龔昇教授《簡明微積分》讀后感

　　本文是吳文俊院士為龔昇教授的新版《簡明微積分》一書寫的讀后感。文中，作者以十分通俗簡明的文字，縱談古今，勻畫了一幅微積分三百年發(fā)展的恢宏畫卷，令人耳目一新，興趣盎然。

　　龔昇教授的《簡明微積分》一書，問世以來已經(jīng)出了三版，現(xiàn)又將出第四版。該書以Newton-Leibniz關于微積分的基本定理及其高維情形的相應Stokes定理為核心貫串全書，觀點新穎而深入，在浩如煙海的微積分教材中可謂獨樹一幟。該書長期以來在中國科技大學作為教本，取得巨大成功。現(xiàn)對該書略述本人閱讀后的觀感如下。

　　美國一位著名的數(shù)學史家與數(shù)學教育家M. Kline先生在他所著《西方文化中的數(shù)學》一書中曾經(jīng)說過:“一個人擁有牛頓處于頂峰時期所掌握的知識，在今天不會被認為是一位數(shù)學家。”

　　Kline又說:“數(shù)學是從微積分開始，而不是以之為結(jié)束。”

　　Kline先生對微積分的推崇或許有些過份，但言外之意反應出微積分的發(fā)明對于數(shù)學歷史發(fā)展過程具有難與倫比的巨大作用，則是毋庸置疑的。

　　回顧一下微積分發(fā)明的歷史，對于龔昇一教授這部微積分教程的理解，應不無裨益。恩格斯曾經(jīng)指出:微積分“是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。”

　　恩格斯道出了歷史的真實。事實上，早在大約從巧世紀初開始的文藝復興時期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代。宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑，東方先進科學技術(shù)通過阿刺伯的傳人，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的流人歐洲，在當時的知識階層前面呈現(xiàn)出一個完全嶄新的面貌，等待著他們充分發(fā)揮聰明才智。

　　無數(shù)偉大的思想家在這種大時代氣息的培育下應運而生，現(xiàn)代科學也在與宗教迷信的頑強斗爭中應運而生，與新時代的要求相適應的新數(shù)學也因之應運而生。

　　文藝復興初期一位多才多藝具有代表性的思想家Leonando da Vince（1452-1519），是現(xiàn)代科學的先驅(qū)者之一。他提倡尋找數(shù)量關系，認為“人們的探討不能稱為是科學的，除非通過數(shù)學上的說明和論證，”時代的要求促成數(shù)學上一個空前活躍和富有創(chuàng)造性時期的誕生。例如測量、航海與地圖繪制等促成幾何學與三角學的發(fā)展；而繪畫對透視深入認識的要求成為射影幾何發(fā)展的出發(fā)點。更為重要的是，對解決各種問題的普遍科學方法的研究，導致Fermat與Descartes創(chuàng)造了坐標幾何，或所謂解析幾何，為微積分的創(chuàng)造提供了必要的技術(shù)條件。

　　科學上對數(shù)學提出的種種要求，最后匯總成四種核心的問題，并最終導致微積分的產(chǎn)生。這四種問題是:運動中速度與距離的互求問題，曲線求切線的問題，求長度、面積、體積與重心的問題，以及求極大、極小值的問題。在Fermat，Deseartes，Pascal，Kepler，Wallis，Roberval Barrow，Cavalieri，Galileo等難以計數(shù)的十六、七世紀學者們的不斷探索之下，第一、二、四問題導致微分的概念，第三個問題導致積分的概念。雖然微分與積分在當時還是比較朦朧的概念，而且是獨立地發(fā)展的，但至少Newton的老師Barrow就已經(jīng)在他關于幾何的講義中，指出求曲線切線的問題與求曲線下所圍面積的關系，不僅Newton作為Barrow的學生應親受其益，即使是Leibniz，據(jù)知也曾研究過Barrow的著作。

　　經(jīng)過一個多世紀的醞釀，通過Newton與Leibniz之手，終于認識到微分與積分是互逆的兩個概念，并統(tǒng)一成微積分基本定理。正如恩格斯所說，微積分從此已大體上完成——微積分從此創(chuàng)立。

　　由這一段歷史過程可知，Newton與Leibniz之所以能完成微積分的創(chuàng)立大業(yè)，正是由于他們站到了前輩巨人們的肩膀上，才能居高臨下，才能高瞻遠矚，終于獲得了真理。

　　微積分創(chuàng)立之后的兩百年間，又經(jīng)歷了一段既曲折又自然的發(fā)展過程。在18世紀期間，數(shù)學家們由于微積分解決問題的特出能力，忙著致力于微積分多種多樣的應用，建立了不少以微積分方法為主的分支學科，對于微積分的理論基礎，則未逞顧及。進人19世紀，微積分本身的矛盾迭出，數(shù)學家們才不得不對微積分的基本概念與理論方法細加分析，通過實數(shù)的精確概念與方法等來奠定了嚴實的基礎。

　　在十八、九世紀中，原來局限于單變量的微分與積分運算，也已推廣到多變量的情形。但與把微分積分作為互逆運算的Newton-Leibniz微積分基本定理之限于單變量的情形相應，如何擴展至多變量的情形，則似乎并非想像中那么容易。

　　一個轉(zhuǎn)折點似乎是近于19世紀之末，法國數(shù)學家Poincare己指出了多重積分的體積元應有一個正負定向。這一看似平凡的看法使得多重積分在坐標變換下原來有些拖泥帶水的變換公式，有了一個精練的形式，并使Newton-Leibniz:微積分基本定理到多變量的推廣，步入了坦途。

　　Poincare關于體積元有定向的這一發(fā)現(xiàn)，導致了外微分形式的出現(xiàn)。有關理論由Frobenius，E. Cartan等發(fā)揚光大，成為近代數(shù)學的重要篇章。對微積分本身來說，則原來以Green，Gauss，Ostrogradsky等命名的不同形式的定理，統(tǒng)一并推廣成了一個簡明的Stokes公式:

　　其中是外微分形式，是一個定向區(qū)域，而是外微分運算記號，是區(qū)域取其邊界。

　　龔昇教授強調(diào)指出，這一Stokes公式正好是單變量情形的Newton-Leibniz微積分基本公式在多變量情形的推廣。

　　認識這一點并非是件易事。首先是定向的概念。法國著名的拓撲學家Thom教授，曾經(jīng)對本人表達過這樣的意見:定向概念是幾何拓撲中最有深刻意義的偉大創(chuàng)造之一。對于Thom先生的卓識，本人深為欽服。

　　其次，Stokes定理的真正意義，似乎并未為許多數(shù)學史家與數(shù)學家們所認識。前面已提到過的M. Kline一書，就把Stokes定理納人四元數(shù)向量和線性結(jié)合代數(shù)這一章中，根本未觸及到Stokes定理的實質(zhì)意義，即其一例。

　　從15、16世紀的文藝復興至17、18世紀的工業(yè)革命，使人類從農(nóng)業(yè)經(jīng)濟時代進人到工業(yè)經(jīng)濟，與時代的要求相適應，在數(shù)學上出現(xiàn)了解析幾何與微積分等偉大創(chuàng)造。當前，人類又將從工業(yè)經(jīng)濟時代進人到又一個嶄新的信息時代。與新時代的要求相適應，在數(shù)學上應有什么樣的創(chuàng)新，對數(shù)學家們是一個巨大的挑戰(zhàn)，值得人們給以嚴肅的關注與深長的思考。

　　龔昇教授以其敏銳的目光指出了微積分的核心是單變量的Newton-Leibniz微積分基本定理以及多變量的Stokes公式，可謂切中要害，并使高等院校的初學者得以輕松地登堂入室。龔昇教授的簡明微積分一書，將在汗牛充棟的微積分教程中，占有特殊的地位。值此簡明微積分即將四版之際，謹志數(shù)語，以表本人對龔昇教授的敬意。

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