)定理在做某些題的時(shí)候有很大用處，能夠大大減小分析量。我第一次聽說這個(gè)定理是在小學(xué)四年級(jí)的時(shí)候。上數(shù)奧課時(shí)老師提了一下這個(gè)定理。這定理在小學(xué)的數(shù)奧題里就曾出現(xiàn)，在現(xiàn)在的數(shù)奧題里依然出現(xiàn)頻繁。就比如這道題吧，這是一道數(shù)奧作業(yè)題，題目是這樣的。證明任意5個(gè)正整數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)的平方差是7的倍數(shù)。我當(dāng)時(shí)看到題目之后沒有頭緒，就設(shè)了這5個(gè)正整數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5想利用平方差來因式分解。因?yàn)檫@5個(gè)數(shù)之間沒有什么聯(lián)系，所以分類討論變的極為復(fù)雜。這道題利用抽屜原理可以快速得解：正整數(shù)模7有七種情況：0，1，2，3，4，5，6平方模7只有這幾種情況：0，1，2，4。這就是我第一次卡住的地方，當(dāng)時(shí)想了好久也思考不出答案。這道題利用抽屜原理，就可以較快速的分析，進(jìn)而得到答案：5個(gè)物品放入4個(gè)抽屜，因?yàn)?大于4，所以必有一個(gè)抽屜里有至少兩個(gè)物品。所以必有兩數(shù)平方模同余。根據(jù)同余運(yùn)算的冪性質(zhì)，兩數(shù)平方依然同余，所以在抽屜里抽取同余兩數(shù)，其平方差模7余0。得證，這個(gè)證明很好的利用了抽屜原理，做題時(shí)減小了分析量，加快了做題速度。讓人有茅塞頓開之感。
數(shù)學(xué)有時(shí)十分困難。但是有時(shí)候細(xì)心思考，認(rèn)真解答，就會(huì)感受到那種令人感覺茅塞頓開“柳暗花明又一村”那種美感。
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